2022年高考数学真题（上海自主命题）（春季卷）解析版.docx

2022年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1. 已知z=2+i（其中i为虚数单位），则z¯= ．

2. 已知集合A=-1,2，集合B=1,3，则A∩B= ．

3. 不等式x-1x<0的解集为 ．

4. 若tanα=3，则tanα+π4= ．

5. 设函数fx=x3的反函数为f-1x，则f-127= ．

6. 在x3+1x12的展开式中，则含1x4项的系数为 ．

7. 若关于x，y的方程组x+my=2mx+16y=8有无穷多解，则实数m的值为 ．

8. 已知在△ABC中，∠A=π3，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为 ．

9. 用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 .（用数字作答）

10. 在△ABC中，∠A=90∘，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则MP→⋅CP→的最小值为 ．

11. 已知P1x1,y1，P2x2,y2两点均在双曲线Γ:x2a2-y2=1a>0的右支上，若x1x2>y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 ．

12. 已知函数y=fx为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈(0,1]时，fx=lnx，若将方程fx=x+1的正实数根从小到大依次记为x1 ，x2，x3，…，xn，则limn→∞xn+1-xn= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

1. 下列函数定义域为R的是（ ）
A.y=x-12 B.y=x-1 C.y=x13 D.y=x12

2. 若a>b>c>d，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.a+d>b+c B.a+c>b+d C.ac>bd D.ad>bc

3. 上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（ ）

A.0 B.2 C.4 D.12

4. 已知等比数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（ ）
A.若S2022>S2021 ，则数列an是递增数列
B.若T2022>T2021  ，则数列an是递增数列
C.若数列Sn是递增数列，则a2022≥a2021
D.若数列Tn是递增数列，则a2022≥a2021
三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

1. 如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．

（1）若AA1=4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．

2. 已知在数列an中，a2=1，其前n项和为Sn．
（1）若an是等比数列，S2=3，求limn→∞Sn；

（2）若an是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．

3. 为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1 m，计算面积精确到0.01 m2）

（1）若∠ADE=20∘，求EF的长；

（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

4. 已知椭圆Γ:x2a2+y2=1a>1，A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l:x=a上，且C在第一象限．
（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB=π6，求Γ的标准方程；

（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；

（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求CD的最小值．

5. 已知函数fx的定义域为R，现有两种对fx变换的操作：φ变换：fx-fx-t；ω变换：∣fx+t-fx∣，其中t为大于0的常数．
（1）设fx=2x，t＝1，gx为fx做φ变换后的结果，解方程：gx=2；

（2）设fx=x2，hx为fx做ω变换后的结果，解不等式：fx≥hx；

（3）设fx在-∞,0上单调递增，fx先做φ变换后得到ux，ux再做ω变换后得到h1x；fx先做ω变换后得到vx，vx再做φ变换后得到h2x．若h1x=h2x恒成立，证明：函数fx在R上单调递增．

