2013年浙江省高考数学【理】（含解析版）.pdf

2013 年浙江省高考数学试卷（理科）年浙江省高考数学试卷（理科）一选择题：本大题共一选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（5 分）（2013浙江）已知 i 是虚数单位，则（1+i）（2i）=（）A 3+i B 1+3i C 3+3i D 1+i 2（5 分）（2013浙江）设集合 S=x|x2，T=x|x2+3x40，则（RS）T=（）A（2，1 B（，4 C（，1 D 1，+）3（5 分）（2013浙江）已知 x，y 为正实数，则（）A 2lgx+lgy=2lgx+2lgy B 2lg（x+y）=2lgx2lgy C 2lgxlgy=2lgx+2lgy D 2lg（xy）=2lgx2lgy 4（5 分）（2013浙江）已知函数 f（x）=Acos（x+）（A0，0，R），则“f（x）是奇函数”是“=”的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5（5 分）（2013浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A a=4 B a=5 C a=6 D a=7 6（5 分）（2013浙江）已知，则 tan2=（）A B C D 7（5 分）（2013浙江）设ABC，P0是边 AB 上一定点，满足，且对于边 AB 上任一点 P，恒有则（）A ABC=90 B BAC=90 C AB=AC D AC=BC 8（5 分）（2013浙江）已知 e 为自然对数的底数，设函数 f（x）=（ex1）（x1）k（k=1，2），则（）A 当 k=1 时，f（x）在 x=1 处取得极小值 B 当 k=1 时，f（x）在 x=1 处取得极大值 C 当 k=2 时，f（x）在 x=1 处取得极小值 D 当 k=2 时，f（x）在 x=1 处取得极大值 9（5 分）（2013浙江）如图 F1、F2是椭圆 C1：+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点 A、B 分别是 C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是（）A B C D 10（5 分）（2013浙江）在空间中，过点 A 作平面 的垂线，垂足为 B，记 B=f（A）设，是两个不同的平面，对空间任意一点 P，Q1=ff（P），Q2=ff（P），恒有 PQ1=PQ2，则（）A 平面 与平面 垂直 B 平面 与平面 所成的（锐）二面角为 45 C 平面 与平面 平行 D 平面 与平面 所成的（锐）二面角为 60 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分 11（4 分）（2013浙江）设二项式的展开式中常数项为 A，则 A=_ 12（4 分）（2013浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于_ cm3 13（4 分）（2013浙江）设 z=kx+y，其中实数 x，y 满足，若 z 的最大值为 12，则实数 k=_ 14（4 分）（2013浙江）将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有_种（用数字作答）15（4 分）（2013浙江）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过点 P（1，0）的直线 l 交抛物线 C 于两点 A，B，点 Q 为线段 AB 的中点，若|FQ|=2，则直线 l 的斜率等于_ 16（4 分）（2013浙江）ABC 中，C=90，M 是 BC 的中点，若，则 sinBAC=_ 17（4 分）（2013浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、yR若、的夹角为 30，则的最大值等于_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（14 分）（2013浙江）在公差为 d 的等差数列an中，已知 a1=10，且 a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求 d，an；（）若 d0，求|a1|+|a2|+|a3|+|an|19（14 分）（2013浙江）设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球2 分，取出蓝球得 3 分（1）当 a=3，b=2，c=1 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若，求a：b：c 20（15 分）（2013浙江）如图，在四面体 ABCD 中，AD平面 BCD，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ=3QC（1）证明：PQ平面 BCD；（2）若二面角 CBMD 的大小为 60，求BDC 的大小 21（15 分）（2013浙江）如图，点 P（0，1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 C2于两点，l2交椭圆 C1于另一点 D（1）求椭圆 C1的方程；（2）求ABD 面积取最大值时直线 l1的方程 22（14 分）（2013浙江）已知 aR，函数 f（x）=x33x2+3ax3a+3（1）求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当 x0，2时，求|f（x）|的最大值 2013 年浙江省高考数学试卷（理科）年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（5 分）（2013浙江）已知 i 是虚数单位，则（1+i）（2i）=（）A 3+i B 1+3i C 3+3i D 1+i 考点：复数代数形式的乘除运算2710664 专题：计算题 分析：直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位 i 的幂运算性质，运算求得结果 解答：解：（1+i）（2i）=2+i+2i+1=1+3i，故选 B 点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题 2（5 分）（2013浙江）设集合 S=x|x2，T=x|x2+3x40，则（RS）T=（）A（2，1 B（，4 C（，1 D 1，+）考点：交、并、补集的混合运算2710664 