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二体问题二体问题第1页第1页 两两物物体体仅仅在在内内力力作作用用下下运运动动，称称为为二二体体问问题题。二二体体问问题题又又分分为为束束缚缚问问题题与与散散射射问问题题两两大大类类。这这里里先先简简介介二二体体散散射射问问题题，包括碰撞、合并和分裂问题。包括碰撞、合并和分裂问题。在这些问题中，我们仅限于讨论直线运动。在这些问题中，我们仅限于讨论直线运动。弹性碰撞非弹性碰撞合并非弹性碰撞分裂第2页第2页处理这类问题思绪下列：1.1.在在碰碰撞撞、合合并并和和分分裂裂问问题题中中，内内力力起起作作用用时时间间很很短短：不不外外是是瞬瞬间间碰碰撞撞、瞬瞬间间爆爆炸炸分分裂裂或或瞬瞬间间碰碰撞撞后后合合并并。在在所所考考虑虑短短暂暂瞬瞬间间内内，即即使使有有外外力力（如如重重力力），其其作作用用也也可可忽忽略略，因而因而系统动量守恒。系统动量守恒。即即系统质心速度、动量和动能守恒；系统质心速度、动量和动能守恒；2.2.机械能是否守恒问题，应作下列考虑：机械能是否守恒问题，应作下列考虑：（1 1）作作用用力力是是瞬瞬间间起起作作用用，不不是是保保守守力力，没没有有势势。机机械械能就是动能。能就是动能。（2 2）按按科科尼尼希希定定理理，系系统统动动能能E Ek k=系系统统质质心心动动能能E EC C+系系统统相相对对于于其其质质心心动动能能。由由于于EC是是守守恒恒量量，问问题题化化为为系系统统在在质心系内动能是否守恒质心系内动能是否守恒问题问题。第3页第3页二体直线运动系统在C系中动能表示式在在C系中，系中，C点坐标恒为零：点坐标恒为零：L系C系m1,m2 在两个坐标在两个坐标系中坐标：系中坐标：L系：系：x1,x2C系：系：1 ，2 m2相对于相对于m1坐标：坐标：m2相对于相对于m1速度：速度：(1)(2)(3)C210 xm2x1x2xCrm1第4页第4页即即(3(3）式分子为零：）式分子为零：（4）其时间导数也为零：其时间导数也为零：（5）C21L系C系0 xm2x1x2xCrm1在在L L系中，质心坐标为：系中，质心坐标为：质心速度为：质心速度为：（6）（7）由（由（2 2）式）式 和和(5)式联立解出两物体在式联立解出两物体在C系中系中速度：速度：第5页第5页引入折合质量引入折合质量:（10）（8）（9）两物体在两物体在C系中速度简化为：系中速度简化为：第6页第6页系统在系统在C C系中动能便是：系中动能便是：（1111）主要结论：二二体体系系统统在在C C系系中中动动能能，等等于于一一个个等等价价质质点点动动能能该该质质点点质质量量为为折折合合质质量量，速速率率为为二二体体相相对对速速度度 。(11)(11)在二体问题中应用甚广在二体问题中应用甚广。第7页第7页将（将（1111）代入柯尼希定理，即得二体系统动能普通表示式：）代入柯尼希定理，即得二体系统动能普通表示式：1.1.相对运动速率相对运动速率 不变者，机械能守恒。此称不变者，机械能守恒。此称完全弹性碰撞；完全弹性碰撞；2.2.变小但尚未减为零者，机械能减小。此称变小但尚未减为零者，机械能减小。此称非弹性碰撞；非弹性碰撞；3.3.在合并问题中，在合并问题中，减为零，机械能损失最大。此称减为零，机械能损失最大。此称完全非完全非弹性碰撞；弹性碰撞；4.4.在分裂问题中，机械能增长。其增量即质心动能；在分裂问题中，机械能增长。其增量即质心动能；质心在L系中动能,守恒部分系统在C系中动能,可变部分系统在L系中动能（12）第8页第8页例题例题2.mM质质量量为为m子子弹弹以以速速度度 沿沿水水平平方方向向射射入入静静止止悬悬挂挂沙沙袋袋，并并与与沙沙袋袋一一起起运运动动。沙沙袋袋质质量量为为M.