2016年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）.docx

2016年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷)文科数学第卷一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2016山东，1)设集合U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，B3,4,5，则U(AB)等于()A2,6 B3,6 C1,3,4,5 D1,2,4,62(2016山东，2)若复数z，其中i为虚数单位，则()A1i B1i C1i D1i3(2016山东，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A56 B60 C120 D1404(2016山东，4)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4 B9 C10 D125(2016山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为()A. B.C. D16(2016山东，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面 ，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7(2016山东，7)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离8(2016山东，8)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A等于()A. B. C. D.9(2016山东，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)x31；当1x1时，f (x)f (x)；当x时，f f .则f (6)等于()A2 B1 C0 D210(2016山东，10)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysin x Byln xCyex Dyx3第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11(2016山东，11)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_12(2016山东，12)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.13(2016山东，13)已知向量a(1，1)，b(6，4)若a(tab)，则实数t 的值为_14(2016山东，14)已知双曲线E：1(a0，b0)矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_15(2016山东，15)已知函数f(x) 其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_三、解答题本大题共6小题，共75分16(2016山东，16)(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由17(2016山东，17)(本小题满分12分)设f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g的值18(2016山东，18)(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点求证：GH平面ABC.19(2016山东，19)(本小题满分12分)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn.求数列cn的前n项和Tn.20(2016山东，20)(本小题满分13分)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值求实数a的取值范围21(2016山东，21)(本小题满分14分)已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.设直线PM、QM的斜率分别为k、k，证明为定值求直线AB的斜率的最小值答案解析1.解析AB1,3,4,5，U(AB)2,6，故选A.答案A2.解析z1i，1i，故选B.答案B3.解析由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.160.080.04)2.50.7，人数是2000.7140，故选D.答案D4.解析满足条件的可行域如下图阴影部分(包括边界)x2y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然当x3，y1时，x2y2取最大值，最大值为10.故选C.答案C5.解析由三视图知，半球的半径R，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，V1113，故选C.答案C6.解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.答案A7.解析圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选B.答案B8.解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)，cos Asin A，tan A1，A(0，)，A，故选C.答案C9.解析当x时，ff，即f(x)f(x1)，T1，f(6)f(1)当x0时，f(x)x31且1x1，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)(1)312，故选D.答案D10.解析对于函数ysin x，得ycos x，当x0时，该点处切线l1的斜率k11；当x时，该点处切线l2的斜率k21，k1k21，l1l2；对于yln x，y恒大于0，斜率之积不可能为1；对于yex，yex恒大于0，斜率之积不可能为1；对于yx3，y2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为1.故选A.答案A11.解析输入n的值为3，第1次循环：i1，S1，in；第2次循环：i2，S1，in；第3次循环：i3，S1，in.输出S的值为1.答案112.解析观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n1.答案n(n1)13.解析a(tab)，ta2ab0，又a22，ab10，2t100，t5.答案514.解析由已知得|AB|，|BC|2c，232c.又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边同除以a2得22320，即2e23e20，解得e2.答案215.解析如图，当xm时，f(x)|x|.当xm时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数若存在实数b，使方程f(x)b有三个不同的根，则m22mm4m|m|.m0，m23m0，解得m3.答案(3，)16.解(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应因为S中元素的个数是4416.所以基本事件总数n16.记“xy3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy8”为事件B，“3xy8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)所以P(B).事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)所以P(C).因为，所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率17.解(1)由f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y2sin1的图象再把得到的图象向左平移个单位，得到y2sin x1的图象，即g(x)2sin x1.所以g2sin 1.18.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.19.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式所以an6n5.设数列bn的公差为d，由即可解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn.得Tn3222323(n1)2n12Tn3223324(n1)2n2两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2.所以Tn3n2n2.20.解(1)由f(x)ln x2ax2a.可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)，则g(x)2a.当a0时，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当a0时，x时，g(x)0时，函数g(x)单调递增，x时，g(x)0，函数g(x)单调递减所以当a0时，g(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)单调递增，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当0a时，1，由(1)知f(x)在内单调递增可得当x(0,1)时，f(x)0，x时，f(x)0.所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当a时，1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当a时，01，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)在x1处取极大值，符合题意 .综上可知，实数a的取值范围为a.21.(1)解设椭圆的半焦距为c.由题意知2a4,2c2.所以a2，b.所以椭圆C的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)(x00，y00)由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，2m)所以直线PM的斜率k.直线QM的斜率k.此时3.所以为定值3.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线PA的方程为ykxm.直线QB的方程为y3kxm.联立整理得(2k21)x24mkx2m240，由x0x1，可得x1，所以y1kx1mm.同理x2，y2m.所以x2x1，y2y1mm，所以kAB，由m0，x00，可知k0，所以6k2，当且仅当k时取“”因为P(x0，2m)在椭圆1上，所以x0，故此时，即m，符合题意所以直线AB的斜率的最小值为.