分析：先根据一元二次不等式求出集合 T，然后求得RS，再利用并集的定义求出结果 解答：解：集合 S=x|x2，RS=x|x2 由 x2+3x40 得：T=x|4x1，故（RS）T=x|x1 故选 C 点评：此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及并集的运算，是高考中常考的题型在求补集时注意全集的范围 3（5 分）（2013浙江）已知 x，y 为正实数，则（）A 2lgx+lgy=2lgx+2lgy B 2lg（x+y）=2lgx2lgy C 2lgxlgy=2lgx+2lgy D 2lg（xy）=2lgx2lgy 考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质2710664 专题：计算题 分析：直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可 解答：解：因为 as+t=asat，lg（xy）=lgx+lgy（x，y 为正实数），所以 2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx2lgy，满足上述两个公式，故选 D 点评：本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查 4（5 分）（2013浙江）已知函数 f（x）=Acos（x+）（A0，0，R），则“f（x）是奇函数”是“=”的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断2710664 专题：三角函数的图像与性质 分析：=f（x）=Acos（x+）f（x）=Asin（x）（A0，0，xR）是奇函数f（x）为奇函数f（0）=0=k+，kZ所以“f（x）是奇函数”是“=”必要不充分条件 解答：解：若=，则 f（x）=Acos（x+）f（x）=Asin（x）（A0，0，xR）是奇函数；若 f（x）是奇函数，f（0）=0，f（0）=Acos（0+）=Acos=0=k+，kZ，不一定有=“f（x）是奇函数”是“=”必要不充分条件 故选 B 点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用 5（5 分）（2013浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A a=4 B a=5 C a=6 D a=7 考点：程序框图2710664 专题：图表型 分析：根据已知流程图可得程序的功能是计算 S=1+的值，利用裂项相消法易得答案 解答：解：由已知可得该程序的功能是 计算并输出 S=1+=1+1=2 若该程序运行后输出的值是，则 2=a=4，故选 A 点评：本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键 6（5 分）（2013浙江）已知，则 tan2=（）A B C D 考点：二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系2710664 专题：三角函数的求值 分析：由题意结合 sin2+cos2=1 可解得 sin，和 cos，进而可得 tan，再代入二倍角的正切公式可得答案 解答：解：，又 sin2+cos2=1，联立解得，或 故 tan=，或 tan=3，代入可得 tan2=，或 tan2=故选 C 点评：本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题 7（5 分）（2013浙江）设ABC，P0是边 AB 上一定点，满足，且对于边 AB 上任一点 P，恒有则（）A ABC=90 B BAC=90 C AB=AC D AC=BC 考点：平面向量数量积的运算2710664 专题：计算题；平面向量及应用 分析：以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设 AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由题意可写出，然后由结合向量的数量积的 坐标表示可得关于 x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求 a，进而可判断 解答：解：以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设 AB=4，C（a，b），P（x，0）则 BP0=1，A（2，0），B（2，0），P0（1，0）=（1，0），=（2x，0），=（ax，b），=（a1，b）恒有（2x）（ax）a1 恒成立 整理可得 x2（a+2）x+a+10 恒成立=（a+2）24（a+1）0 即=a20 a=0，即 C 在 AB 的垂直平分线上 AC=BC 故ABC 为等腰三角形 故选 D 点评：本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力 8（5 分）（2013浙江）已知 e 为自然对数的底数，设函数 f（x）=（ex1）（x1）k（k=1，2），则（）A 当 k=1 时，f（x）在 x=1 处取得极小值 B 当 k=1 时，f（x）在 x=1 处取得极大值 C 当 k=2 时，f（x）在 x=1 处取得极小值 D 当 k=2 时，f（x）在 x=1 处取得极大值 考点：函数在某点取得极值的条件2710664 专题：导数的综合应用 分析：通过对函数 f（x）求导，根据选项知函数在 x=1 处有极值，验证 f（1）=0，再验证 f（x）在 x=1 处取得极小值还是极大值即可得结论 解答：解：当 k=2 时，函数 f（x）=（ex1）（x1）2 求导函数可得 f（x）=ex（x1）2+2（ex1）（x1）=（x1）（xex+ex2），当 x=1，f（x）=0，且当 x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0，故函数 f（x）在（1，+）上是增函数；在（，1）上是减函数，从而函数 f（x）在 x=1 取得极小值对照选项 故选 C 点评：本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键 9（5 分）（2013浙江）如图 F1、F2是椭圆 C1：+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点 A、B 分别是 C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是（）A B C D 考点：椭圆的简单性质2710664 