【中考数学】题库：线段最值问题总复习.doc

线段最值问题
类型一　线段的最大、最小值
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

第1题图
B　【解析】∵在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AB＝4，根据旋转的性质，得A′B′＝4，如解图，连接CP，∵P是A′B′的中点，∴CP＝2，又∵M是BC的中点，∴CM＝1，由三角形的三边关系，得CM＋CP＞PM，∴当M、C、P三点共线时，PM最大，此时，PM＝MC＋CP＝1＋2＝3.
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第1题解图
2. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D并交EC的延长线于点F.则线段EF的最小值为(　　)
A. 4 B. 2 C. 12 D. 2
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第2题图
A　【解析】∵点E与点D关于AC对称，∴∠E＝∠CDE，又∵DF⊥DE，∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°， ∴∠F＝∠CDF, ∴CD＝CF＝CE, ∴EF＝2CD，当CD最小时，EF最小，这时CD⊥AB, ∵AB＝8, ∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝4，用面积法得CD＝＝＝2，∴EF的最小值为EF＝2CD＝4.
3. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中点，线段PE的最小值是(　　)
A. －2 B. ＋1 C. 2－1 D. 2－2

第3题图
D　【解析】如解图，连接AC，BD交于点O, 当E、P、O共线时，PE＝OE－OP最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝4，∠ACD＝45°， ∴AC＝4，AB⊥BC, ∵PE⊥AB, ∴PE∥BC, ∵P为AB中点， ∴O为AC的中点， ∴OP＝BC＝2，OC＝AC＝2， ∵∠AED＝45°＝∠ACD, ∴A、C、E、D四点共圆， ∵∠ADC＝90°， ∴AC为直径，O为圆心， ∴OE＝OC＝2， ∴PE＝OE－OP＝2－2, 即线段PE的最小值是2－2.

第3题解图
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是________． [*#@~~%^&&*##@A@SW*!]

第4题图
　【解析】如解图，当点E在BC上运动时，PF的长固定不变，即PF＝CF＝2.∴点P在以点F为圆心，以2为半径的圆上运动．过点F作FH⊥AB交⊙F于点P，垂足为点H，此时PH最短．则△AFH∽△ABC，∴＝.由已知得AF＝4，AB＝＝10，∴＝，即FH＝.∴P到AB距离的最小值PH＝FH－FP＝－2＝.

第4题解图
类型二　线段和的最小值
5. 如图所示，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为(　　)
A. 3 B. 9 C. 6 D. 3
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第5题图
D　【解析】设BE与AC交于点P′，如解图，连接BD、P′D.∵点B与D关于AC对称，∴P′D＝P′B，∴P′D＋P′E＝P′B＋P′E＝BE时最小．∵正方形ABCD的面积为18，∴AB＝3.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝3.故所求最小值为3.

第5题解图
如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为(　　) [*#@&~^%^%&*#@AS*W!~]
A. 5 B. 10 C. 10 D. 15

第6题图
B　【解析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如解图．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5，∴E′G＝＝5，
∴C四边形EFGH＝2E′G＝10.

第6题解图 [*#~@~%#%&^&*#@AS^W!]
6. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点M在⊙O上，∠MBA＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若AN＝1，则△PMN周长的最小值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

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第7题图
B　【解析】如解图，过N作NN′⊥AB，交AB于G，交⊙O于N′，连接MN′交AB于P′，连接NN′，ON′，ON，MN′，OM，∴NG＝N′G，∴N、N′关于AB对称，∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长最小时的点，∵N是弧MA的中点，∴∠AON′＝∠NOA＝∠MON＝20°，∴∠MON′＝60°，∴△MON′为等边三角形，∴MN′＝OM＝AB＝3，∴△PMN周长的最小值为3＋1＝4.

第7题解图
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE＋EF的最小值为(　　)
A. B. C. D. 6

第8题图
C　【解析】如解图，过C作CG⊥AD交AB于G，过G作GF′⊥AC于F′，交AD于E′，∵AD平分∠CAB，∴点C与点G关于AD对称，∴E′C＝E′G，∴E′C＋E′F′≥FG即GF′为CE＋EF的最小值．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得AB＝10，由对称性可知，AG＝AC＝6，∵GF′⊥AC，BC⊥AC，∴GF′∥BC，∴＝＝，解得GF′＝.∴CE＋EF的最小值为.

第8题解图