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长沙市八年级上册期末数学试卷
一、选择题
1、下列医疗或救援的标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2、某红外线遥控器发出的红外线波长为，用科学记数法表示这个数是（       ）
A． B． C． D．
3、下列运算正确的是（       ）
A．a2•a2＝2a2 B．a9÷a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a2＋a4＝a6
4、若代数式有意义，则实数x的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．且
5、下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6、下列变形正确的是（       ）
A． B．
C． D．
7、如图，在和中，，，还需在添加一个条件才能使，则不能添加的条件是（       ）

A． B． C． D．
8、已知一次函数不经过第三象限，且关于y的分式方程的解为正整数解，则所有满足条件的整数a的和为（       ）
A．2 B．5 C．6 D．9
9、如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠AFD的度数为（       ）

A．65° B．15° C．115° D．75°
二、填空题
10、如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（　　）

A． B． C． D．
11、若分式的值为零，则b的值为______．
12、若点与点关于轴对称，则______．
13、如图，数轴上有四条线段分别标有①②③④，若x为正整数，则表示的值的点落在线段_________上（填序号）．

14、求值：______．
15、如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.

16、一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形是 _____边形．
17、若x+y＝5，xy＝2，则x2+y2＝_____．
18、如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t=__________ s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．

三、解答题
19、因式分解：
(1)2x2﹣2
(2)x3﹣4x2y+4xy1、
20、解分式方程：.
21、已知：如图，∠B＝∠C＝90°， AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．

22、如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．

(1)观察“规形图”，试探究与、、之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你利用此结论，解决以下两个问题：
①如图（2），把一个三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______；
②如图（3），平分，平分，若，，求的度数．
23、“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材，篮球和足球．已知每个篮球的单价比每个足球的单价多25元，用840元购买篮球和用590元购买足球的数量相同．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元？
(2)学校决定购买两种球类共40个，若购买足球的数量不超过篮球的2倍，那么该校最多购买多少个足球？
24、（1）如图，整个图形是边长为的正方形，其中阴影部分是边长为的正方形，请根据图形，猜想与存在的等量关系，并证明你的猜想；

（2）根据（1）中得出的结论，解决下列问题：
甲、乙两位司机在同一加油站两次加油，两次油价有变化，两位司机采用不同的加油方式．其中，甲每次都加40升油，乙每次加油费都为300元．设两次加油时，油价分别为m元/升，n元/升（，，且）．
①求甲、乙两次所购的油的平均单价各是多少？
②通过计算说明，甲、乙哪一个两次加油的平均油价比较低？
25、如图1已知点A，B分别在坐标轴上，点C（3，﹣3），CA⊥BA于点A，且BA＝CA，CA，CB分别交坐标轴于D，E．

(1)填空：点B的坐标是 　 　；
(2)如图2，连接DE，过点C作CH⊥CA于C，交x轴于点H，求证：∠ADB＝∠CDE；
(3)如图3，点F（6，0），点P在第一象限，连PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN＝PF，连PO，过P作∠OPG＝45°交BN于G．求证：点G是BN中点．
一、选择题
1、C
【解析】C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2、B
【解析】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：=9.4×10-7m，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
3、B
【解析】B
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A.，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4、C
【解析】C
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件，得出不等式求出答案．
【详解】解：若代数式有意义，
则x≥0且x-1≠0，
解得：x≥0且x≠1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
5、B
【解析】B
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式）逐项判断即可得．
【详解】解：A、等式右边不是乘积的形式，不属于因式分解，则此项不符合题意；
B、等式右边是乘积的形式，且右边等于左边，属于因式分解，则此项符合题意；
C、等式右边不是乘积的形式，不属于因式分解，则此项不符合题意；
D、等式右边的不是整式，不属于因式分解，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，熟记因式分解的定义是解题关键．
6、B
【解析】B
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】A、，故A错误；
B、分子分母乘以，故B正确；
C、分子分母同时减去x，没有这个性质，故C错误；
D、，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
7、D
【解析】D
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析可得答案．
【详解】解：，
，
即，
∵在与中，，，
若，则可依据证明，故A选项不符合题意；
若，则可依据证明，故B选项不符合题意；
若，则可依据证明，故C选项不符合题意；
若，则不能证明，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理：，，， ，，并熟练应用解决问题是解题的关键．
8、D
【解析】D
【分析】先根据一次函数图象的位置确定a的范围，再根据分式方程解的情况，确定a的值，最后求出满足条件整数a的和．
【详解】解：∵一次函数y=-ax+4-a不经过第三象限．
∴一次函数y=-ax+4-a过二、四象限或过一、二、四象限．
∴-a＜0且4-a=0或-a＜0，4-a＞0．
解得，a=4或0＜a＜3、
解分式方程
得．
①当a=4时，y=2符合题意．
②当0＜a＜4时，
∵a取整数．
∴a=1、2、2、
∵为正整数．
∴a=2、3时，y的取值符合题意．
综上所述，满足条件的a的取值为：2，3，3、
∴它们的和为：2+3+4=8、
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的位置与系数的关系和分式方程特殊解的求法，正确理解题意和熟练掌握一次函数图象位置与系数的关系及分式方程的解法是解题的关键．
9、A
【解析】A
【分析】将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，得∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，
∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
∴∠AFD =∠ACD+∠D=35°+30°=65°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
二、填空题
10、B
【解析】B
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到2ab的值，然后根据即可求得（a＋b）的值；根据小正方形的面积为即可求得，进而联立方程组求得a与b的值，则可求出答案．
【详解】解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴，
∴，
∵直角三角形的面积是，
又∵直角三角形的面积是，
∴，
∴，
∴．
∵小正方形的面积为，
又∵，
∴，
联立可得 ，解得 ，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式的知识，解题关键是熟记完全平方公式，还要注意图形的面积和a、b之间的关系．
11、
【分析】分式的值为零，即分子为零，分母不为零，据此解答．
【详解】解：分式的值为零，