专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得 x，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得 C2的离心率 解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，点 A 为椭圆 C1：+y2=1 上的点，2a=4，b=1，c=；|AF1|+|AF2|=2a=4，即 x+y=4；又四边形 AF1BF2为矩形，+=，即 x2+y2=（2c）2=12，由得：，解得 x=2，y=2+，设双曲线 C2的实轴长为 2a，焦距为 2c，则 2a=，|AF2|AF1|=yx=2，2c=2=2，双曲线 C2的离心率 e=故选 D 点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题 10（5 分）（2013浙江）在空间中，过点 A 作平面 的垂线，垂足为 B，记 B=f（A）设，是两个不同的平面，对空间任意一点 P，Q1=ff（P），Q2=ff（P），恒有 PQ1=PQ2，则（）A 平面 与平面 垂直 B 平面 与平面 所成的（锐）二面角为 45 C 平面 与平面 平行 D 平面 与平面 所成的（锐）二面角为 60 考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；二面角的平面角及求法2710664 专题：证明题；压轴题；空间位置关系与距离 分析：设 P1是点 P 在 内的射影，点 P2是点 P 在 内的射影根据题意点 P1在 内的射影与 P2在 内的射影重合于一点，由此可得四边形 PP1Q1P2为矩形，且P1Q1P2是二面角 l 的平面角，根据面面垂直的定义可得平面 与平面 垂直，得到本题答案 解答：解：设 P1=f（P），则根据题意，得点 P1是过点 P 作平面 垂线的垂足 Q1=ff（P）=f（P1），点 Q1是过点 P1作平面 垂线的垂足 同理，若 P2=f（P），得点 P2是过点 P 作平面 垂线的垂足 因此 Q2=ff（P）表示点 Q2是过点 P2作平面 垂线的垂足 对任意的点 P，恒有 PQ1=PQ2，点 Q1与 Q2重合于同一点 由此可得，四边形 PP1Q1P2为矩形，且P1Q1P2是二面角 l 的平面角 P1Q1P2是直角，平面 与平面 垂直 故选：A 点评：本题给出新定义，要求我们判定平面 与平面 所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分 11（4 分）（2013浙江）设二项式的展开式中常数项为 A，则 A=10 考点：二项式系数的性质2710664 专题：计算题 分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项的值 解答：解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=（1）r=（1）r 令=0，解得 r=3，故展开式的常数项为=10，故答案为10 点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题 12（4 分）（2013浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于24 cm3 考点：由三视图求面积、体积2710664 专题：计算题 分析：先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可 解答：解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为 3，4，棱柱的高为 5，被截取的棱锥的高为 3如图：V=V棱柱V三棱锥=3=24（cm3）故答案为：24 点评：本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算V椎体=Sh，V柱体=Sh考查空间想象能力 13（4 分）（2013浙江）设 z=kx+y，其中实数 x，y 满足，若 z 的最大值为 12，则实数 k=2 考点：简单线性规划2710664 专题：不等式的解法及应用 分析：先画出可行域，得到角点坐标再对 k 进行分类讨论，通过平移直线 z=kx+y 得到最大值点 A，即可得到答案 解答：解：可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得 B（0，2），当 k 时，目标函数 z=kx+y 在 x=4，y=4 时取最大值，即直线 z=kx+y 在 y 轴上的截距 z 最大，此时，12=4k+4，故 k=2 当 k时，目标函数 z=kx+y 在 x=0，y=2 时取最大值，即直线 z=kx+y 在 y 轴上的截距 z 最大，此时，12=0k+2，故 k 不存在 综上，k=2 故答案为：2 点评：本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义 14（4 分）（2013浙江）将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有480种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题2710664 专题：概率与统计 分析：按 C 的位置分类，在左 1，左 2，左 3，或者在右 1，右 2，右 3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以 2 即可 解答：解：按 C 的位置分类，在左 1，左 2，左 3，或者在右 1，右 2，右 3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以 2 即可 当 C 在左边第 1 个位置时，有 A，当 C 在左边第 2 个位置时 AA，当 C 在左边第 3 个位置时，有 AA+AA，共为 240 种，乘以 2，得 480则不同的排法共有 480 种 故答案为：480 点评：本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法 15（4 分）（2013浙江）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过点 P（1，0）的直线 l 交抛物线 C 于两点 A，B，点 Q 为线段 AB 的中点，若|FQ|=2，则直线 l 的斜率等于不存在 考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率2710664 