一元二次方程知识点+专题复习.doc

一元二次方程专题复习考点一：一元二次方程定义与解法 1.定义：只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是 。 2.常用解法（1） 直接开平方法：如果a(a0)，则xa，即方程的解为a，a.（2） 公式法:如果 ，得，。 （3）配方法例：用配方法解第一步，将二次项系数化为：，（两边同除以）第二步，移项： 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：第四步，完全平方： 第五步，直接开平方：，即:, （4）因式分解法：若，则的解为，。 方法总结：解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解。一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，就采用直接开方法；若能分解因式就用因式分解法；当以上两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法。 【课前热身】1. 当_时，方程是一元二次方程.2. 已知是方程的一个根，则方程的另一根为_.3.一元二次方程的解是_.4. 若关于的一元二次方程，且，则方程必有一根为_.5. 用配方法解方程,则下列配方正确的是( )A. B. C. D. 【典型例题解析】1、 关于的一元二次方程中，求的取值范围.2、 已知：关于的方程的一个根是，求方程的另一个根及的值。3、 用配方法解方程:【考点训练】1、关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）A. B. C.或 D.2、解方程的最适当的方法（ ）A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法3、若，则一元二次方程有一根是（ ）A. 2 B. 1C. 0D. 14、当_时，不是关于的一元二次方程.5、已知方程，则代数式_.考点二：一元二次方程的判别式关于x的一元二次方程(a0)的根的判别式为，有：10一元二次方程有两个不相等的实数根，即，。20一元二次方程(a0)有两个相等的实数根，30一元二次方程(a0)没有实数根。方法总结：针对这个考点，要求能根据一元二次方程根的判别式确定方程有无实根的情况。当然一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围 【课前热身】1.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( ) A. B. 且 C. D. 且2. 一元二次方程的根的情况为（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根3.已知关于的一元二次方程.请你为选取一个合适的整数，当_时，得到的方程有两个不相等的实数根；4.若关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围。 【典型考题】1.已知关于的方程，当为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.2. 已知是三角形的三条边，求证：关于的方程没有实数根.【课时训练】1、一元二次方程的根的情况为（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.3、一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_. 4、求证：关于的方程有两个不相等的实数根。考点三：韦达定理韦达定理:如一元二次方程的两根为，则，适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是的两直角边求斜边等情况.注意：（1） （2）； （3）方程有两正根，则； 方程有两负根，则 ；方程有一正一负两根，则；方程一根大于，另一根小于，则（3） 应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为，即以为根的一元二次方程为;求字母系数的值时，需使二次项系数，同时满足;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和，两根之积的代数式的形式，整体代入。 【课前热身】1、（1）若是方程的两根，则（2）若关于x的方程有一个根为-1，则另一个根为_.2、（1）设施方程的两个根，且，则_，m=_.（2）、是方程的两个，则_，_. 【典型例题解析】1、（1）若关于x的方程有一个根为1，则该方程的另一个根为_。（2）是一元二次方程的两个根，则的值是_.2、已知是方程的两个实数根，则_.3、（1）已知方程的两个根为4和9，则b=_,c=_.（2）设是一元二次方程的两根，求的值。（3）已知方程的两根为，其中，求的值。（4）、（1）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为2和-4，则m+n的值是（ ）A.-10 B.10 C.-6 D.-1（5）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ）A.10 B.9 C.8 D.7第一讲 一元二次方程作业一、填空题1、关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 _ .2、若是关于的方程的根，则的值为_ .3、方程的根的情况是_.4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是.5、在实数范围内定义一种运算“”，其规则为,根据这个规则，方程的解为_.6、如果关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_。7、设是一元二次方程的两个根，则代数式的值为_.8、是整数，已知关于的一元二次方程只有整数根，则=_.二、选择题1、关于的方程的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定2、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A、 B、 C、 D、3、 若关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4、如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是（ ） A、1或2 B、0或 C、或 D、0或35、 设是方程的较大的一根，是方程的较小的一根，则（ ）6、 A. B. C. 1 D. 2三、解答题1、解下列方程： 2、 已知方程有两个相等的实数根，求值，并求出方程的根。3、 已知是的三条边长，且方程有两个相等的实数根，试判断的形状。4、 已知关于的一元二次方程.（1）求证：原方程恒有两个实数根;（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求的取值范围.10