2023年上海市高考数学真题（解析版）（春季卷）.docx

2023年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 已知向量a→=3,4，b→=1,2，则a→-2b→= ．

2. 不等式x-1≤2的解集为： ．（结果用集合或区间表示）

3. 已知圆C的一般方程为x2+2x+y2=0，则圆C的半径为 ．

4. 已知事件A的对立事件为A，若PA=0.5，则PA= ．

5. 已知正实数a、b满足a+4b=1，则ab的最大值为 ．

6. 某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186 cm，最小值为154 cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．

7. 设1-2x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4= ．

8. 已知函数fx=2-x+1，且gx=log2x+1,x≥0f-x,x<0，则方程gx=2的解为 ．

9. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ．

10. 已知z1,z2∈C且z1=iz2¯（i为虚数单位），满足z1-1=1，则z1-z2的取值范围为 ．

11. 已知OA→、OB→、OC→为空间中三组单位向量，且OA→⊥OB→，OA→⊥OC→，OB→与OC→夹角为60∘，点P为空间任意一点，且OP→=1，满足OP→⋅OC→≤OP→⋅OB→≤OP→⋅OA→，则OP→⋅OC→最大值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13−14题每题4分，第15−16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

1. 下列函数是偶函数的是（ ）
A.y=sinx B.y=cosx C.y=x3 D.y=2x

2. 如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）

A.从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B.从2018年开始，进出口总额逐年增大
C.从2018年开始，进口总额逐年增大
D.从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

3. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）

A.DD1 B.AC C.AD1 D.B1C

4. 已知无穷数列an的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意正整数k>2022都有Sk>Sk+1，则下列各项中可能成立的是（ ）
A.a1,a3,a5,⋯,a2n-1,⋯为等差数到，a2,a4,a6,⋯,a2n,⋯为等比数列
B.a1,a3,a5,⋯,a2n-1,⋯为等比数列，a2,a4,a6,⋯,a2n,⋯为等差数列
C.a1,a2,a3,⋯,a2022为等差数列，a2022,a2023,⋯,an,⋯为等比数列
D.a1,a2,a3,⋯,a2022为等比数列，a2022,a2023,⋯,an,⋯为等差数列
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

1. 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=3，AC=4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．

（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；

（2）求直线ME到平面PAB的距离．

2. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2．
（1）若A+C=120∘，a＝2c，求边长c；

（2）若A-C=15∘，a=2csinA，求△ABC的面积．

3. 为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=F0V0，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）

（2）定义建筑物的“形状因子”为f=L2A，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=f⋅n T+13n．当f=18，T=10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．

4. 已知椭圆Γ:x2m2+y23=1(m>0且m≠3)．
（1）若m＝2，求椭圆Γ的离心率；

（2）设A1、 A2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且EA1→⋅EA2→=-2，求实数m的值；

（3）过椭圆Γ上一点P作斜率为3的直线l，若直线l与双曲线y25m2-x25=1有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．

5. 已知函数fx=ax3-a+1x2+x，gx=kx+m（其中a≥0，k,m∈R），若任意x∈[0,1]均有fx≤gx，则称函数y=gx是函数y=fx的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=gx在x处取得的最小值记为fx．
（1）若a＝2，gx=x，试判断函数y＝g（x）是否为函数y＝f（x）的“控制函数”，并说明理由；