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：由题意设直线 l 的方程为 my=x+1，联立得到 y24my+4=0，=16m216=16（m21）0设 A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）利用根与系数的关系可得 y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my01=2m21Q（2m21，2m），由抛物线 C：y2=4x 得焦点 F（1，0）再利用两点间的距离公式即可得出 m 及 k，再代入判断是否成立即可 解答：解：由题意设直线 l 的方程为 my=x+1，联立得到 y24my+4=0，=16m216=16（m21）0 设 A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）y1+y2=4m，=2m，x0=my01=2m21 Q（2m21，2m），由抛物线 C：y2=4x 得焦点 F（1，0）|QF|=2，化为 m2=1，解得 m=1，不满足0 故满足条件的直线 l 不存在 故答案为不存在 点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力 16（4 分）（2013浙江）ABC 中，C=90，M 是 BC 的中点，若，则 sinBAC=考点：正弦定理2710664 专题：压轴题；解三角形 分析：作出图象，设出未知量，在ABM 中，由正弦定理可得 sinAMB=，进而可得 cos=，在 RTACM 中，还可得 cos=，建立等式后可得 a=b，再由勾股定理可得 c=，而 sinBAC=，代入化简可得答案 解答：解：如图 设 AC=b，AB=c，CM=MB=，MAC=，在ABM 中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得 sinAMB=，故 cos=cos（AMC）=sinAMC=sin（AMB）=sinAMB=，而在 RTACM 中，cos=，故可得=，化简可得 a44a2b2+4b4=（a22b2）=0，解之可得 a=b，再由勾股定理可得 a2+b2=c2，联立可得 c=，故在 RTABC 中，sinBAC=，故答案为：点评：本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属中档题 17（4 分）（2013浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、yR若、的夹角为 30，则的最大值等于2 考点：数量积表示两个向量的夹角2710664 专题：压轴题；平面向量及应用 分析：由题意求得=，|=，从而可得=，再利用二次函数的性质求得的最大值 解答：解：、为单位向量，和的夹角等于 30，=11cos30=非零向量=x+y，|=，=，故当=时，取得最大值为 2，故答案为 2 点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（14 分）（2013浙江）在公差为 d 的等差数列an中，已知 a1=10，且 a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求 d，an；（）若 d0，求|a1|+|a2|+|a3|+|an|考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质2710664 专题：等差数列与等比数列 分析：（）直接由已知条件 a1=10，且 a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式 an可求；（）利用（）中的结论，得到等差数列an的前 11 项大于等于 0，后面的项小于 0，所以分类讨论求 d0时|a1|+|a2|+|a3|+|an|的和 解答：解：（）由题意得，即，整理得d23d4=0解得 d=1 或 d=4 当 d=1 时，an=a1+（n1）d=10（n1）=n+11 当 d=4 时，an=a1+（n1）d=10+4（n1）=4n+6 所以 an=n+11 或 an=4n+6；（）设数列an的前 n 项和为 Sn，因为 d0，由（）得 d=1，an=n+11 则当 n11 时，当 n12 时，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn+2S11=综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题 19（14 分）（2013浙江）设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球2 分，取出蓝球得 3 分（1）当 a=3，b=2，c=1 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若，求a：b：c 考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差2710664 专题：概率与统计 分析：（1）的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求 的分布列；（2）先列出 的分布列，再利用 的数学期望和方差公式，即可得到结论 解答：解：（1）由题意得=2，3，4，5，6，P（=2）=；P（=3）=；P（=4）=；P（=5）=；P（=6）=故所求 的分布列为 2 3 4 5 6 P （2）由题意知 的分布列为 1 2 3 P E=D=（1）2+（2）2+（3）2=得，解得 a=3c，b=2c，故 a：b：c=3：2：1 点评：本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属于中档题 20（15 分）（2013浙江）如图，在四面体 ABCD 中，AD平面 BCD，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ=3QC（1）证明：PQ平面 BCD；（2）若二面角 CBMD 的大小为 60，求BDC 的大小 考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定2710664 专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角 分析：（1）取 BD 的中点 O，在线段 CD 上取点 F，使得 DF=3CF，连接 OP、OF、FQ根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形 