2014年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）.pdf

1 2014 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷 第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知是虚数单位.若，则,a bR ia i2bi2()abi(A)(B)(C)(D)34i34i43i43i(2)设集合，则 2|20,|14Ax xxBxxAB (A)(B)(C)(D)(0,2(1,2)1,2)(1,4)(3)函数的定义域为 21()log1f xx(A)(B)(C)(D)(0,2)(0,2(2,)2,)(4)用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是,a b30 xaxb(A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根 30 xaxb30 xaxb(C)方程至多有两个实根(D)方程恰好有两个实根 30 xaxb30 xaxb(5)已知实数满足，则下列关系式恒成立的是,x y(01)xyaaa(A)(B)33xysinsinxy(C)(D)22ln(1)ln(1)xy221111xy(6)已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是 log()(,0,1)ayxc a caa为常数，其中 xEO(A)(B)0,1ac1,01ac(C)(D)01,1ac01,01ac(7)已知向量.若向量的夹角为，则实数 (1,3),(3,)abm,a b 6m (A)(B)(C)0 (D)2 333(8)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第12,13),13,14),14,15),15,16),16,17五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6人，则第三组中有疗效的人数为 171615141312/kPa舒张压频率/组距0.360.080.160.24(A)6 (B)8 (C)12 (D)18(9)对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为()f x0a x()(2)f xfax()f x准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (A)(B)()f xx3()f xx(C)(D)()tanf xx()cos(1)f xx(10)已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值,x y10,230,xyxy zaxby(0,0)ab时，的最小值为 2 522ab(A)5 (B)4 (C)(D)2 5第第 II II 卷（共卷（共 100100 分）分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.(11)执行右面的程序框图，若输入的的值为 1，则输出的的值xn为.(12)函数的最小正周期为.23sin2cos2yxx(13)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长2 3都相等，则该六棱锥的侧面积为。(14)圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴20 xyCyCx所得弦的长为，则圆的标准方程为。2 3C(15)已知双曲线的焦距为，右顶点为 A，抛22221(0,0)xyabab2c物线的焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为22(0)xpy p2c，且，则双曲线的渐近线方程为。|FAc三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.(16)（本小题满分 12 分）海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.地区 A B C 数量 50 150 100（）求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量；（II）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率.(17)（本小题满分 12 分）开始输入 x是0n 3430 xx 结束1xx否输入 x1nn2 中，角 A，B，C 所对的边分别为.已知.ABC,a b c63,cos,32aABA（）求的值；b（II）求的面积.ABC(18)（本小题满分 12 分）如图，四棱锥中，PABCD分别为线段1,2APPCD ADBC ABBCAD E F平面的中点.,AD PC（）求证：；APBEF平面（II）求证：.BEPAC 平面(19)（本小题满分 12 分）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.na2d 2a1a4a（）求数列的通项公式；na（II）设，记，求.(1)2nn nba1234(1)nnnTbbbbb nT(20)（本小题满分 13 分）设函数，其中为常数.1()ln1xf xaxxa（）若，求曲线在点处的切线方程；0a()yf x(1,(1)f（II）讨论函数的单调性.()f x(21)（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段xOy2222:1(0)xyCabab32yxC长为.4 105（）求椭圆的方程；C（II）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点）.点 D 在椭圆 C 上，且，直ADAB线 BD 与轴、轴分别交于 M，N 两点.xy（i）设直线 BD，AM 的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；12,k k12kk（ii）求面积的最大值.OMN 20142014 年高考山东卷文科数学真题及参考答案年高考山东卷文科数学真题及参考答案 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。（1）已知是虚数单位，若，则 iRba,iabi 22）（bia（A）（B）（C）（D）i 43i 43i 34i 34【解析】由得，iabi 212ba，2）（biaiiii4344)2(22故答案选 A（2）设集合则,41,022xxBxxxABA（A）(0,2 （B）(1,2)（C）1,2)（D）(1,4)【解析】，数轴上表示出来得到1,2)4,1)20(BA，BA故答案为 C（3）函数的定义域为 1log1)(2xxf（A）（B）（C）（D）)20(，2,0(),2()2，【解析】故。