（2）若a＝0，曲线y=fx在x=14处的切线为直线y=hx，证明：函数y=hx为函数y=fx的“控制函数”，并求f14)的值；

（3）若曲线y=fx在x=x0，x0∈0,1处的切线过点1,0，且c∈x0,1，证明：当且仅当c=x0或c＝1时，fc=fc．

参考答案与试题解析
2023年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.
【答案】
1,0
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
【解答】
解：因为向量a→=3,4，b→=1,2，
所以a→-2b→=3-2×1,4-2×2=1,0．
故答案为：1,0．
2.
【答案】
[-1,3]
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
运用x≤a⇔-a≤x≤a，不等式x-1≤2即为-2≤x-1≤2，解出即可．
【解答】
解：不等式x-1≤2即为-2≤x-1≤2，
即为-1≤x≤3，
则解集为[-1,3]，
故答案为：[-1,3]．
3.
【答案】
1
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
【解析】
把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．
【解答】
解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2=0，可得圆C的标准方程为x+12+y2=1，
故圆C的圆心为-1,0，半径为1，
故答案为：1．
4.
【答案】
0.5
【考点】
互斥事件的概率加法公式
互斥事件与对立事件
【解析】
利用对立事件概率计算公式直接求解．
【解答】
解：事件A的对立事件为A，
若PA=0.5，则PA=1-0.5=0.5．
故答案为：0.5．
5.
【答案】
116
【考点】
基本不等式
【解析】
直接利用基本不等式求出结果．
【解答】
解：正实数a、b满足a+4b=1，则ab=14×a⋅4b≤14×a+4b22=116，当且仅当a=12，b=18时等号成立．
故答案为: 116．
6.
【答案】
7
【考点】
频率分布直方图
【解析】
计算极差，根据组距求解组数即可．
【解答】
解：极差为186-154=32，组距为5，且第一组下限为153.5，
325=6.4，故组数为7组，
故答案为：7．
7.
【答案】
17
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
根据二项式定理及组合数公式，即可求解．
【解答】
解：根据题意及二项式定理可得：
a0+a4=C40+C44⋅-24=17．
故答穼为：17．
8.
【答案】
x=3
【考点】
函数的零点与方程根的关系
分段函数的应用
【解析】
分x≥0和x<0分别求解即可．
【解答】
解：当x≥0时，gx=2⇔log2x+1=2，解得x=3；
当x<0时，gx=f-x=2x+1=2，解得x＝0（舍）；
所以gx=2的解为：x＝3．
故答案为：x=3．
9.
【答案】
0.5
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
根据古典概型求解即可．
【解答】
解：从10人中任选3人的事件个数为C103=10×9×83×2×1=120，
恰有1名男生2名女生的事件个数为C41C62=4×6×52×1=60，
则恰有1名男生2名女生的概率为 60120=0.5，
故答案为：0.5．
10.
【答案】
[0,2+2]
【考点】
共轭复数
复数的模
【解析】
引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．
【解答】
解：设z1-1=cosθ+isinθ，则z1=1+cosθ+isinθ，
因为z1=i⋅z2¯，所以z2=sinθ+icosθ+1，
所以z1-z2=cosθ-sinθ+12+sinθ-cosθ-12=22sinθ-π4-12=22sinθ-π4-1，
显然当sinθ-π4=22时，原式取最小值0，
当sinθ-π4=-1时，原式取最大值2+2，
故z1-z2的取值范围为[0,2+2]．
故答案为：[0,2+2]．
11.
【答案】
217
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】
将问题坐标化，表示出OA→、OB→、OC→的坐标，再设OP→=x,y,z，代入条件，结合不等式的性质求解．
【解答】
解：设OA→=0,0,1，OB→=32,12,0，OC→=0,1,0，
OP→=x,y,z，不妨设x,y,z>0，则OP→=x2+y2+z2=1，
因为OP→⋅OC→≤OP→⋅OB→≤OP→⋅OA→，
所以y≤32x+12y≤z，可得x≥33y，z≥y，
所以1=x2+y2+z2≥13y2+y2+y2，解得y2≤37，
故OP→⋅OC→=y≤217．
故答案为：217．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13−14题每题4分，第15−16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
1.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的判断
【解析】
根据偶函数的定义逐项分析判断即可．
【解答】
解：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；
对于B，由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；
对于C，由幂函数的性质可知，y=x3为奇函数；
对于D，由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数．
故选：B．
2.
【答案】
C
【考点】
统计表
扇形统计图
【解析】
结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．
【解答】
解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；
2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；
显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，
且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确．
故选：C．
3.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
异面直线的判定
【解析】
根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．
【解答】
解：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；
对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；
对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；
对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．
故选：B．
4.
【答案】
C
【考点】
等差数列与等比数列的综合
【解析】
对任意正整数k>2022，都有Sk>Sk+1，可以知道a2022,a2033,a2024,⋯,an不可能为等差数列，若d＝0，an=0，则Sk=Sk+1，矛盾；若d＝0，an<0，当n→+∞，Sn→-∞，k使得Sk+1>Sk，矛盾；若d＝0，an>0，当n→+∞，Sn→+∞，必有k使得Sk+1>Sk，矛盾；若d＞0，当n→+∞，an→+∞，Sn→+∞，必有k使得Sk+1>Sk，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a​n→+∞，S​n→+∞必有k使得|S​k​+1|＞|S​k|，矛盾；若d＜0，当n→+∞，an→-∞，Sn→-∞，必有k使得Sk+1>Sk，矛盾；即可判断．
【解答】
解：由对任意正整数k>2022，都有Sk>Sk+1，可以知道a2022,a2033,a2024,⋯,an不可能为等差数列，
因为若d＜0，当n→+∞，an→-∞，Sn→-∞，必有k使得Sk+1>Sk，矛盾；
若d＝0，an=0，则Sk=Sk+1，矛盾；
若d＝0，an<0，当n→+∞，Sn→-∞，k使得Sk+1>Sk，矛盾；
若d＝0，an>0，当n→+∞，Sn→+∞，必有k使得Sk+1>Sk，矛盾；
若d＞0，当n→+∞，an→+∞，Sn→+∞，必有k使得Sk+1>Sk，矛盾；
所以选项B中的a2,a4,a6,⋯,a2n,⋯为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项D中的a2022,a2023,⋯,an,⋯为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项A中的a1,a3,a5,⋯,a2n-1,⋯为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
事实上，只需取a1=a2=⋯=a2022=-1，an=12n，n≥2023，n∈N即可．
故选：C．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
1.
【答案】
解：（1）连接AM，PM，

