2023年上海市高考数学真题（解析版）（春季卷）.docx

2023年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 已知向量a=3,4，b=1,2，则a-2b= 2. 不等式x-12的解集为： （结果用集合或区间表示） 3. 已知圆C的一般方程为x2+2x+y2=0，则圆C的半径为 4. 已知事件A的对立事件为A，若PA=0.5，则PA= 5. 已知正实数a、b满足a+4b=1，则ab的最大值为 6. 某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 7. 设1-2x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4= 8. 已知函数fx=2-x+1，且gx=log2x+1,x0f-x,x2022都有SkSk+1，则下列各项中可能成立的是（ ） A.a1,a3,a5,a2n-1,为等差数到，a2,a4,a6,a2n,为等比数列B.a1,a3,a5,a2n-1,为等比数列，a2,a4,a6,a2n,为等差数列C.a1,a2,a3,a2022为等差数列，a2022,a2023,an,为等比数列D.a1,a2,a3,a2022为等比数列，a2022,a2023,an,为等差数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。1. 已知三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AB=3，AC=4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F （1）求直线PM与平面ABC所成角的大小； （2）求直线ME到平面PAB的距离2. 在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b2 （1）若A+C=120，a2c，求边长c； （2）若A-C=15，a=2csinA，求ABC的面积3. 为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=F0V0，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米） （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示） （2）定义建筑物的“形状因子”为f=L2A，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=fnT+13n当f=18，T=10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小4. 已知椭圆:x2m2+y23=1(m0且m3) （1）若m2，求椭圆的离心率； （2）设A1、A2为椭圆的左右顶点，椭圆上一点E的纵坐标为1，且EA1EA2=-2，求实数m的值； （3）过椭圆上一点P作斜率为3的直线l，若直线l与双曲线y25m2-x25=1有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围5. 已知函数fx=ax3-a+1x2+x，gx=kx+m（其中a0，k,mR），若任意x0,1均有fxgx，则称函数y=gx是函数y=fx的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=gx在x处取得的最小值记为fx （1）若a2，gx=x，试判断函数yg（x）是否为函数yf（x）的“控制函数”，并说明理由； （2）若a0，曲线y=fx在x=14处的切线为直线y=hx，证明：函数y=hx为函数y=fx的“控制函数”，并求f14)的值； （3）若曲线y=fx在x=x0，x00,1处的切线过点1,0，且cx0,1，证明：当且仅当c=x0或c1时，fc=fc参考答案与试题解析2023年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.【答案】1,0【考点】平面向量的坐标运算【解析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可【解答】解：因为向量a=3,4，b=1,2，所以a-2b=3-21,4-22=1,0故答案为：1,02.【答案】-1,3【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】运用xa-axa，不等式x-12即为-2x-12，解出即可【解答】解：不等式x-12即为-2x-12，即为-1x3，则解集为-1,3，故答案为：-1,33.【答案】1【考点】圆的标准方程与一般方程的转化【解析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2=0，可得圆C的标准方程为x+12+y2=1，故圆C的圆心为-1,0，半径为1，故答案为：14.【答案】0.5【考点】互斥事件的概率加法公式互斥事件与对立事件【解析】利用对立事件概率计算公式直接求解【解答】解：事件A的对立事件为A，若PA=0.5，则PA=1-0.5=0.5故答案为：0.55.【答案】116【考点】基本不等式【解析】直接利用基本不等式求出结果【解答】解：正实数a、b满足a+4b=1，则ab=14a4b14a+4b22=116，当且仅当a=12，b=18时等号成立故答案为:1166.