故答案为：．
【点睛】本题考查分式的值为零，分式有意义的条件等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12、1
【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴．
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
13、②
【分析】先根据分式的基本性质通分，约分对原分式进行化简，然后分析化简后的结果的范围即可得出答案．
【详解】
∵x为正整数

∴表示的值的点落在线段②上，
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查分式的化简及估算，掌握分式的基本性质是解题的关键．
14、
【分析】对所求的式子进行变形后，逆用积的乘方的法则运算即可．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝
＝
故答案为：．
【点睛】此题主要考查积的乘方，解题的关键是熟记积的乘方法则并逆用法则．
15、3
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即
【解析】3
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
【详解】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．

∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=2、
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=2、
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
16、10##十
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式得出（n﹣2）×180°＝1440，求出方程的解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1440°，
解得：n
【解析】10##十
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式得出（n﹣2）×180°＝1440，求出方程的解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1440°，
解得：n＝10，
即这个多边形是10边形，
故答案为：9、
【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，熟练的利用方程思想解决多边形的内角和问题是解本题的关键．
17、21
【分析】原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算求值即可．
【详解】解：∵，
∴将和代入，得：．
故答案为：20、
【点睛】本题考查完全平方公式和代数式求值，解题的关键是利用完全平方公式将
【解析】21
【分析】原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算求值即可．
【详解】解：∵，
∴将和代入，得：．
故答案为：20、
【点睛】本题考查完全平方公式和代数式求值，解题的关键是利用完全平方公式将原式变形．
18、1或或12
【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在A
【解析】1或或12
【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论．
【详解】解：当E在BC上，D在AC上，即0＜t≤时，

CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD=CE，
∴8-3t=6-t，
∴t=1s，
当E在AC上，D在AC上，即＜t＜时，

CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm，
∴3t-8=6-t，
∴t=s，
当E到达A，D在BC上，即≤t≤14时，

CE=6cm，CD=（t-6）cm，
∴6=t-6，
∴t=12s，
故答案为：1或或11、
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长．
三、解答题
19、(1)2（x+1）（x-1）
(2)x（x-2y）2
【分析】（1）直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可；
（2）直接提取公因式x，再利用公式法分解因式即可．
（1）2x2﹣2=2（x2-1）
【解析】(1)2（x+1）（x-1）
(2)x（x-2y）2
【分析】（1）直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可；
（2）直接提取公因式x，再利用公式法分解因式即可．
（1）2x2﹣2=2（x2-1）=2（x+1）（x-1）
（2）x3﹣4x2y+4xy2=x（x2-4xy+4y2）=x（x-2y）2
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
20、原方程无解.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
【详解】将分式两边同时乘以可得：，
可化为： ，即
经检验使公分母，
是原分式方程的增根
【解析】原方程无解.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
【详解】将分式两边同时乘以可得：，
可化为： ，即
经检验使公分母，
是原分式方程的增根舍去，
原方程无解.
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21、详见解析
【分析】运用定理证明直角三角形全等即可．
【详解】∵BE=CF，∴BF=CE
在与中：
∴
∴AB =DC
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握定理是解题关键．
【解析】详见解析
【分析】运用定理证明直角三角形全等即可．
【详解】∵BE=CF，∴BF=CE
在与中：