求求系系统统机械能变量机械能变量 E.m+M解解.这这是是合合并并问问题题。子子弹弹钻钻入沙袋前瞬间，系统动能为入沙袋前瞬间，系统动能为子子弹弹钻钻入入沙沙袋袋后后瞬瞬间间，系系统统动能为动能为机械能变量机械能变量在合并过程中，系统机械能变小。损失部分转化为非机械能。在合并过程中，系统机械能变小。损失部分转化为非机械能。第9页第9页mMm+M机械能变量机械能变量验证：系统初始动能：验证：系统初始动能：子弹钻入后系统速度：子弹钻入后系统速度：系统碰后动能：系统碰后动能：证毕证毕第10页第10页李长江：p23，1.3.5第11页第11页由动量守恒知：由动量守恒知：（1）已知人对车相对速度已知人对车相对速度（2）（2 2）代入（）代入（1 1）：）：解得：解得：（3）Mm0 xmm解解(1).若若N个人同时跳下个人同时跳下 v人人相对于地面速度v车车相对于地面速度已 知 人 对 车 跳 下 速 度 沿铁轨向左。第12页第12页第第k k个人跳车时他对地面速度为个人跳车时他对地面速度为 解(2).若N个人逐一跳下M0 x(N-k+1)人设第设第k-1个人跳车后车速为个人跳车后车速为第第k个人跳车后车速为个人跳车后车速为第 k-1个人跳车后车速第k个人跳车后瞬间第k个人跳车后车速M0 x(N-k)人第13页第13页由动量守恒知：由动量守恒知：（k=1,2,3N）设设定定 正正方方向向都都是是由由左左向向右右（投投影影应应为为负负值值：）,由上式解出递推关系：由上式解出递推关系：递递推推关关系系使使我我们们得得以以从从前前一一个个vk-1值值推推得得后后一一个个vk值值。现现在在我们来用它推得所求结果：我们来用它推得所求结果：第第k个人跳车前动量个人跳车前动量第第k个人跳车后动量个人跳车后动量第14页第14页k=1:k=2:k=3:k=4:k=N:k=N-1:将将以以上上N个个等等式式相相加加，左左边边给给出出vN，即即第第N个个人人跳跳车车后后车车速速；右右边边是是一个有限项级数和：一个有限项级数和：负号表示负号表示v车车与与vr反向。反向。本题结束关键：设所有关键：设所有速度沿速度沿x正向为正向为正正第15页第15页第第20届：一、届：一、2（填空）（填空）第16页第16页三体完全弹性碰撞问题三体完全弹性碰撞问题过程：过程：1球撞击球撞击2球后静止，球后静止，2球以速度球以速度v0 向右行进，向右行进，然后撞击然后撞击3，4球球123423412341第17页第17页问题：问题：撞击完撞击完3，4球后，球后，2球是否回弹？球是否回弹？2343030 xy解：解：在在xoy平面上，碰撞前后动平面上，碰撞前后动量守恒量守恒x方向方向y方向方向碰撞为完全弹性，前后机械能守恒碰撞为完全弹性，前后机械能守恒几何关系几何关系7个方程，个方程，7个未知数，问题可解个未知数，问题可解第18页第18页结果：结果：方向向左。方向向左。本题结束则则2球与球与1球再次碰撞，最后停下。球再次碰撞，最后停下。1球取得球取得速度后，向左飞去。速度后，向左飞去。第19页第19页李长江：p6，1.1.13第20页第20页1.1.解解:取取小小球球a,ba,b和和地地球球构构成成系系统统。绳绳中中张张力力不不作作功功，系系统统机械能守恒。取机械能守恒。取O O点为势能零点点为势能零点 ，则有：，则有：mmL1L2abO初态mmL1L2abTmgO瞬态v(1)第21页第21页由（由（1 1）解出速度与位置关系：）解出速度与位置关系：伴随伴随 变小，变小，v和和T将变大，当将变大，当T=mg时，时，a球开始离地。球开始离地。b球绳张力满足：球绳张力满足：将将(2)和和T=mg代入上式，解出：代入上式，解出：本题结束（2）mmL1L2abTmgO瞬态水平Tmgb球向心力第22页第22页第第29届：届：15题题第23页第23页解解轨道无摩擦，绳拉直前两小球均轨道无摩擦，绳拉直前两小球均不损耗机械能，保持匀速沿轨道不损耗机械能，保持匀速沿轨道运动。