2022年高考数学真题（上海自主命题）（春季卷）解析版.docx

2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 已知z=2+i（其中i为虚数单位），则z= 2. 已知集合A=-1,2，集合B=1,3，则AB= 3. 不等式x-1x0的右支上，若x1x2y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 12. 已知函数y=fx为定义域为R的奇函数，其图像关于x1对称，且当x(0,1时，fx=lnx，若将方程fx=x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，xn，则limnxn+1-xn= 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.1. 下列函数定义域为R的是（ ） A.y=x-12B.y=x-1C.y=x13D.y=x122. 若abcd，则下列不等式恒成立的是（ ） A.a+db+cB.a+cb+dC.acbdD.adbc3. 上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（ ） A.0B.2C.4D.124. 已知等比数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（ ） A.若S2022S2021，则数列an是递增数列B.若T2022T2021 ，则数列an是递增数列C.若数列Sn是递增数列，则a2022a2021D.若数列Tn是递增数列，则a2022a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.1. 如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1 （1）若AA1=4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积2. 已知在数列an中，a2=1，其前n项和为Sn （1）若an是等比数列，S2=3，求limnSn； （2）若an是等差数列，S2nn，求其公差d的取值范围3. 为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB30m，AD15m为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2） （1）若ADE=20，求EF的长； （2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？4. 已知椭圆:x2a2+y2=1a1，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l:x=a上，且C在第一象限 （1）设F是椭圆的右焦点，且AFB=6，求的标准方程； （2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由； （3）设直线AD、BC分别交椭圆于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求CD的最小值5. 已知函数fx的定义域为R，现有两种对fx变换的操作：变换：fx-fx-t；变换：fx+t-fx，其中t为大于0的常数 （1）设fx=2x，t1，gx为fx做变换后的结果，解方程：gx=2； （2）设fx=x2，hx为fx做变换后的结果，解不等式：fxhx； （3）设fx在-,0上单调递增，fx先做变换后得到ux，ux再做变换后得到h1x；fx先做变换后得到vx，vx再做变换后得到h2x若h1x=h2x恒成立，证明：函数fx在R上单调递增参考答案与试题解析2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1.【答案】2-i【考点】共轭复数【解析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解【解答】解： z=2+i， z=2-i故答案为：2-i.2.【答案】1,2【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解【解答】解： 集合A=-1,2，集合B=1,3， AB=1,2故答案为：1,23.【答案】0,1【考点】其他不等式的解法【解析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解【解答】解：由题意得xx-10，解得0xy1y2，可得OP1OP30，然后可得渐近线夹角MON90，代入渐近线斜率计算即可求得【解答】解：设P2的对称点P3x2,-y2仍在双曲线右支，由x1x2y1y2，得x1x2-y1y20，即OP1OP30恒成立， P1OP3恒为锐角，即MON90， 其中一条渐近线y=1ax的斜率1a1， a1，所以实数a的取值范围为1,+)故答案为：1,+)12.【答案】2【考点】极限及其运算【解析】fx是周期为4的周期函数，作出图像，limnxn+1-xn的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果【解答】解： 函数y=fx为定义域为R的奇函数，其图像关于x1对称，且当x(0,1时，fx=lnx， fx是周期为4的周期函数，图像如图：将方fx=x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，xn，则limnxn+1-xn的几何意义是两条渐近线之间的距离2， limnxn+1-xn=2故答案为：2二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.1.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案【解答】解：y=x-12=1x，定义域为xx0，y=x-1=1x，定义域为xx0，y=x13=3x，定义域为R，y=x12=x，定义域为xx0 定义域为R的是y=x13故选: C .2.【答案】B【考点】不等式性质的应用【解析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解【解答】解：对于A，令a2，b1，c1，d2，满足abcd，但a+d=b+c，故A错误，对于B， abcd，即ab，cd， 由不等式的可加性可得，a+cb+d，故B正确，对于C，令a2，b1，c1，d2，满足abcd，但ac=bd，故C错误，对于D，令a2，b1，c1，d2，满足abcd，但adS2021，但是数列an不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1=1，公比为-12，满足T2022T2021，但是数列an不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1=1，公比为12，Sn=1-12n12=21-12n，数列Sn是递增数列，但是a2022Tn-1，可得an1，所以q1，可得a2022a2021正确，所以D正确；故选：D三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.1.