九年级二次函数题型总结.docx

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一、二次函数的定义
1.下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )
A．y＝x(x＋1) B．xy＝1 C．y＝2x2－2(x＋1)2 D．
2.当m 时，函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数．
3.若是二次函数，则m＝ ．
4.若函数y＝3x2的图象与直线y=kx＋3的交点为(2，b)，则k= ，b＝ .
5.已知二次函数y＝―4x2－2mx+m2与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2，则m的值是 ．

配方
二、二次函数的图象与性质

1.对于抛物线y＝ax2，下列说法中正确的是( )
A．a越大，抛物线开口越大 B．a越小，抛物线开口越大
C．｜a｜越大，抛物线开口越大 D．｜a｜越小，抛物线开口越大
2.下列说法中错误的是( )
A．在函数y＝－x2中，当x＝0时，y有最大值0
B．在函数y＝2x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
C．抛物线y＝2x2，y＝－x2，中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线
y＝－x2的开口最大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点
3.二次函数 y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5）
B．开口向上，对称轴x＝3，顶点坐标为（3，5）
C．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5)
D．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5）
4.已知抛物线的解析式为y=(x－2)2+1，则抛物线的顶点坐标是 ( )
A．(－2，1) B．(2，1) C．(2，－1) D．(1，2)
5.已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为(　　)
A．(－2，－1) B．(2,1) C．(2，－1) D．(－2,1)
6.抛物线y=x2+2x-1的对称轴是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小．
7.抛物线的顶点坐标为，则b= ,c= .
8.函数y＝x2―2x－l的最小值是 ；函数y＝-x2+4x的最大值是 .
9.已知抛物线的顶点在坐标轴上，则a= .
二次函数的对称性
二次函数：
（1） 此函数的对称轴为直线；
（2） 若函数与x轴相交于点，则对称轴可表示为；
（3） 若函数与x轴相交于点（特点是纵坐标相同），则对称轴可表示为.
10. 抛物线的一部分图象如图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点坐标是 .
11. 如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴交于A、B两点，B点坐标为，则点A的坐标是 .

12.抛物线与x轴交于两点，则线段AB的长 .
13.已知二次函数，若点在此函数的图象上，且，则的大小关系是 .
14.已知二次函数的对称轴是直线，若点在此函数的图象上，则的大小关系是
15.已知二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表：
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
4
0
1
0
4
……
点在函数的图象上，则当，时，与的大小关系正确的是（　　）

三、二次函数的平移、旋转与对称
1. 把抛物线向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（ ）

2.抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
3. 在平面直角坐标系中，如果的图象不动，而把坐标轴分别向上平移2个单位，向右平移3个单位，那么新坐标系中此抛物线的解析式为 .
4. 将抛物线的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的解析式为 .
5.将抛物线的图象向右平移2个单位再向下平移2个单位，所得图象的关系式为，则b= ,c= .
6.已知抛物线，
（1）将其绕着顶点旋转180°后抛物线关系式是 .
（2）关于y轴对称的抛物线关系式是 ;
（3）关于x轴对称的抛物线关系式是 ;
（4）关于原点对称的抛物线关系式是 .

四、 确定二次函数的表达式
用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：.已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式.

1.顶点为（—1，—3），与y轴交点为（0，—5）.

2.与x轴交于A（—1,0）、B（1,0），并经过点M(0,1).

3.图像经过点A(0，1)、B(1，2)、C(2，1).

4.顶点坐标为（1,3）且在x轴上截得的线段长为4.

5. 图象经过点（1,0）、（0，-3），且对称轴是直线x=1.

6.已知抛物线如图所示，求它对应的表达式.

五、 二次函数的应用
知识铺垫：最值问题
（一） 开口向上
1. 当对称轴在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；
2. 当对称轴不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值.
（二） 开口向下
30m
1.当对称轴在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；
2.当对称轴不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值.

1. 当时，求函数的最大值和最小值．

2. 当时，求函数的最大值和最小值．

3. 当时，求函数的最大值和最小值．

几何问题
4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
（1） 如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？
（2） 设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3） 若将矩形改为图2所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
C

40m

5.用长为80 m的栅栏，再借助外墙围城一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50 m，设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S m2.
（1） 写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
（2） 当AB,BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？

6. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20 m，当水位上升3 m时，水面宽CD=10 m.
（1） 按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2） 有一条船以5 km/h的速度向此桥径直行来，当船距离此桥35 km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25 m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？

最大利润问题
7. 某旅馆有客房120间，每间客房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅馆将每天的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？

8.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?最大利润是多少？

9.某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出. 
（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式. 
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.

