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?第5章 相交线与平行线?
一、选择题
1．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，那么以下不正确的语句是〔 〕
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
2．在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有〔 〕
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
3．如下图，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，假设∠1=35°，那么∠2的度数为〔 〕
A．10° B．20° C．25° D．30°
4．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是〔 〕
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
5．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，那么∠ACD=〔 〕
A．120° B．130° C．140° D．150°
6．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是〔 〕
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
7．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，假设∠C=50°，那么∠AED=〔 〕
A．65° B．115° C．125° D．130°
8．某商品的商标可以抽象为如下图的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB=45°，那么∠FDC的度数是〔 〕
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，那么∠2的度数是〔 〕
A．60° B．50° C．40° D．30°
10．以下说法正确的选项是〔 〕
〔1〕如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1与∠2与∠3互为补角；
〔2〕如果∠A+∠B=90°，那么∠A是余角；
〔3〕互为补角的两个角的平分线互相垂直；
〔4〕有公共顶点且又相等的角是对顶角；
〔5〕如果两个角相等，那么它们的余角也相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．a，b，c为平面内三条不同直线，假设a⊥b，c⊥b，那么a与c的位置关系是 ．
12．将一副直角三角板ABC和EDF如图放置〔其中∠A=60°，∠F=45°〕．使点E落在AC边上，且ED∥BC，那么∠CEF的度数为 ．
13．如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，假设∠1=155°，那么∠B的度数为 ．
14．如图，与∠1构成同位角的是 ，与∠2构成内错角的是 ．
15．如图，∠1=∠2，∠B=40°，那么∠3= ．
16．如图，AB∥CD，BC∥DE．假设∠A=20°，∠C=120°，那么∠AED的度数是 ．
17．上午九点时分针与时针互相垂直，再经过 分钟后分针与时针第一次成一条直线．
18．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如下图的方式摆放，假设∠EMB=75°，那么∠PNM等于 度．
三、解答题〔共46分〕
19．〕如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，求∠ADE的度数．
20．小明到工厂去进展社会实践活动时，发现工人师傅生 产了一种如下图的零件，
工人师傅告诉他：AB∥CD，∠BAE=45°，∠1=60°，小明马上运用已学的数学知识得出∠ECD的度数．你能求出∠ECD的度数吗？如果能，请写出理由．
21．如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量请你写出两种不同的测量方法，并说明几何道理．
22．如下图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．
23．如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
24．将一副三角板拼成如下图的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
〔1〕求证：CF∥AB；
〔2〕求∠DFC的度数．
25．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．
?第5章 相交线与平行线?
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，那么以下不正确的语句是〔 〕
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【考点】点到直线的距离．
【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．
【解答】解：A、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
B、根据垂线段最短可知此选项正确；
C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，应选项错误；
D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
应选C．
【点评】此题主要考察了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质．
2．在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有〔 〕
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【考点】相交线．
【专题】分类讨论．
【分析】在平面上画出4条直线，当这4条直线经过同一个点时，有1个交点；当3条直线经过同一个点，第4条不经过该点时，有4个交点；当4条直线不经过同一点时，有6个交点．故可得出答案．
【解答】解：如下图：
①当4条直线经过同一个点时，
有1个交点；
②当3条直线经过同一个点，第4条不经过该点时，
有4个交点；
③当4条直线不经过同一点时，
有6个交点．
综上所述，4条直线相交最多有6个交点．
应选B．
【点评】此题在相交线的根底上，着重培养学生的观察、实验能力．
3．如下图，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，假设∠1=35°，那么∠2的度数为〔 〕
A．10° B．20° C．25° D．30°
【考点】平行线的性质．
【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．
【解答】解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵∠1=35°，
∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°，
∵GH∥EF，
∴∠2=∠AEC=25°，
应选C．
【点评】此题考察了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考察学生的推理能力．
4．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是〔 〕
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．
【分析】根据内错角的定义求解．
【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．
应选B．
【点评】此题考察了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．
5．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，那么∠ACD=〔 〕
A．120° B．130° C．140° D．150°
【考点】平行线的性质；垂线．