参考答案与试题解析
2022年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1.
【答案】
2-i
【考点】
共轭复数
【解析】
根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．
【解答】
解：∵ z=2+i，
∴ z¯=2-i．
故答案为：2-i.
2.
【答案】
1,2
【考点】
交集及其运算
【解析】
利用交集定义直接求解．
【解答】
解：∵ 集合A=-1,2，集合B=1,3，
∴ A∩B=1,2．
故答案为：1,2．
3.
【答案】
0,1
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．
【解答】
解：由题意得xx-1<0，
解得0<x<1，
故不等式的解集0,1．
故答案为：0,1．
4.
【答案】
-2
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
由两角和的正切公式直接求解即可．
【解答】
解：若tanα=3，
则tanα+π4=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=3+11-3×1=-2．
故答案为：-2．
5.
【答案】
3
【考点】
反函数
【解析】
直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．
【解答】
解：函数fx=x3的反函数为f-1x，
整理得f-1x=3x；
所以f-127=3．
故答案为：3．
6.
【答案】
66
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．
【解答】
解：展开式的通项公式为Tk+1=C12kx3​12-k1xk=C12kx36-4k，
由36-4k=-4，得4k=40，得k=10，
即T11=C1210x-4=66x4，即含1x4项的系数为66，
故答案为：66．
7.
【答案】
4
【考点】
方程组解的个数与两直线的位置关系
两条直线的交点坐标
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
根据题意，分析可得直线x+my=2和mx+16y＝8重合，由此求出m的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，若关于x，y的方程组x+my=2mx+16y=8有无穷多解，
则直线x+my=2和mx+16y＝8重合，则有1×16=m×m，即m2=16，解可得m=±4，
当m=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，
当m=-4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，
故m＝4．
故答案为：4．
8.
【答案】
213
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．
【解答】
解：在△ABC中，∠A=π3，AB＝2，AC＝3，
利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB⋅AC⋅cosA，整理得BC=7，
所以BCsinA=2R，解得R=213．
故答案为: 213 .
9.
【答案】
17
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，
当其千位数字为3或4时，有2A33=12种情况，即有12个符合题意的四位数，
当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，
故有12+5＝17个比2134大的四位数，
故答案为:17 .
10.
【答案】
-98
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出MP→⋅CP→=2x2-3x，再利用二次函数求最值即可．
【解答】
解：建立平面直角坐标系如下，

则B2,0，C0,2，M1,0，
直线BC的方程为x2+y2=1，即x+y＝2，
点P在直线上，设Px,2-x，
∴ MP→=x-1,2-x，CP→=x,-x，
∴ MP→⋅CP→=xx-1-x2-x=2x2-3x=2x-342-98≥-98，
∴ MP→⋅CP→的最小值为-98．
故答案为: -98 .
11.
【答案】
[1,+∞)
【考点】
双曲线的简单几何性质
【解析】
取P2的对称点P3x2,-y2，结合x1x2>y1y2，可得OP1→⋅OP3→>0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90∘，代入渐近线斜率计算即可求得．
【解答】
解：设P2的对称点P3x2,-y2仍在双曲线右支，

由x1x2>y1y2，得x1x2-y1y2>0，即OP1→⋅OP3→>0恒成立，
∴ ∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90∘，
∴ 其中一条渐近线y=1ax的斜率1a≤1，
∴ a≥1，
所以实数a的取值范围为[1,+∞)．
故答案为：[1,+∞)．
12.
【答案】
2
【考点】
极限及其运算
【解析】
fx是周期为4的周期函数，作出图像，limn→∞xn+1-xn的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．
【解答】
解：∵ 函数y=fx为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈(0,1]时，fx=lnx，
∴ fx是周期为4的周期函数，图像如图：

将方fx=x+1的正实数根从小到大依次记为x1 ，x2，x3，…，xn，，
则limn→∞xn+1-xn的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
∴ limn→∞xn+1-xn=2．
故答案为：2．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
1.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
【解答】
解：y=x-12=1x，定义域为{x∣x>0}，
y=x-1=1x，定义域为{x∣x≠0}，
y=x13=3x，定义域为R，
y=x12=x，定义域为{x∣x≥0}．
∴ 定义域为R的是y=x13．
故选: C .
2.
【答案】
B
【考点】
不等式性质的应用
【解析】
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】
解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a>b>c>d，但a+d=b+c，故A错误，
对于B，∵ a>b>c>d，即a>b，c>d，∴ 由不等式的可加性可得，a+c>b+d，故B正确，
对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a>b>c>d，但ac=bd，故C错误，
对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a>b>c>d，但ad<bc，故D错误．
故选: B .
3.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．
【解答】
解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，
∴ 每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，
故选：B．
4.
【答案】
D
【考点】
数列的应用
【解析】
反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D．
【解答】
解：如果数列a1=-1，公比为﹣2，满足S2022>S2021，但是数列an不是递增数列，所以A不正确；
如果数列a1=1，公比为-12，满足T2022>T2021，但是数列an不是递增数列，所以B不正确；
如果数列a1=1，公比为12，Sn=1-12n12=21-12n，数列Sn是递增数列，但是a2022<a2021，所以C不正确；
数列Tn是递增数列，可知Tn>Tn-1，可得an>1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；
故选：D．
三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
1.
【答案】
解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，