绳拉直瞬间两小球运动。绳拉直瞬间两小球绕圆心绕圆心角动量守恒角动量守恒v0v0m2mR绳拉直瞬间（1）v1,v2为绳作用力消失后两球切向速度。另一方面，机械能不受损失，则有：（2）第24页第24页解解（1），（），（2）联立求出两套解）联立求出两套解绳作用后舍去第一套解（初态），第二套舍去第一套解（初态），第二套解代表解代表两球速度都改变了方向两球速度都改变了方向m2mR第25页第25页解解绳提供冲量为前后动量差，绳给绳提供冲量为前后动量差，绳给1冲量切向分量为：冲量切向分量为：绳给绳给2冲量切向分量为：冲量切向分量为：（3）（4）两冲量分别以所相应球初始切向速度分量为参考正向两冲量分别以所相应球初始切向速度分量为参考正向绳作用后m2mR第26页第26页解解绳给绳给2冲量切向分量为：冲量切向分量为：这两个量只是两个冲量切向分量，这两个量只是两个冲量切向分量，它们相应总冲量分别为它们相应总冲量分别为绳作用后m2mR（1）答案）答案第27页第27页解解绳改成弹性绳后，绳可伸长，两球运动状态改变并不在一瞬间完毕。因此，绳改成弹性绳后，绳可伸长，两球运动状态改变并不在一瞬间完毕。因此，绳拉直后，在球继续沿圆轨道运动时，绳保持对两球拉力。绳拉直后，在球继续沿圆轨道运动时，绳保持对两球拉力。v0v0m2mR绳拉直瞬间v2v1=0m2mR球1停止时第28页第28页解解绳拉伸过程中，机械能守恒绳拉伸过程中，机械能守恒（5）绳拉伸过程中，角动量也守恒绳拉伸过程中，角动量也守恒（6）（5）、（）、（6）两式消去）两式消去v2，再令，再令得得（2.1）答案）答案v2v1=0m2m球1停止时第29页第29页解解两球在距离两球在距离2R以后，以后，球球1停止后开始加速，球停止后开始加速，球2沿轨道继续向沿轨道继续向前运动。两球碰撞发生在轨道下半部前运动。两球碰撞发生在轨道下半部v2v1=0m2m球1停止时m2m两球碰撞第30页第30页解解v2v1=0m2m球1停止时从题图开始到绳长为从题图开始到绳长为R所通过时间为所通过时间为（7）从绳长为从绳长为R到到2R过程中两球走过路程为过程中两球走过路程为，设这过程结束时时刻为，设这过程结束时时刻为t2，它满足，它满足（8）由题意，上式可写成由题意，上式可写成（9）第31页第31页解解v2v1=0m2m球1停止时（10）v1、v2必须满足角动量守恒方程（必须满足角动量守恒方程（6），把），把（6）代入（）代入（8）式，又得到：）式，又得到：（6）由（由（9）、（）、（10）消去）消去得得（11）第32页第32页解解v2v1=0m2m球1停止时由绳长为由绳长为2R到两球碰撞过程中，整个过程为到两球碰撞过程中，整个过程为绳长由绳长由0到到2R过程逆过程，经历时间与正过程过程逆过程，经历时间与正过程相同，因此，利用（相同，因此，利用（7）和（）和（11）式得：碰撞）式得：碰撞时刻为时刻为（11）（7）（2.2）答案）答案第33页第33页非惯性系非惯性系惯性力惯性力第34页第34页惯性系：惯性系：牛顿运动定律成立参考系牛顿运动定律成立参考系非惯性系相非惯性系相对惯性系加对惯性系加速度速度非惯性系：非惯性系：牛顿运动定律不成立参考系牛顿运动定律不成立参考系但凡牛顿定律成立参考系称为但凡牛顿定律成立参考系称为惯性系惯性系,相对惯性相对惯性系作匀速直线运动参考系系作匀速直线运动参考系也是惯性系也是惯性系 牛顿定律不成立参考系称为牛顿定律不成立参考系称为非惯性系非惯性系,相对于惯性相对于惯性系作加速运动参考系系作加速运动参考系是非惯性系是非惯性系惯性力：惯性力：在牛顿定律中加入附加项，使之仍能够求解在牛顿定律中加入附加项，使之仍能够求解非惯性系问题非惯性系问题质量为质量为m物体在非惯性系物体在非惯性系中受到惯性力中受到惯性力第35页第35页物体实际受物体实际受到力到力非惯性系中牛顿运动定律写成：非惯性系中牛顿运动定律写成：这时物体相对参考系向参考系加速度反方向加速，比如这时物体相对参考系向参考系加速度反方向加速，比如加速汽车中乘客。