∴
∴AB =DC
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握定理是解题关键．
22、(1)；理由见解析；
(2)①60°；②
【分析】（1）连接并延长，根据三角形外角定理即可进行转化，可知；
（2）①利用（1）中结论直接进行计算即可；
②由（1）可知，即，再利用（1）中结论求值即可
【解析】(1)；理由见解析；
(2)①60°；②
【分析】（1）连接并延长，根据三角形外角定理即可进行转化，可知；
（2）①利用（1）中结论直接进行计算即可；
②由（1）可知，即，再利用（1）中结论求值即可．
（1），理由如下：连接并延长，如图①，
由题意得：，，，即；
（2）①由（1）得，，故答案为：60°；②由（1）可得：，，平分，平分，，，，．
【点睛】本题主要是考查了三角形外角定理的应用，灵活进行转化是解题关键．
23、(1)篮球的单价为84元，足球的单价为59元
(2)26个
【分析】（1）设每个足球的单价为x元，根据“用840元购买篮球和用590元购买足球的数量相同”列分式方程，求解即可；
（2）设该校购买m个
【解析】(1)篮球的单价为84元，足球的单价为59元
(2)26个
【分析】（1）设每个足球的单价为x元，根据“用840元购买篮球和用590元购买足球的数量相同”列分式方程，求解即可；
（2）设该校购买m个足球，根据“购买足球的数量不超过篮球的2倍”列一元一次不等式，求解即可．
（1）
解：设每个足球的单价为x元，
根据题意，得：，
解得x=59，
经检验，x=59是原方程的根，且符合题意，
59+25=84（元），
答：篮球的单价为84元，足球的单价为59元；
（2）
设该校购买m个足球，
根据题意，得m≤2（40-m），
解得m≤，
m取得的最大正整数为26，
答：该校最多购买26个足球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
24、（1），证明见解析；
（2）①甲两次所加油的平均单价为；乙两次所加油的平均单价为；②乙两次加油的平均油价比较低
【分析】（1）根据图形，结合阴影总分的面积的表示方法的不同，即可求解；
（2）①根据平
【解析】（1），证明见解析；
（2）①甲两次所加油的平均单价为；乙两次所加油的平均单价为；②乙两次加油的平均油价比较低
【分析】（1）根据图形，结合阴影总分的面积的表示方法的不同，即可求解；
（2）①根据平均油价=总价钱+总油量，进行求解即可；②结合①进行求解即可．
【详解】解：（1）猜想的结论为：．
∵．
∴．
（2）①甲两次所加油的平均单价为；
乙两次所加油的平均单价为．
②∵，∵，，且．
∴，．∴，即．
所以，乙两次加油的平均油价比较低．
【点睛】本题主要考查整式的加减及完全平方公式，列代数式，理解清楚题意，找到相应的等量关系是解答的关键．
25、(1)（0，6）
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）作CM⊥x轴于M，求出CM= CN= 2，证明△BAO≌△ACM，推出AO= CM= 2，OB=AM=4，即可得出答案；
（2）在BD上截
【解析】(1)（0，6）
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）作CM⊥x轴于M，求出CM= CN= 2，证明△BAO≌△ACM，推出AO= CM= 2，OB=AM=4，即可得出答案；
（2）在BD上截取BF= AE，连AF，证△BAF≌△CAE，证△AFD≌△CED，即可得出答案；
（3）作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，只要证明四边形ENPB是平行四边形就可以了．
(1)
解：过点C作CG⊥x轴于G，如图所示：

∵C（3，﹣3），
∴CG＝3，OG＝3，
∵∠BOA＝∠CGA＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAG＝90°，
∴∠ABO＝∠CAG，
又∵AB＝AC，
∴△ABO≌△CAG（AAS），
∴AO＝CG＝3，OB＝AG＝AO+OG＝6，
∴点B的坐标是（0，6）．
(2)
证明：如图，过点C作CG⊥x轴于G，CF⊥y轴于F，则CF∥AO．

同（1）得：△ABO≌△CAG（AAS），
∴AO＝CG＝3，
∵CF＝3，
∴AO＝CF，
∵CF∥AO
∴∠DAO＝∠DCF，∠AOD＝∠CFD，
∴△AOD≌△CFD（ASA），
∴AD＝CD，
∵CA⊥BA，CH⊥CA，
∴∠BAD＝∠ACH＝90°，
又∵∠ABO＝∠CAG，AB＝AC，
∴△BAD≌△ACH（ASA），
∴AD＝CH，∠ADB＝∠AHC
∴CD＝CH，
∵BA＝CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠HCE＝90°﹣∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠HCE＝45°，
又∵CE＝CE，
∴△DCE≌△HCE（SAS），
∴∠CDE＝∠CHE，
∴∠ADB＝∠CDE．
(3)
证明：过点O作OK⊥OP交PG延长线于K，连接BK、NF，过点P作PL⊥NF于L．

则△OPK是等腰直角三角形，
∴∠OKP＝∠OPK＝45°，OK＝OP，
∵PN＝PF，
∴△PNF是等腰直角三角形，
∴∠PFN＝∠PNF＝45°，
∵PL⊥NF，
∴∠FPL＝45°，
则∠OPF＝∠OPL+45°，∠GPN＝∠OPL＝45°﹣∠MPO，
∵∠KOB+∠BOP＝∠FOP+∠BOP＝90°，
∴∠KOB＝∠FOP，
又∵OB＝OF＝6，
∴△OKB≌△OPF（SAS），
∴KB＝PF＝PN，∠OKB＝45°+∠GKB＝∠OPF＝∠OPL+45°，
∴∠GKB＝∠OPL＝∠GPN，
又∵∠KGB＝∠PGN，
∴△KBG≌△PNG（SAS），
∴BG＝NG，
即点G为BN的中点．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．