所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1=A1MO1A1=21=2，
所以∠MO1A1=arctan2．
（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1=2，
所以圆柱的体积为V=πr2h=π⋅12⋅2=2π，
圆柱的侧面积为S=2πrh=2π⋅1⋅2=4π．
【考点】
直线与平面所成的角
柱体、锥体、台体的体积计算
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
（1）转化为解直角三角形问题求解；
（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．
【解答】
解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，

所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1=A1MO1A1=21=2，
所以∠MO1A1=arctan2．
（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1=2，
所以圆柱的体积为V=πr2h=π⋅12⋅2=2π，
圆柱的侧面积为S=2πrh=2π⋅1⋅2=4π．
2.
【答案】
解：（1）在等比数列an中，a2=1，S2=3，则a1=2，
∴ 公比q=12，则Sn=a11-qn1-q=41-12n，
limn→∞Sn=limn→∞41-12n=4；
（2）若an是等差数列，
则S2n=a2+a2n-1⋅2n2=2dn2+2-3dn≥n，
即3-2nd≤1，当n＝1时，d≤1；
当n≥2时，d≥13-2n恒成立，∵ 13-2n∈[-1,0)，∴ d≥0．
综上所述，d∈[0,1]．
【考点】
数列的极限
【解析】
（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；
（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n≥n，对n分类分析得答案．
【解答】
解：（1）在等比数列an中，a2=1，S2=3，则a1=2，
∴ 公比q=12，则Sn=a11-qn1-q=41-12n，
limn→∞Sn=limn→∞41-12n=4；
（2）若an是等差数列，
则S2n=a2+a2n-1⋅2n2=2dn2+2-3dn≥n，
即3-2nd≤1，当n＝1时，d≤1；
当n≥2时，d≥13-2n恒成立，∵ 13-2n∈[-1,0)，∴ d≥0．
综上所述，d∈[0,1]．
3.
【答案】
解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，

则EF=EH+HF=15tan20∘+15tan50∘≈23.3m；
（2）设∠ADE=θ，则AE=15tanθ，FH=15tan90∘-2θ，
S四边形ADFE =2S△ADE+S△DFH=2×12×15×15tanθ+12×15×15tan90∘-2θ，
=15230tanθ+15cot2θ=15230tanθ+15⋅1+tan2θ2tanθ
=22543tanθ+1tanθ≥22532，
当且仅当3tanθ=1tanθ，即tanθ=33时取等号，
此时AE=15tanθ=53，最大面积为450-22532≈255.14 m2．
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，
（2）设∠ADE=θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．
【解答】
解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，