∵ PA⊥平面ABC，
∴ ∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，
在△PAM中，∵ AB⊥AC，∴ BC=32+42=5，
∵ M为BC中点，∴ AM=12BC=52，
∴ tan∠PMA=65，即直线PM与平面ABC所成角为arctan65；
（2）由ME//平面PAB，MF//平面PAB，ME∩MF=M，
∴ 平面MEF//平面PAB，∵ ME⊂平面MEF，∴ ME//平面PAB，
∵ PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴ PA⊥AC，∵ AB⊥AC，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，
∴ AC⊥平面PAB，∴ AE为直线ME到平面PAB的距离，
∵ ME//平面PAB，ME⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB＝AB，
∴ ME//AB，∵ M为BC中点，∴ E为AC中点，∴ AE=2，
∴ 直线ME到平面PAB的距离为2．
【考点】
直线与平面所成的角
点、线、面间的距离计算
【解析】
（1）连接AM，PM，∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，在△PAM中，求解即可；
（2）先证明AC⊥平面PAB，可得AE为直线ME到平面PAB的距离．进则求AE的长即可．
【解答】
解：（1）连接AM，PM，

∵ PA⊥平面ABC，
∴ ∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，
在△PAM中，∵ AB⊥AC，∴ BC=32+42=5，
∵ M为BC中点，∴ AM=12BC=52，
∴ tan∠PMA=65，即直线PM与平面ABC所成角为arctan65；
（2）由ME//平面PAB，MF//平面PAB，ME∩MF=M，
∴ 平面MEF//平面PAB，∵ ME⊂平面MEF，∴ ME//平面PAB，
∵ PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴ PA⊥AC，∵ AB⊥AC，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，
∴ AC⊥平面PAB，∴ AE为直线ME到平面PAB的距离，
∵ ME//平面PAB，ME⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB＝AB，
∴ ME//AB，∵ M为BC中点，∴ E为AC中点，∴ AE=2，
∴ 直线ME到平面PAB的距离为2．
2.
【答案】
解：（1）∵ A+C=120∘，且a=2c，
∴ sinA=2sinC=2sin120∘-A=3cosA+sinA，
∴ cosA=0，
∴ A=90∘，C=30∘，B=60∘，
∵ b=2，
∴ c=233；
（2）a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，
sinA>0，∴ sinC=22，
∵ A-C=15∘，
∴ C为锐角，
∴ C=45∘，A=60∘，B=75∘，
∴ asin60∘=2sin75∘=82+6，
∴ a=432+6=32-6，
∴ S△ABC=12absinC=12×432+6×2×22=3-3．
【考点】
解三角形
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A、B、C，然后结合锐角三角函数即可求解；
（2）由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a，结合三角形面积公式可求．
【解答】
解：（1）∵ A+C=120∘，且a=2c，
∴ sinA=2sinC=2sin120∘-A=3cosA+sinA，
∴ cosA=0，
∴ A=90∘，C=30∘，B=60∘，
∵ b=2，
∴ c=233；
（2）a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，
sinA>0，∴ sinC=22，
∵ A-C=15∘，
∴ C为锐角，
∴ C=45∘，A=60∘，B=75∘，
∴ asin60∘=2sin75∘=82+6，
∴ a=432+6=32-6，
∴ S△ABC=12absinC=12×432+6×2×22=3-3．
3.
【答案】