【分析】如图，作辅助线；首先运用平行线的性质求出∠DGC的度数，借助三角形外角的性质求出∠ACD即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AC交EF于点G；
∵AB∥EF，
∴∠DGC=∠BAC=50°；
∵CD⊥EF，
∴∠CDG=90°，
∴∠ACD=90°+50°=140°，
应选C．
【点评】该题主要考察了垂线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点来分析、判断、解答．
6．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是〔 〕
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【考点】作图—根本作图；平行线的判定．
【分析】由可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．
【解答】解：∵∠DPF=∠BAF，
∴AB∥PD〔同位角相等，两直线平行〕．
应选：A．
【点评】此题主要考察了根本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决此题的关键．
7．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，假设∠C=50°，那么∠AED=〔 〕
A．65° B．115° C．125° D．130°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=50°，
∴∠CAB=180°﹣50°=130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB=65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB+∠AED=180°，
∴∠AED=180°﹣65°=115°，
应选B．
【点评】此题考察了角平分线定义和平行线性质的应用，注意：平行线的性质有：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
8．某商品的商标可以抽象为如下图的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB=45°，那么∠FDC的度数是〔 〕
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】平行线的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】由邻补角的定义即可求得∠BAD的度数，又由AB∥CD，即可求得∠ADC的度数，那么问题得解．
【解答】解：∵∠EAB=45°，
∴∠BAD=180°﹣∠EAB=180°﹣45°=135°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=∠BAD=135°，
∴∠FDC=180°﹣∠ADC=45°．
应选B．
【点评】此题考察了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等．
9．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，那么∠2的度数是〔 〕
A．60° B．50° C．40° D．30°
【考点】平行线的性质；垂线．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余，求出∠D=40°，再根据平行线的性质即可解答．
【解答】解：如下图，
∵FE⊥BD，
∴∠FED=90°，
∴∠1+∠D=90°，
∵∠1=50°，
∴∠D=40°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
应选C．
【点评】此题主要考察平行线的性质、垂线及直角三角形的性质，解决此题时，根据直角三角形的性质求出∠D的度数是解决此题的关键．
10．以下说法正确的选项是〔 〕
〔1〕如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1与∠2与∠3互为补角；
〔2〕如果∠A+∠B=90°，那么∠A是余角；
〔3〕互为补角的两个角的平分线互相垂直；
〔4〕有公共顶点且又相等的角是对顶角；
〔5〕如果两个角相等，那么它们的余角也相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．
【分析】根据定义及定理分别判断各命题，即可得出答案．
【解答】解：〔1〕互为补角的应是两个角而不是三个，故错误；
〔2〕没说明∠A是∠B的余角，故错误；
〔3〕互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故错误；
〔4〕根据对顶角的定义可判断此命题错误．
〔5〕相等角的余角相等，故正确．
综上可得〔5〕正确．
应选A．
【点评】此题考察对顶角及邻补角的知识，难度不大，注意熟练掌握各定义定理．
二、填空题
11．a，b，c为平面内三条不同直线，假设a⊥b，c⊥b，那么a与c的位置关系是 平行 ．
【考点】平行线的判定；垂线．
【分析】根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得答案．
【解答】解：∵a⊥b，c⊥b，
∴a∥c，
故答案为：平行．
【点评】此题主要考察了平行线的判定，关键是掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
12．将一副直角三角板ABC和EDF如图放置〔其中∠A=60°，∠F=45°〕．使点E落在AC边上，且ED∥BC，那么∠CEF的度数为 15° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=45°﹣∠2计算即可得解．
【解答】解：∵∠A=60°，∠F=45°，
∴∠1=90°﹣60°=30°，∠DEF=90°﹣45°=45°，
∵ED∥BC，
∴∠2=∠1=30°，
∠CEF=∠DEF﹣∠2=45°﹣30°=15°．
故答案为：15°．
【点评】此题考察了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是根底题，熟记性质是解题的关键．
13．如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，假设∠1=155°，那么∠B的度数为 65° ．
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．
【专题】探究型．
【分析】先根据平角的定义求出∠EDC的度数，再由平行线的性质得出∠C的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠1=155°，
∴∠EDC=180°﹣155°=25°，
∵DE∥BC，
∴∠C=∠EDC=25°，
∵△ABC中，∠A=90°，∠C=25°，
∴∠B=180°﹣90°﹣25°=65°．
故答案为：65°．
【点评】此题考察的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
14．如图，与∠1构成同位角的是 ∠B ，与∠2构成内错角的是 ∠BDE ．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【分析】两个角分别在被截线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的两个角叫做同位角，与∠1构成同位角的是∠B；两个角都在被截线之间，并且都在截线的两侧，具有这种位置关系的两个角，叫做内错角，与∠2构成内错角的是∠BDE．
【解答】解；根据同位角、内错角的定义，
与∠1构成同位角的是∠B，
与∠2构成内错角的是∠BDE．
【点评】正确记忆同位角以及内错角的定义是解决此题的关键．
15．如图，∠1=∠2，∠B=40°，那么∠3= 40° ．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行〞得AB∥CE，再根据两直线平行，同位角相等即可得到∠3=∠B=40°．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CE，
∴∠3=∠B，
而∠B=40°，
∴∠3=40°．
故答案为40°．
【点评】此题考察了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