加速汽车中乘客。物体相对非惯物体相对非惯性系加速度性系加速度惯性力惯性力1.当物体不受任何力时：当物体不受任何力时：上式成为：上式成为：第36页第36页2.当物体受力正好为：当物体受力正好为：上式成为：上式成为：表明物体假如保持相对参考系不动，需要一个力表明物体假如保持相对参考系不动，需要一个力 ，比如乘客要站稳需要一个指向汽车加速方向力。比如乘客要站稳需要一个指向汽车加速方向力。第37页第37页第25届，3第38页第38页解解(1).系统处处无摩擦，车厢加速度竖直向上系统处处无摩擦，车厢加速度竖直向上 此时车厢加速度只对此时车厢加速度只对B有影响有影响ABx对对A滑块有：滑块有：对对B滑块有：滑块有：设设B运动正方向沿运动正方向沿+x，则，则重力加速度重力加速度车厢加速度车厢加速度绳对绳对A拉力拉力惯性力惯性力两滑块加速度相等x绳对绳对B拉力拉力第39页第39页对对A滑块有：滑块有：对对B滑块有：滑块有：表示式带入方程得表示式带入方程得把把BxAx消去消去T 得：得：（1）答案）答案结论：当车厢向上加速结论：当车厢向上加速时，时，B相对车厢加速度相对车厢加速度比车厢静止时要大比车厢静止时要大第40页第40页解解(2).B与桌侧面有摩擦，车厢加速度水平向右与桌侧面有摩擦，车厢加速度水平向右 此时车厢加速度对此时车厢加速度对A和和B都有影响都有影响AB对对A滑块有：滑块有：惯性力，其中惯性力，其中x其中其中由上面各式得由上面各式得A滑块满足：滑块满足：（1）两物静止：两物静止：第41页第41页xyB对对B滑块有：滑块有：惯性力，其中惯性力，其中Ax桌侧面对桌侧面对B推力推力桌侧面对桌侧面对B摩擦力摩擦力其中其中由上面各由上面各式得式得B滑滑块满足：块满足：x方向方向：（2）y方向方向：（3）第42页第42页xyABx由（由（1）、（）、（2）可得）可得：（4）由（由（3）可得）可得：（5）（4）式中）式中f 是使是使B与桌面侧面不发生滑动所需静摩擦力，与桌面侧面不发生滑动所需静摩擦力，对于正压力对于正压力N，f 上限为上限为 N，当所需摩擦力超出，当所需摩擦力超出 N时，时，B与桌面侧面将发生滑动。即：与桌面侧面将发生滑动。即：把（把（4）、（）、（5）代入上式解得）代入上式解得：本题结束第43页第43页火箭问题火箭问题变质量变质量+动量守恒动量守恒第44页第44页1.喷射燃料使质量不断减少喷射燃料使质量不断减少-质量不守恒质量不守恒火箭：火箭：2.燃料相对火箭以恒速率喷出燃料相对火箭以恒速率喷出设火箭在某时刻：设火箭在某时刻：下一时刻：下一时刻：（相对火箭）第45页第45页前一时刻动前一时刻动量：量：（相对火箭）后一时刻动量：后一时刻动量：前后动量增量：前后动量增量：牛顿定律：牛顿定律：F是火箭飞行时受到总外力。比如地是火箭飞行时受到总外力。比如地球引力。假如球引力。假如F可忽略，方程变为可忽略，方程变为火箭单位时间内喷出燃料第46页第46页（相对火箭）燃料喷射时，火箭质量减少，因此燃料喷射时，火箭质量减少，因此方程变为方程变为有外力时有外力时无外力时无外力时火箭方程火箭方程第47页第47页第26届：15第48页第48页题意题意：（相对火箭）无外力：无外力：解解飞船启动时飞船启动时燃料用尽时燃料用尽时（1）飞船加速度最小和最大值）飞船加速度最小和最大值第49页第49页由火箭方程：由火箭方程：两边积分两边积分（2）飞船末速度）飞船末速度（3）初始时刻发动机提供功率，和整个过程平均功率）初始时刻发动机提供功率，和整个过程平均功率t时刻时刻t+dt时刻时刻发动机在发动机在dt时间内使时间内使火箭火箭+喷出燃料喷出燃料动能带来改变动能带来改变发动机提供能量转化为发动机提供能量转化为飞船动能飞船动能+燃料动能！