解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
F0=2πRH+πR2，V0=πR2H
所以S=F0V0=πR2H+RπR2H=2H+RHR．
（2）由题意可得S=18n10000+13n=32n100+13n，n∈N*，
（2）由题意可得S=18n10000+13n=32n100+13n，n∈N*，
所以S'=32200n-13n2=92n32-200600n2，
令S'=0，解得n=32000081≈6.27，
所以S在[1,6.27]单调递减，在[6.27,+∞)单调递增，
所以S的最小值在n＝6或7取得，
当n＝6时，S=32×6100+13×6≈0.1595，
当n＝7时，S=32×7100+13×7≈0.1598，
所以在n＝6时，该建筑体S最小．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
根据实际问题选择函数类型
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可；
（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时n的值．
【解答】
解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
F0=2πRH+πR2，V0=πR2H
所以S=F0V0=πR2H+RπR2H=2H+RHR．
（2）由题意可得S=18n10000+13n=32n100+13n，n∈N*，
所以S'=32200n-13n2=92n32-200600n2，
令S'=0，解得n=32000081≈6.27，
所以S在[1,6.27]单调递减，在[6.27,+∞)单调递增，
所以S的最小值在n＝6或7取得，
当n＝6时，S=32×6100+13×6≈0.1595，
当n＝7时，S=32×7100+13×7≈0.1598，
所以在n＝6时，该建筑体S最小．
4.
【答案】
解：（1）若m＝2，则a2=4，b2=3，∴ a=2，c=a2-b2=1，∴ e=ca=12；
（2）由已知得A1-m,0，A2m,0，设Ep,1，
∴ p2m2+13=1，即p2=23m2，
∴ EA1→=-m-p,-1，EA2→=m-p,-1，∴ EA1→⋅EA2→=-m-p,-1⋅m-p,-1=p2-m2+1=-2，
∵ p2=23m2，代入求得m＝3；
（3）设直线y=3x+t，联立椭圆可得x2m2+3x+t23=1，
整理得3+3m2x2+23tm2x+t2-3m2=0，
由△≥0，∴ t2≤3m2+3，
联立双曲线可得3x+t25m2-x25=1，整理得3-m2x2+23tx+t2-5m2=0，
由Δ=0，t2=5m2-15，
∴ 5m2-15≤3m2+3，
∴ -3≤m≤3，
又5m2-15≥0，∴ m≥3，∵ m≠3，
综上所述：m∈(3,3]．
【考点】
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
直线与椭圆的位置关系
【解析】
（1）由题意可得a，b，c，可求离心率；
（2）由已知得A1-m,0，A2m,0，设Ep,1，由已知可得p2=23m2，p2-m2+1=-2，求解即可；
（3）设直线y=3x+t，与椭圆方程联立可得t2≤3m2+3，与双曲线方程联立可得t2=5m2-15，可求m的取值范围．
【解答】
解：（1）若m＝2，则a2=4，b2=3，∴ a=2，c=a2-b2=1，∴ e=ca=12；
（2）由已知得A1-m,0，A2m,0，设Ep,1，
∴ p2m2+13=1，即p2=23m2，
∴ EA1→=-m-p,-1，EA2→=m-p,-1，∴ EA1→⋅EA2→=-m-p,-1⋅m-p,-1=p2-m2+1=-2，
∵ p2=23m2，代入求得m＝3；
（3）设直线y=3x+t，联立椭圆可得x2m2+3x+t23=1，
整理得3+3m2x2+23tm2x+t2-3m2=0，
由△≥0，∴ t2≤3m2+3，
联立双曲线可得3x+t25m2-x25=1，整理得3-m2x2+23tx+t2-5m2=0，
由Δ=0，t2=5m2-15，
∴ 5m2-15≤3m2+3，
∴ -3≤m≤3，
又5m2-15≥0，∴ m≥3，∵ m≠3，
综上所述：m∈(3,3]．
5.
【答案】
解：（1）fx=2x3-3x2+x，设hx=fx-gx=2x3-3x2，
h'x=6x2-6x=6xx-1，当x∈[0,1]时，易知h'x=6xx-1≤0，即hx单调减，
∴ hxmax =h0=0，即fx-gx≤0⇒fx≤gx，
∴ gx是fx的“控制函数“；
（2）fx=-x2+x，f14=316，f'x=-2x+1，f'14=12，