16．如图，AB∥CD，BC∥DE．假设∠A=20°，∠C=120°，那么∠AED的度数是 80° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】延长DE交AB于F，根据平行线的性质得到∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长DE交AB于F，
∵AB∥CD，BC∥DE，
∴∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，
∴∠AFE=∠B=60°，
∴∠AED=∠A+∠AFE=80°，
故答案为：80°．
【点评】此题考察了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
17．上午九点时分针与时针互相垂直，再经过 16 分钟后分针与时针第一次成一条直线．
【考点】钟面角．
【专题】计算题．
【分析】9点后分针与时针第一次成一条直线，那么分针再3与4之间，时针在9与10之间，设9点时x分时，分针与时针第一次成一条直线，根据分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，那么x•6°﹣3×30°=x•0.5°，然后解方程即可．
【解答】解：9点时x分时，分针与时针第一次成一条直线，
根据题意得x•6°﹣3×30°=x•0.5°，
解得x=16，
即9时16分钟时分针与时针第一次成一条直线．
故答案为．
【点评】此题考察了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．
18．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如下图的方式摆放，假设∠EMB=75°，那么∠PNM等于 30 度．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得到∠DNM=∠BME=75°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45°，即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DNM=∠BME=75°，
∵∠PND=45°，
∴∠PNM=∠DNM﹣∠DNP=30°，
故答案为：30．
【点评】此题考察了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三、解答题〔共46分〕
19．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，求∠ADE的度数．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线的性质求出∠BAD的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°﹣46°﹣54°=80°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=40°．
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°．
【点评】此题考察的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
20．〔8分〕小明到工厂去进展社会实践活动时，发现工人师傅生 产了一种如下图的零件，
工人师傅告诉他：AB∥CD，∠BAE=45°，∠1=60°，小明马上运用已学的数学知识得出∠ECD的度数．你能求出∠ECD的度数吗？如果能，请写出理由．
【考点】平行线的性质．
【分析】首先过点E作EF∥AB，又由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠FEA的度数与∠C=∠FEC，又由∠AEC=60°，即可求得∠C的度数．
【解答】解：∠ECD=15°．
理由：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF=45°，∠ECD=∠FEC，
∴∠CEF=∠AEC﹣∠AEF=60°﹣45°=15°，
∴∠ECD=15°．
【点评】此题主要考察了平行线的性质，注意掌握两直线平行，内错角相等与辅助线的添加方法是解此题的关键．
21．如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量请你写出两种不同的测量方法，并说明几何道理．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】应用题．
【分析】根据平角的定义以及对顶角相等的性质进展设计方案．
【解答】解：方法一：延长AO到C，测量∠BOC，利用邻补角的数量关系求∠AOB．
∵∠AOB=180°﹣∠BOC．
方法二：延长AO到C，延长BO到D，测量∠DOC，利用对顶角相等求∠AOB．
∴∠AOB=∠DOC．
【点评】能够运用数学知识解决生活中的问题，提高数学知识的应用能力．
22．如下图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】计算题．
【分析】由∠FOC=90°，∠1=40°结合平角的定义，可得∠3的度数，又因为∠3与∠AOD互为邻补角，可求出∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD可求出∠2．
【解答】解：∵∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线，
∴∠3+∠FOC+∠1=180°，
∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°．
∠3与∠AOD互补，
∴∠AOD=180°﹣∠3=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
【点评】此题主要考察邻补角的概念以及角平分线的定义．
23．如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【分析】根据同位角的概念作答．准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在区分这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【解答】解：∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角．
【点评】同位角，即位置一样，两个角都在第三条直线的同旁，同在被截两条直线的上方或下方．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比拟它们的区别与联系．
24．将一副三角板拼成如下图的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
〔1〕求证：CF∥AB；
〔2〕求∠DFC的度数．
【考点】平行线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理．
【专题】证明题．
【分析】〔1〕首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；
〔2〕利用三角形内角和定理进展计算即可．
【解答】〔1〕证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2=∠DCE，
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°，
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CF〔内错角相等，两直线平行〕；
〔2〕∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．
【点评】此题主要考察了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行．
25．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】计算题．
【分析】根据角平分线的定义，两直线平行内错角相等的性质解答即可．
【解答】解：∵∠EMB=50°，
∴∠BMF=180°﹣∠EMB=130°．
∵MG平分∠BMF，
∴∠BMG=∠BMF=65°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠BMG=65°．
【点评】主要考察了角平分线的定义及平行线的性质，比拟简单．
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