【答案】7【考点】频率分布直方图【解析】计算极差，根据组距求解组数即可【解答】解：极差为186-154=32，组距为5，且第一组下限为153.5，325=6.4，故组数为7组，故答案为：77.【答案】17【考点】二项式定理的应用【解析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4=C40+C44-24=17故答穼为：178.【答案】x=3【考点】函数的零点与方程根的关系分段函数的应用【解析】分x0和x0分别求解即可【解答】解：当x0时，gx=2log2x+1=2，解得x=3；当x0，则OP=x2+y2+z2=1，因为OPOCOPOBOPOA，所以y32x+12yz，可得x33y，zy，所以1=x2+y2+z213y2+y2+y2，解得y237，故OPOC=y217故答案为：217二、选择题（本大题共有4题，满分18分，1314题每题4分，第1516题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.1.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断【解析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y=x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数故选：B2.【答案】C【考点】统计表扇形统计图【解析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确故选：C3.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系异面直线的判定【解析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可【解答】解：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线故选：B4.【答案】C【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】对任意正整数k2022，都有SkSk+1，可以知道a2022,a2033,a2024,an不可能为等差数列，若d0，an=0，则Sk=Sk+1，矛盾；若d0，anSk，矛盾；若d0，an0，当n+，Sn+，必有k使得Sk+1Sk，矛盾；若d0，当n+，an+，Sn+，必有k使得Sk+1Sk，矛盾；若d0，当n+，an+，Sn+必有k使得|Sk+1|Sk|，矛盾；若d0，当n+，an-，Sn-，必有k使得Sk+1Sk，矛盾；即可判断【解答】解：由对任意正整数k2022，都有SkSk+1，可以知道a2022,a2033,a2024,an不可能为等差数列，因为若d0，当n+，an-，Sn-，必有k使得Sk+1Sk，矛盾；若d0，an=0，则Sk=Sk+1，矛盾；若d0，anSk，矛盾；若d0，an0，当n+，Sn+，必有k使得Sk+1Sk，矛盾；若d0，当n+，an+，Sn+，必有k使得Sk+1Sk，矛盾；所以选项B中的a2,a4,a6,a2n,为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D中的a2022,a2023,an,为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A中的a1,a3,a5,a2n-1,为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取a1=a2=a2022=-1，an=12n，n2023，nN即可故选：C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。1.【答案】解：（1）连接AM，PM， PA平面ABC， PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在PAM中， ABAC， BC=32+42=5， M为BC中点， AM=12BC=52， tanPMA=65，即直线PM与平面ABC所成角为arctan65；（2）由ME/平面PAB，MF/平面PAB，MEMF=M， 平面MEF/平面PAB， ME平面MEF， ME/平面PAB， PA平面ABC，AC平面ABC， PAAC， ABAC，PAAB=A，PA,AB平面PAB， AC平面PAB， AE为直线ME到平面PAB的距离， ME/平面PAB，ME平面ABC，平面ABC平面PABAB， ME/AB， M为BC中点， E为AC中点， AE=2， 直线ME到平面PAB的距离为2【考点】直线与平面所成的角点、线、面间的距离计算【解析】（1）连接AM，PM，PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在PAM中，求解即可；（2）先证明AC平面PAB，可得AE为直线ME到平面PAB的距离进则求AE的长即可【解答】解：（1）连接AM，PM， PA平面ABC， PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在PAM中， ABAC， BC=32+42=5， M为BC中点， AM=12BC=52， tanPMA=65，即直线PM与平面ABC所成角为arctan65；（2）由ME/平面PAB，MF/平面PAB，MEMF=M， 平面MEF/平面PAB， ME平面MEF， ME/平面PAB， PA平面ABC，AC平面ABC， PAAC， ABAC，PAAB=A，PA,AB平面PAB， AC平面PAB， AE为直线ME到平面PAB的距离， ME/平面PAB，ME平面ABC，平面ABC平面PABAB， ME/AB， M为BC中点， E为AC中点， AE=2， 直线ME到平面PAB的距离为22.