燃料动能！第50页第50页两者相减两者相减功率功率火箭方程火箭方程第51页第51页（4）发射效率）发射效率两边积分两边积分由由（2），飞船末动飞船末动能能此为燃料所有耗此为燃料所有耗尽所做总功尽所做总功发射效率发射效率由前面结果由前面结果发动机提供功率只有一部分由火箭取得，另一部分由喷出燃发动机提供功率只有一部分由火箭取得，另一部分由喷出燃料取得。料取得。第52页第52页（5）=MR/M0为何值时，为何值时，最大最大求导数求导数令导数为零令导数为零得得 满足满足465%本题结束第53页第53页连续体引力问题：连续体引力问题：万有引力为平方反比力，与静电力极其类似，在诸多方面满足同样规律。引力势引力势：万有引力势能表示式：万有引力势能表示式为：为：若讨论若讨论m在在M势场中运动，可势场中运动，可定义引力势：定义引力势：则则m在在M引力势场中所含有势引力势场中所含有势能为：能为：（1）（2）该式马上变回（该式马上变回（1）。）。第54页第54页类似地，可定义引力场强度：类似地，可定义引力场强度：该式马上变回万有引力定律原该式马上变回万有引力定律原始形式：始形式：（3）（4）式中式中 是由是由M指向指向m方向单位方向单位矢量。则矢量。则m在该势场中受力为：在该势场中受力为：与静电场中高斯定理类似，把与静电场中高斯定理类似，把（3）对同心球面）对同心球面S作积分：作积分：MRSM为高斯面中总质量。该公式完全可推广到多个为高斯面中总质量。该公式完全可推广到多个质量质量M1、M2、和任意曲面以及连续体情形和任意曲面以及连续体情形（5）第55页第55页例：例：质量为质量为M气体均匀分布于半径气体均匀分布于半径为为R球形空间中球形空间中。求质点求质点m在球体内在球体内部和外部受力和势能。部和外部受力和势能。m在球体内部，在球体内部，rR时：时：mRS右边右边=右边，有：右边，有：m受力为：受力为：该力指向圆心该力指向圆心与把所有质量与把所有质量M集中于球集中于球心时等价：心时等价：R第57页第57页第24届：5第58页第58页第24届：5PR/2v0RyxP在气体内部，所受引力指向圆心，在气体内部，所受引力指向圆心，其值为：其值为：初始时初始时，P所含有势能为：所含有势能为：P在在R处势能处势能第59页第59页第24届：5PR/2v0yx忽略阻力，忽略阻力，P机械能守恒，设在气机械能守恒，设在气体边沿处体边沿处P速度为速度为v，则有：，则有：P不逸出气体外要求不逸出气体外要求P在气体边沿时在气体边沿时由于由于P只受有心力作用，对力心角动量守恒：只受有心力作用，对力心角动量守恒：即即，代入（，代入（1）解得：）解得：（1）第一空第60页第60页PR/2v0yxP在在x和和y方向上作简谐振动，方向上作简谐振动，振动方程写为：振动方程写为：初始条件为：初始条件为：角频率为：角频率为：（2）第61页第61页PR/2v0yx两方程消去两方程消去t得：得：第二空李萨茹图：李萨茹图：P点轨迹点轨迹第62页第62页第23届：15第63页第63页伯努利关系：对不可压缩流体伯努利关系：对不可压缩流体压强压强密度密度重力加重力加速度速度高度高度坐标坐标对本题：在水面处对本题：在水面处第64页第64页因此，在深度因此，在深度h处处水喷射到水桶外部时，压强为空气中水喷射到水桶外部时，压强为空气中压强，与水面处同样压强，与水面处同样上式变为上式变为后面自行推导后面自行推导本题结束第65页第65页