1、第一章生存模型概念及生存模型第1页第1页1.1 生存模型1.1.1 生存状态和生存模型一、生存状态 从数学角度来看,生存状态是一个简朴过程。这个过程含有下列特性:1、存在两种状态:生存与死亡。2、单个生命个体可划分为生存者和死亡者,也就是说我们能够说出他们状态。3、生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态,但不能相反。4、任何个体未来生存时间都是未知,因此我们生存或死亡概率探讨而着手生存状态研究。第2页第2页二、生存模型:是一类特殊随机变量概率分布;是对生存过程建立一个数学模型。假设一台设备从时刻t=0开始连续运营直至报废,用T表示该设备从时刻t=0开始直至报废或失效时间,则该设备在任意时刻t(
2、t0)仍正常运营概率Pr(Tt)能够记为:(1.1.1)上式中显然有:()T0()S(0)=1()S(t)是t非增函数,且第3页第3页 随机变量T为设备从t=0开始“未来寿命”。S(t)为生存函数。1.1.2精算生存函数 一、对于一个刚刚出生个体(0岁)未来生存时间可作为一个随机变量,我们用T0表示。定义随机变量T0分布函数F0(t)为 F0(t)=P(T0t)(1.1.2)F0(t)是一个正好0岁人不晚于t岁死亡概率。未来生存时间超出t年概率就是S0(t),就是生存函数或生存分布:S0(t)=P(T0t)=1-F0(t)(1.1.3)第4页第4页 通常S0(t)能够表示为S(t);F0(t)
3、能够表示为 F(t)。这是新生婴儿生存模型和分布函数。二、对于一个年龄为x岁人未来生存时间定义为Tx,随机变量Tx分布函数记为F(t:x)。F(t;x)=P(Txt)(1.1.4)F(t;x)是一个x岁人不晚于x+t岁死亡概率。一个年龄为x岁人未来生存时间超出t年概率就是或S(t;x),就是生存函数:S(t;x)=P(Txt)=1-F(t;x)(1.1.5)S(x+t)=S(x)S(t;x)(1.1.6)第5页第5页1.1.3生存函数形式 一、参数生存模型:S(t)实际利用中,用表格描述生存模型 二、多个伴随变量生存模型 S(t;x1,x2,xm)1.1.4研究办法 一、横向研究:合用大样本空
4、间 1、选择一个独立人群 2、选取一个观测期 二、纵向研究:1、拟定一个特殊人群 2、对每个对象进行观测直至死亡第6页第6页1.2 T分布函数 一、S(t)性质 由T决定S(t)也称为生存分布函数,有 S(0)=1,S(+)=0.令F(t)=Pr(Tt),有F(t)=1-S(t)上式有:F(0)=0,F(+)=1 二、对于连续型随机变量T,其概率密度函数:(t0)第7页第7页从而有三、危险率(死力)第8页第8页第9页第9页第10页第10页六、中位数 假如Pr(Ty)=Pr(Ty)=1/2,则称y为随机变量中位数有 S(y)=F(y)=第11页第11页第12页第12页第13页第13页第14页第1
5、4页第15页第15页1.3参数生存模型举例:1.3.1均匀分布均匀分布均匀分布概率密度函数为其性质:第16页第16页F(x)abx0axb1f(x)第17页第17页1.3.21.3.2指数分布指数分布其生存分布函数为第18页第18页F(x)x00 x1f(x)第19页第19页例1.4 对于指数分布,证实第20页第20页1.3.3 Gompertz分布特性:1.3.4 Makeham分布 Weibull分布第21页第21页1.4条件度量和截尾分布1.4.1条件概率和密度条件概率和密度 假如某人已生存到x岁,他在n年后仍生存概率Pr,我们将条件概率用nPx表示,则:第22页第22页 【例1-5】依
6、据S(t;x),求出所选取x岁人活到x+10岁,并在X+20岁前死亡概率。第23页第23页1.4.2 x1.4.2 x下截尾分布下截尾分布 以生存到x岁为条件生存函数,既那些超出xX服从分布,这样分布称为在x处下截尾X分布。类似地,第24页第24页1.4.3双截尾分布S(x yXz)=F(x yXz)=f(x yXz)=(x yXz)=1yzx第25页第25页第26页第26页第27页第27页第28页第28页1.4.4中心死亡率 中心死亡率:在年龄(x,x+1】上死亡率条件度量。中心死亡率:在区间上危险率 加权平均值。第29页第29页 普通地,nmx是在区间(x,x+n】上平均危险率或中心死亡率。第30页第30页例:若X服从指数分布,证实:mx=-lnpx第31页第31页第32页第32页第33页第33页1.5 随机变量变换一、假设已知X随机变量分布,若知Y=g(x),且知其是单调递增函数。求随机变量Y概率分布。解:Y=g(x);能够求得:第34页第34页第35页第35页第36页第36页1.6 变换后随机变量均值和方差 假如已知随机变量X,而Y=g(x),如何求得E(Y)与Var(Y)。第37页第37页第38页第38页第39页第39页