【答案】解：（1） A+C=120，且a=2c， sinA=2sinC=2sin120-A=3cosA+sinA， cosA=0， A=90，C=30，B=60， b=2， c=233；（2）a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，sinA0， sinC=22， A-C=15， C为锐角， C=45，A=60，B=75， asin60=2sin75=82+6， a=432+6=32-6， SABC=12absinC=12432+6222=3-3【考点】解三角形正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理三角形的面积公式【解析】（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A、B、C，然后结合锐角三角函数即可求解；（2）由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a，结合三角形面积公式可求【解答】解：（1） A+C=120，且a=2c， sinA=2sinC=2sin120-A=3cosA+sinA， cosA=0， A=90，C=30，B=60， b=2， c=233；（2）a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，sinA0， sinC=22， A-C=15， C为锐角， C=45，A=60，B=75， asin60=2sin75=82+6， a=432+6=32-6， SABC=12absinC=12432+6222=3-33.【答案】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：F0=2RH+R2，V0=R2H所以S=F0V0=R2H+RR2H=2H+RHR（2）由题意可得S=18n10000+13n=32n100+13n，nN*，（2）由题意可得S=18n10000+13n=32n100+13n，nN*，所以S=32200n-13n2=92n32-200600n2，令S=0，解得n=320000816.27，所以S在1,6.27单调递减，在6.27,+)单调递增，所以S的最小值在n6或7取得，当n6时，S=326100+1360.1595，当n7时，S=327100+1370.1598，所以在n6时，该建筑体S最小【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积根据实际问题选择函数类型利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可；（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时n的值【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：F0=2RH+R2，V0=R2H所以S=F0V0=R2H+RR2H=2H+RHR（2）由题意可得S=18n10000+13n=32n100+13n，nN*，所以S=32200n-13n2=92n32-200600n2，令S=0，解得n=320000816.27，所以S在1,6.27单调递减，在6.27,+)单调递增，所以S的最小值在n6或7取得，当n6时，S=326100+1360.1595，当n7时，S=327100+1370.1598，所以在n6时，该建筑体S最小4.【答案】解：（1）若m2，则a2=4，b2=3， a=2，c=a2-b2=1， e=ca=12；（2）由已知得A1-m,0，A2m,0，设Ep,1， p2m2+13=1，即p2=23m2， EA1=-m-p,-1，EA2=m-p,-1， EA1EA2=-m-p,-1m-p,-1=p2-m2+1=-2， p2=23m2，代入求得m3；（3）设直线y=3x+t，联立椭圆可得x2m2+3x+t23=1，整理得3+3m2x2+23tm2x+t2-3m2=0，由0， t23m2+3，联立双曲线可得3x+t25m2-x25=1，整理得3-m2x2+23tx+t2-5m2=0，由=0，t2=5m2-15， 