OPQF 是平行四边形，从而 PQOF，再由线面平行判定定理，证出 PQ平面 BCD；（2）过点 C 作 CGBD，垂足为 G，过 G 作 GHBM 于 H，连接 CH根据线面垂直的判定与性质证出BMCH，因此CHG 是二面角 CBMD 的平面角，可得CHG=60设BDC=，用解直角三角形的方法算出HG 和 CG 关于 的表达式，最后在 RtCHG 中，根据正切的定义得出 tanCHG=，从而得到 tan=，由此可得BDC 解答：（1）取 BD 的中点 O，在线段 CD 上取点 F，使得 DF=3CF，连接 OP、OF、FQ ACD 中，AQ=3QC 且 DF=3CF，QFAD 且 QF=AD BDM 中，O、P 分别为 BD、BM 的中点 OPDM，且 OP=DM，结合 M 为 AD 中点得：OPAD 且 OP=AD OPQF 且 OP=QF，可得四边形 OPQF 是平行四边形 PQOF PQ平面 BCD 且 OF平面 BCD，PQ平面 BCD；（2）过点 C 作 CGBD，垂足为 G，过 G 作 GHBM 于 H，连接 CH AD平面 BCD，CG平面 BCD，ADCG 又CGBD，AD、BD 是平面 ABD 内的相交直线 CG平面 ABD，结合 BM平面 ABD，得 CGBM GHBM，CG、GH 是平面 CGH 内的相交直线 BM平面 CGH，可得 BMCH 因此，CHG 是二面角 CBMD 的平面角，可得CHG=60 设BDC=，可得 RtBCD 中，CD=BDcos=2cos，CG=CDsin=sincos，BG=BCsin=2sin2 RtBMD 中，HG=；RtCHG 中，tanCHG=tan=，可得=60，即BDC=60 点评：本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题 21（15 分）（2013浙江）如图，点 P（0，1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 C2于两点，l2交椭圆 C1于另一点 D（1）求椭圆 C1的方程；（2）求ABD 面积取最大值时直线 l1的方程 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程2710664 专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：（1）由题意可得 b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）由题意可知：直线 l1的斜率存在，设为 k，则直线 l1的方程为y=kx1利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心 O 到直线 l1的距离和弦长|AB|，又 l2l1，可得直线l2的方程为 x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点 D 的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形 ABD 的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到 k 的值 解答：解：（1）由题意可得 b=1，2a=4，即 a=2 椭圆 C1的方程为；（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）由题意可知：直线 l1的斜率存在，设为 k，则直线 l1的方程为 y=kx1 又圆的圆心 O（0，0）到直线 l1的距离 d=|AB|=又 l2l1，故直线 l2的方程为 x+ky+k=0，联立，消去 y 得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，三角形 ABD 的面积=，当且仅当时取等号，故所求直线 l1的方程为 点评：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力 22（14 分）（2013浙江）已知 aR，函数 f（x）=x33x2+3ax3a+3（1）求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当 x0，2时，求|f（x）|的最大值 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值2710664 专题：压轴题；导数的综合应用 分析：（1）求出原函数的导函数，求出函数取 x=1 时的导数值及 f（1），由直线方程的点斜式写出切线方程；（2）求出原函数的导函数，分 a0，0a1，a1 三种情况求|f（x）|的最大值特别当 0a1 时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据 a 的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小 解答：解：（1）因为 f（x）=x33x2+3ax3a+3，所以 f（x）=3x26x+3a，故 f（1）=3a3，又 f（1）=1，所以所求的切线方程为 y=（3a3）x3a+4；（2）由于 f（x）=3（x1）2+3（a1），0 x2 故当 a0 时，有 f（x）0，此时 f（x）在0，2上单调递减，故|f（x）|max=max|f（0）|，|f（2）|=33a 当 a1 时，有 f（x）0，此时 f（x）在0，2上单调递增，故|f（x）|max=max|f（0）|，|f（2）|=3a1 当 0a1 时，由 3（x1）2+3（a1）=0，得，所以，当 x（0，x1）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增；当 x（x1，x2）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减；当 x（x2，2）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增 所以函数 f（x）的极大值，极小值 故 f（x1）+f（x2）=20，从而 f（x1）|f（x2）|所以|f（x）|max=maxf（0），|f（2）|，f（x1）当 0a 时，f（0）|f（2）|又=故 当时，|f（2）|=f（2），且 f（2）f（0）又=所以当时，f（x1）|f（2）|故 当时，f（x1）|f（2）|故 f（x）max=|f（2）|=3a1 综上所述|f（x）|max=点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答（2）的关键，此题属于难题