则EF=EH+HF=15tan20∘+15tan50∘≈23.3m；
（2）设∠ADE=θ，则AE=15tanθ，FH=15tan90∘-2θ，
S四边形ADFE =2S△ADE+S△DFH=2×12×15×15tanθ+12×15×15tan90∘-2θ，
=15230tanθ+15cot2θ=15230tanθ+15⋅1+tan2θ2tanθ
=22543tanθ+1tanθ≥22532，
当且仅当3tanθ=1tanθ，即tanθ=33时取等号，
此时AE=15tanθ=53，最大面积为450-22532≈255.14 m2．
4.
【答案】
解：（1）由题可得B0,-1，Fc,0，
因为∠AFB=π6，所以tan∠AFB=bc=1c=tanπ6=33，解得c=3，
所以a2=1+32=4，故Γ的标准方程为x24+y2=1；
（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，
由题可得此时A-a,0，B0,-1，Ca,2，Da,1，
则直线BC:y=3ax-1，直线AD:y=12ax+12，交点为3a5,45，
满足3a52a2+452=1，
故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；
（3）B0,-1，Pacosθ,sinθ，则直线BP:y=sinθ+1acosθx-1，所以Ca,sinθ+1cosθ-1，
A-a,0，Q-acosθ,-sinθ，则直线AQ:y=sinθacosθ-ax+a，所以Da,2sinθcosθ-1，
所以CD=sinθ+1cosθ-1-2sinθcosθ-1=2sinθ2cosθ2+sin2θ2+cos2θ2cos2θ2-sin2θ2-4sinθ2cosθ2-2sin2θ2-1，
设tanθ2=t，则CD=211-t+1t-2，
因为1a+1b≥4a+b，所以11-t+1t≥41-t+t=4，
则CD≥6，即CD的最小值为6．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）根据条件可得tan∠AFB=1c，解出c，利用a2=b2+c2，求得a，即可求得答案；
（2）分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；
（3）设Pacosθ,sinθ，Q-acosθ,-sinθ，表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出CD，再利用基本不等式即可求出答案．
【解答】
解：（1）由题可得B0,-1，Fc,0，
因为∠AFB=π6，所以tan∠AFB=bc=1c=tanπ6=33，解得c=3，
所以a2=1+32=4，故Γ的标准方程为x24+y2=1；
（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，
由题可得此时A-a,0，B0,-1，Ca,2，Da,1，
则直线BC:y=3ax-1，直线AD:y=12ax+12，交点为3a5,45，
满足3a52a2+452=1，
故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；
（3）B0,-1，Pacosθ,sinθ，则直线BP:y=sinθ+1acosθx-1，所以Ca,sinθ+1cosθ-1，
A-a,0，Q-acosθ,-sinθ，则直线AQ:y=sinθacosθ-ax+a，所以Da,2sinθcosθ-1，
所以CD=sinθ+1cosθ-1-2sinθcosθ-1=2sinθ2cosθ2+sin2θ2+cos2θ2cos2θ2-sin2θ2-4sinθ2cosθ2-2sin2θ2-1，
设tanθ2=t，则CD=211-t+1t-2，
因为1a+1b≥4a+b，所以11-t+1t≥41-t+t=4，
则CD≥6，即CD的最小值为6．
5.
【答案】
解：（1）∵ fx=2x，t=1，gx为fx做φ变换后的结果，gx=2，
∴ gx=fx-fx-1=2x-2x-1=2x-1=2，
解得x＝2．
（2）∵ fx=x2，hx为fx做ω变换后的结果，fx≥hx，
∴ x2≥x+t2-x2=2tx+t2，
当x≤-t2时，fx≥hx恒成立；
当x>-t2时，2tx+t2≤x2，
解得x≥1+2t，或x≤1-2t，
综上，不等式：fx≥hx的解集为-∞,1-2t]∪[1+2t,+∞．
（3）证明：fx先做φ变换后得到ux，ux再做ω变换后得到h1x，
∴ ux=fx-fx-t，h1x=fx+t-fx-[fx-fx-t]，
fx先做ω变换后得到vx，v（x）再做φ变换后得到h2x，
∴ vx=fx+t-fx，h2x=fx+t-fx-fx-fx-t，
∵ h1x=h2x，fx在-∞,0上单调递增，
∴ fx+t-fx-[fx-fx-t]=fx+t-fx-fx-fx-t，
∴ fx+t-fx>fx-fx-tfx+t-fx>0fx>fx-t对t>0恒成立，
∴ 函数fx在R上单调递增．
【考点】
函数与方程的综合运用
【解析】
（1）推导出gx=fx-fx-1=2x-2x-1=2x-1=2，由此能求出x．
（2）推导出x2≥x+t2-x2=2tx+t2，当x≤-t2时，fx≥hx恒成立；当x>-t2时，2tx+t2≤x2，由此能求出fx≥hx的解集．
（3）先求出ux=fx-fx-t，从而h1x=fx+t-fx-[fx-fx-t]，先求出vx=fx+t-fx，从而h2x=fx+t-fx-fx-fx-t，由h1x=h2x，得∣fx+t-fx-[fx-fx-t]=fx+t-fx-fx-fx-t∣，再由fx在-∞,0上单调递增，能证明函数fx在R上单调递增．
【解答】
解：（1）∵ fx=2x，t=1，gx为fx做φ变换后的结果，gx=2，
∴ gx=fx-fx-1=2x-2x-1=2x-1=2，