∴ hx=12x-14+316=12x+116，fx-hx=-x2+12x-116=-x-142≤0，
∴ fx≤hx，即y=hx为函数y=fx的“控制函数“，
又f14=h14=316，且g14≥f14=316，∴ f14=316；
证明：（3）fx=ax3-a+1x2+x，f'x=3ax2-2a+1x+1，
y=fx在x=x0x0∈0,1处的切线为tx，
tx=f'x0x-x0+fx0，tx0=fx0，t1=0⇒f1=0，
f'x0=3ax0​2-2a+1x0+1⇒f'x01-x0=f1-fx0=1-x0a1+x0+x0​2-a+11+x0+1
⇒3ax0​2-2a+1x0+1=ax0​2-x0⇒2ax0-1x0-1=0，
x0≠1⇒a=12x0∈12,+∞⇒x0=12a，
f'x0=3ax0​2-2a+1x0+1=3a12a2-2a+112a+1=-14a，
fx0=a12a3-a+112a2+12a=2a-18a2，
tx=f'x0x-x0+fx0=-14ax-12a+2a-18a2⇒tx=-14ax-1，
fx=xx-1ax-1≤tx⇒ax2-x+14a≥0，x-12a2≥0恒成立，
函数tx必是函数y=fx的“控制函数“，
∀gx=kx+m≥fx⇒∀fx≥fx，fx=fx，x∈0,1是函数y=fx的“控制函数“，
此时“控制函数“gx必与y=fx相切于x点，tx与y=fx在x=12a处相切，且过点1,0，
在12a,1之间的点不可能使得y=fx在12a,1切线下方，所以fc=fc⇒c=12a=x0或c＝1，
所以曲线y=fx在x=x0x0∈0,1处的切线过点1,0，且c∈x0,1，
当且仅当c=x0或c＝1时，fc=fc．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
（1）设hx=fx-gx=2x3-3x2，h'x=6x2-6x=6xx-1，当x∈[0,1]时，易知h'x=6xx-1≤0，即hx单调减，求得最值即可判断；
（2）根据题意得到fx≤hx，即y=hx为函数y=fx的“控制函数“，代入即可求解；
（3）fx=ax3-a+1x2+x，f'x=3ax2-2a+1x+1，y=fx在x=x0x0∈0,1处的切线为tx，求导整理得到函数tx必是函数y=fx的“控制函数“，又此时“控制函数“gx必与y=fx相切于x点，tx与y=fx在x=12a处相切，且过点1,0，在12a,1之间的点不可能使得y=fx在12a,1切线下方，所以fc=fc⇒c=12a=x0或c＝1，即可得证．
【解答】
解：（1）fx=2x3-3x2+x，设hx=fx-gx=2x3-3x2，
h'x=6x2-6x=6xx-1，当x∈[0,1]时，易知h'x=6xx-1≤0，即hx单调减，
∴ hxmax =h0=0，即fx-gx≤0⇒fx≤gx，
∴ gx是fx的“控制函数“；
（2）fx=-x2+x，f14=316，f'x=-2x+1，f'14=12，
∴ hx=12x-14+316=12x+116，fx-hx=-x2+12x-116=-x-142≤0，
∴ fx≤hx，即y=hx为函数y=fx的“控制函数“，
又f14=h14=316，且g14≥f14=316，∴ f14=316；
证明：（3）fx=ax3-a+1x2+x，f'x=3ax2-2a+1x+1，
y=fx在x=x0x0∈0,1处的切线为tx，
tx=f'x0x-x0+fx0，tx0=fx0，t1=0⇒f1=0，
f'x0=3ax0​2-2a+1x0+1⇒f'x01-x0=f1-fx0=1-x0a1+x0+x0​2-a+11+x0+1
⇒3ax0​2-2a+1x0+1=ax0​2-x0⇒2ax0-1x0-1=0，
x0≠1⇒a=12x0∈12,+∞⇒x0=12a，
f'x0=3ax0​2-2a+1x0+1=3a12a2-2a+112a+1=-14a，
fx0=a12a3-a+112a2+12a=2a-18a2，
tx=f'x0x-x0+fx0=-14ax-12a+2a-18a2⇒tx=-14ax-1，
fx=xx-1ax-1≤tx⇒ax2-x+14a≥0，x-12a2≥0恒成立，
函数tx必是函数y=fx的“控制函数“，
∀gx=kx+m≥fx⇒∀fx≥fx，fx=fx，x∈0,1是函数y=fx的“控制函数“，
此时“控制函数“gx必与y=fx相切于x点，tx与y=fx在x=12a处相切，且过点1,0，
在12a,1之间的点不可能使得y=fx在12a,1切线下方，所以fc=fc⇒c=12a=x0或c＝1，
所以曲线y=fx在x=x0x0∈0,1处的切线过点1,0，且c∈x0,1，
当且仅当c=x0或c＝1时，fc=fc．