【答案】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tanMO1A1=A1MO1A1=21=2，所以MO1A1=arctan2（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1=2，所以圆柱的体积为V=r2h=122=2，圆柱的侧面积为S=2rh=212=4【考点】直线与平面所成的角柱体、锥体、台体的体积计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tanMO1A1=A1MO1A1=21=2，所以MO1A1=arctan2（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1=2，所以圆柱的体积为V=r2h=122=2，圆柱的侧面积为S=2rh=212=42.【答案】解：（1）在等比数列an中，a2=1，S2=3，则a1=2， 公比q=12，则Sn=a11-qn1-q=41-12n，limnSn=limn41-12n=4；（2）若an是等差数列，则S2n=a2+a2n-12n2=2dn2+2-3dnn，即3-2nd1，当n1时，d1；当n2时，d13-2n恒成立， 13-2n-1,0)， d0综上所述，d0,1【考点】数列的极限【解析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2nn，对n分类分析得答案【解答】解：（1）在等比数列an中，a2=1，S2=3，则a1=2， 公比q=12，则Sn=a11-qn1-q=41-12n，limnSn=limn41-12n=4；（2）若an是等差数列，则S2n=a2+a2n-12n2=2dn2+2-3dnn，即3-2nd1，当n1时，d1；当n2时，d13-2n恒成立， 13-2n-1,0)， d0综上所述，d0,13.【答案】解：（1）作DHEF，垂足为H，则EF=EH+HF=15tan20+15tan5023.3m；（2）设ADE=，则AE=15tan，FH=15tan90-2，S四边形ADFE=2SADE+SDFH=2121515tan+121515tan90-2，=15230tan+15cot2=15230tan+151+tan22tan=22543tan+1tan22532，当且仅当3tan=1tan，即tan=33时取等号，此时AE=15tan=53，最大面积为450-22532255.14m2【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）作DHEF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，（2）设ADE=，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求【解答】解：（1）作DHEF，垂足为H，则EF=EH+HF=15tan20+15tan5023.3m；（2）设ADE=，则AE=15tan，FH=15tan90-2，S四边形ADFE=2SADE+SDFH=2121515tan+121515tan90-2，=15230tan+15cot2=15230tan+151+tan22tan=22543tan+1tan22532，当且仅当3tan=1tan，即tan=33时取等号，此时AE=15tan=53，最大面积为450-22532255.14m24.【答案】解：（1）由题可得B0,-1，Fc,0，因为AFB=6，所以tanAFB=bc=1c=tan6=33，解得c=3，所以a2=1+32=4，故的标准方程为x24+y2=1；（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A-a,0，B0,-1，Ca,2，Da,1，则直线BC:y=3ax-1，直线AD:y=12ax+12，交点为3a5,45，满足3a52a2+452=1，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B0,-1，Pacos,sin，则直线BP:y=sin+1acosx-1，所以Ca,sin+1cos-1，A-a,0，Q-acos,-sin，则直线AQ:y=sinacos-ax+a，所以Da,2sincos-1，所以CD=sin+1cos-1-2sincos-1=2sin2cos2+sin22+cos22cos22-sin22-4sin2cos2-2sin22-1，设tan2=t，则CD=211-t+1t-2，因为1a+1b4a+b，所以11-t+1t41-t+t=4，则CD6，即CD的最小值为6【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）根据条件可得tanAFB=1c，解出c，利用a2=b2+c2，求得a，即可求得答案；（2）分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；（3）设Pacos,sin，Q-acos,-sin，表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出CD，再利用基本不等式即可求出答案【解答】解：（1）由题可得B0,-1，Fc,0，因为AFB=6，所以tanAFB=bc=1c=tan6=33，解得c=3，所以a2=1+32=4，故的标准方程为x24+y2=1；（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A-a,0，B0,-1，Ca,2，Da,1，则直线BC:y=3ax-1，直线AD:y=12ax+12，交点为3a5,45，满足3a52a2+452=1，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B0,-1，Pacos,sin，则直线BP:y=sin+1acosx-1，所以Ca,sin+1cos-1，A-a,0，Q-acos,-sin，则直线AQ:y=sinacos-ax+a，所以Da,2sincos-1，所以CD=sin+1cos-1-2sincos-1=2sin2cos2+sin22+cos22cos22-sin22-4sin2cos2-2sin22-1，设tan2=t，则CD=211-t+1t-2，因为1a+1b4a+b，所以11-t+1t41-t+t=4，则CD6，即CD的最小值为65.【答案】解：（1） fx=2x，t=1，gx为fx做变换后的结果，gx=2， gx=fx-fx-1=2x-2x-1=2x-1=2，解得x2（2） fx=x2，hx为fx做变换后的结果，fxhx， x2x+t2-x2=2tx+t2，当x-t2时，fxhx恒成立；当x-t2时，2tx+t2x2，解得x1+2t，或x1-2t，综上，不等式：fxhx的解集为-,1-2t1+2t,+（3）证明：fx先做变换后得到ux，ux再做变换后得到h1x， ux=fx-fx-t，h1x=fx+t-fx-fx-fx-t，fx先做变换后得到vx，v（x）再做变换后得到h2x， vx=fx+t-fx，h2x=fx+t-fx-fx-fx-t， h1x=h2x，fx在-,0上单调递增， fx+t-fx-fx-fx-t=fx+t-fx-fx-fx-t， fx+t-fxfx-fx-tfx+t-fx0fxfx-t对t0恒成立， 函数fx在R上单调递增【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）推导出gx=fx-fx-1=2x-2x-1=2x-1=2，由此能求出x（2）推导出x2x+t2-x2=2tx+t2，当x-t2时，fxhx恒成立；当x-t2时，2tx+t2x2，由此能求出fxhx的解集（3）先求出ux=fx-fx-t，从而h1x=fx+t-fx-fx-fx-t，先求出vx=fx+t-fx，从而h2x=fx+t-fx-fx-fx-t，由h1x=h2x，得fx+t-fx-fx-fx-t=fx+t-fx-fx-fx-t，再由fx在-,0上单调递增，能证明函数fx在R上单调递增【解答】解：（1） fx=2x，t=1，gx为fx做变换后的结果，gx=2， gx=fx-fx-1=2x-2x-1=2x-1=2，