5m2-153m2+3， -3m3，又5m2-150， m3， m3，综上所述：m(3,3【考点】椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由题意可得a，b，c，可求离心率；（2）由已知得A1-m,0，A2m,0，设Ep,1，由已知可得p2=23m2，p2-m2+1=-2，求解即可；（3）设直线y=3x+t，与椭圆方程联立可得t23m2+3，与双曲线方程联立可得t2=5m2-15，可求m的取值范围【解答】解：（1）若m2，则a2=4，b2=3， a=2，c=a2-b2=1， e=ca=12；（2）由已知得A1-m,0，A2m,0，设Ep,1， p2m2+13=1，即p2=23m2， EA1=-m-p,-1，EA2=m-p,-1， EA1EA2=-m-p,-1m-p,-1=p2-m2+1=-2， p2=23m2，代入求得m3；（3）设直线y=3x+t，联立椭圆可得x2m2+3x+t23=1，整理得3+3m2x2+23tm2x+t2-3m2=0，由0， t23m2+3，联立双曲线可得3x+t25m2-x25=1，整理得3-m2x2+23tx+t2-5m2=0，由=0，t2=5m2-15， 5m2-153m2+3， -3m3，又5m2-150， m3， m3，综上所述：m(3,35.【答案】解：（1）fx=2x3-3x2+x，设hx=fx-gx=2x3-3x2，hx=6x2-6x=6xx-1，当x0,1时，易知hx=6xx-10，即hx单调减， hxmax=h0=0，即fx-gx0fxgx， gx是fx的“控制函数“；（2）fx=-x2+x，f14=316，fx=-2x+1，f14=12， hx=12x-14+316=12x+116，fx-hx=-x2+12x-116=-x-1420， fxhx，即y=hx为函数y=fx的“控制函数“，又f14=h14=316，且g14f14=316， f14=316；证明：（3）fx=ax3-a+1x2+x，fx=3ax2-2a+1x+1，y=fx在x=x0x00,1处的切线为tx，tx=fx0x-x0+fx0，tx0=fx0，t1=0f1=0，fx0=3ax02-2a+1x0+1fx01-x0=f1-fx0=1-x0a1+x0+x02-a+11+x0+13ax02-2a+1x0+1=ax02-x02ax0-1x0-1=0，x01a=12x012,+x0=12a，fx0=3ax02-2a+1x0+1=3a12a2-2a+112a+1=-14a，fx0=a12a3-a+112a2+12a=2a-18a2，tx=fx0x-x0+fx0=-14ax-12a+2a-18a2tx=-14ax-1，fx=xx-1ax-1txax2-x+14a0，x-12a20恒成立，函数tx必是函数y=fx的“控制函数“，gx=kx+mfxfxfx，fx=fx，x0,1是函数y=fx的“控制函数“，此时“控制函数“gx必与y=fx相切于x点，tx与y=fx在x=12a处相切，且过点1,0，在12a,1之间的点不可能使得y=fx在12a,1切线下方，所以fc=fcc=12a=x0或c1，所以曲线y=fx在x=x0x00,1处的切线过点1,0，且cx0,1，当且仅当c=x0或c1时，fc=fc【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）设hx=fx-gx=2x3-3x2，hx=6x2-6x=6xx-1，当x0,1时，易知hx=6xx-10，即hx单调减，求得最值即可判断；（2）根据题意得到fxhx，即y=hx为函数y=fx的“控制函数“，代入即可求解；（3）fx=ax3-a+1x2+x，fx=3ax2-2a+1x+1，y=fx在x=x0x00,1处的切线为tx，求导整理得到函数tx必是函数y=fx的“控制函数“，又此时“控制函数“gx必与y=fx相切于x点，tx与y=fx在x=12a处相切，且过点1,0，在12a,1之间的点不可能使得y=fx在12a,1切线下方，所以fc=fcc=12a=x0或c1，即可得证【解答】解：（1）fx=2x3-3x2+x，设hx=fx-gx=2x3-3x2，hx=6x2-6x=6xx-1，当x0,1时，易知hx=6xx-10，即hx单调减， hxmax=h0=0，即fx-gx0fxgx， gx是fx的“控制函数“；（2）fx=-x2+x，f14=316，fx=-2x+1，f14=12， hx=12x-14+316=12x+116，fx-hx=-x2+12x-116=-x-1420， fxhx，即y=hx为函数y=fx的“控制函数“，又f14=h14=316，且g14f14=316， f14=316；证明：（3）fx=ax3-a+1x2+x，fx=3ax2-2a+1x+1，y=fx在x=x0x00,1处的切线为tx，tx=fx0x-x0+fx0，tx0=fx0，t1=0f1=0，fx0=3ax02-2a+1x0+1fx01-x0=f1-fx0=1-x0a1+x0+x02-a+11+x0+13ax02-2a+1x0+1=ax02-x02ax0-1x0-1=0，x01a=12x012,+x0=12a，fx0=3ax02-2a+1x0+1=3a12a2-2a+112a+1=-14a，fx0=a12a3-a+112a2+12a=2a-18a2，tx=fx0x-x0+fx0=-14ax-12a+2a-18a2tx=-14ax-1，fx=xx-1ax-1txax2-x+14a0，x-12a20恒成立，函数tx必是函数y=fx的“控制函数“，gx=kx+mfxfxfx，fx=fx，x0,1是函数y=fx的“控制函数“，此时“控制函数“gx必与y=fx相切于x点，tx与y=fx在x=12a处相切，且过点1,0，在12a,1之间的点不可能使得y=fx在12a,1切线下方，所以fc=fcc=12a=x0或c1，所以曲线y=fx在x=x0x00,1处的切线过点1,0，且cx0,1，当且仅当c=x0或c1时，fc=fc