六、 二次函数与一元二次方程
二次函数的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程的根的关系：
1. 当∆>0时,抛物线与x轴有两个交点，这两个交点的横坐标是方程的两个不相等的实数根；
2. 当∆=0时,抛物线与x轴有一个交点，这个交点的横坐标是方程的两个相等的实数根，并且这一个交点即为抛物线的顶点；
3. 当∆<0时，抛物线与x轴没有交点，这时方程没有实数根.
4. 当∆>0时，图象与x轴有两个交点 ，两点距离.
当a>0时，当或时，；当时，.
当a<0时，当或时，；当时，.

5. 当∆=0时，图象与x轴只有一个交点.
当a>0时，x为任何实数时，函数值；
当a<0时，x为任何实数时，函数值；

6. 当∆<0时，图象与x轴没有交点.
当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；
当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

1.抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 .
2.抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点则b= .
3.二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴（ ）
A.没有交点 B.只有一个交点 C.只有两个交点 D.至少有一个交点
4.二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 .
5. 已知二次函数的与的部分对应值如下表：

…

0
1
3
…

…

1
3
1
…
则下列判断中正确的是（　　）
A．抛物线开口向上　　　B．抛物线与轴交于负半轴、
C．当＝4时，＞0 D．方程的正根在3与4之间
6.抛物线的部分图象如图所示，若y>0，则x 的
取值范围是（ ）
A．-4<x<1 B． -3<x<1 C．x<-4或x>1 D．x<-3或x>1

七、 二次函数中的意义
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式判断符号，左同右异．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；过
原点，c=0．
（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交
点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号；当x= -1时，可确定a-b+c的符号；
当x=2时，可确定4a+2b+c的符号，当x=-2时，可确定4a-2b+c的符号．
（6）由对称轴公式与x=1和x= -1比较，可确定2a+b，2a-b的符号．

1. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（　　）
A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：
①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（　　）
A. m＞2 B. m＜3 C. m＞3 D. 2＜m＜3

4.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中正确的说法有 .
①ac＜0； ②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3 ③a＋b＋c＞0
④当x＞1时，y随x的增大而增大.
5. 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.有以下结论：
(1)abc>0; (2)4ac<b2; (3)2a+b=0; (4)a-b+c>2.其中正确的结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第4题 第5题 -第6题
6.如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，，下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ ，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c）2＜b2，其中正确的个数是 （ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（　　）

A B C D
10. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（　　）A.①②⑤ B.①②④ C.①③⑤ D.②④⑤

八、 二次函数与几何图形
（一）二次函数与三角形
类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或与坐标轴平行
这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。
1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5）.
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点A、B坐标，与y轴交点C坐标；
（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD.

2.如图，二次函数y=ax2＋bx＋c与x轴交于两点，与y轴负半轴交于点C，若抛物线顶点D的横坐标是1，A、B两点间的距离是4，且△ABC的面积是6.
（1） 求A和B两点的坐标； （2）求此二次函数的表达式；
（3）求四边形ACDB的面积.

类型二：三角形三边均不与坐标轴平行，作三角形的铅垂高（歪歪三角形拦腰截）
1.关于的知识点：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的
三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部
线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.可得出一种计算三角形面积的新方法：，
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

2.①铅垂高：横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，表示为；
②水平宽：两个点的横坐标差的绝对值，表示为.

1. 如图，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，
求△CAB的铅垂高CD及；
（3） 是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

如2. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋
转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐坐 标；若不存在，请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若
有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

调研结论：综上分析，我们认为在学院内开发“DIY手工艺品”商店这一创业项目是完全可行的。

三、主要竞争者分析
3.如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． 

8、你是如何得志DIY手工艺制品的？（1）求抛物线的解析式；  （2）求△ABC的面积； 

（3）个性体现（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”，还专门为大学生创业提供担保，贷款最高上限达到５万元。

3、你是否购买过DIY手工艺制品？

Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。

现在是个飞速发展的时代，与时俱进的大学生当然也不会闲着，在装扮上也不俱一格，那么对作为必备道具的饰品多样性的要求也就可想而知了。

可是创业不是一朝一夕的事，在创业过程中会遇到很多令人难以想象的疑难杂症，对我们这些80年代出生的温室小花朵来说，更是难上加难。

就算你买手工艺品来送给朋友也是一份意义非凡的绝佳礼品哦。而这一份礼物于在工艺品店买的现成的礼品相比，就有价值意义，虽然它的成本比较低但它毕竟它是你花心血花时间去完成的。就像现在最流行的针织围巾，为何会如此深得人心，更有人称它为温暖牌绝大部分多是因为这个原因哦。而且还可以锻炼你的动手能力，不仅实用还有很大的装饰功用哦。

4.如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2． 
（1）求二次函数的解析式； 
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．

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