选 D 01log2x2x（4）用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是,Rba02baxx（A）方程没有实根 （B）方程至多有一个实根 02baxx02baxx（C）方程至多有两个实根 （D）方程恰好有两个实根 02baxx02baxx【解析】答案选 A，解析略。（5）已知实数满足，则下列关系式恒成龙的是 yx,)10(aaayx（A）（B）33yx yxsinsin（C）（D）)1ln()1ln(22yx111122yx【解析】由得，但是不可以确定与的大小关系，故 C、D 排除，而)10(aaayxyx 2x2yxysin本身是一个周期函数，故 B 也不对，正确。33yx（6）已知函数的图像如右图，则下列结论成立的是)10。()(log,aaa,ccxya（A）（B）11,ca101c,a（C）（D）1,10ca1010c,a【解析】由图象单调递减的性质可得，向左平移小于 1 个单位，故 01a01c答案选 C（7）已知向量.若向量的夹角为，则实数=)3()31(,m,b,aa,b6m（A）（B）（C）（D）32303【解析】：22333cos,2 9233393a bma ba ba bmmmm AFCDBPE3 答案：B（8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12,13）,13,14）,14,15）,15,16.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（A）（B）（C）（D）681218【解析】：第一组与第二组频率之和为 0.24+0.16=0.4 200.450 50 0.361818612答案：C（9）对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准f(x)0axa-x)f(f(x)2f(x)偶函数。下列函数中是准偶函数的是（A）（B）（C）（D）xxf)(2)(xxfxxftan)()1cos()(xxf【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。答案：D（10）已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值x,y,x-y-,x-y-03201)00(,babyaxz时，的最小值为 5222ba（A）（B）（C）（D）5452【解析】：求得交点为，则，即圆心到直线的距离10230 xyxy 2,122 5ab0,022 50ab的平方。222 5245答案：B 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，答案须填在题中横线上。11执行右面的程序框图，若输入的的值为 1，则输出的的值为。xn【解析】：根据判断条件，得，0342 xx31 x输入 1x第一次判断后循环，11,21nnxx第二次判断后循环，21,31nnxx第三次判断后循环，31,41nnxx第四次判断不满足条件，退出循环，输出 3n答案：3 12函数的最小正周期为。23sin2cos2yxx【解析】：233111sin2cossin2cos2sin 2222262yxxxxx .22T答案：T13一个六棱锥的体积为，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为2 3。【解析】：设六棱锥的高为，斜高为，hh则由体积得：，112 2 sin6062 332Vh 1h 2232hh 侧面积为.126122h 答案：12 14圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦的长，则圆的标准方程20 xyCyCx2 3C为。【解析】设圆心，半径为.由勾股定理得：,02aaaa22232aa2a 圆心为，半径为 2，圆的标准方程为 2,1C22214xy答案：22214xy15已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，222210,0 xyabab2cA220 xpy pF若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。2cFAc【解析】由题意知，222Pcab 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为，,2Pc 即代入双曲线方程为，得，,cb22221cbab222ca渐近线方程为，.yx 2211bcaa 答案：1 三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（16）（本小题满分 12 分）海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：,A B C件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测。地区 A B C数量 50 150 100（）求这 6 件样品中来自各地区样品的数量；,A B C（）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率。（16）【解析】：（）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：:50:150:1001:3:2A B C 所以各地区抽取商品数为：，；1:616A3:636B2:626C（）设各地区商品分别为：12312,A B B B C C 基本时间空间为：123121213,A BA BA BA CA CB BB B，共 15 个.1112232122313212,B CB CB BB CB CB CB CC C4 样本时间空间为：12132312,B BB BB BC C所以这两件商品来自同一地区的概率为：.415P A（17）（本小题满分 12 分）在中，角所对的边分别是。已知 ABC,A B Ccba,.2,36cos,3ABAa（）求的值；b（）求的面积。ABC（17）【解析】：（）由题意知：，23sin1 cos3AA ，6sinsinsincoscossincos2223BAAAA 由正弦定理得：sin3 2sinsinsinabaBbABA（）由余弦定理得：2222126cos4 3903,3 3,23bcaAccccbc 又因为为钝角，所以，即，2BAbc3c 所以 13 2sin.22ABCSacB（18）（本小题满分 12 分）如图，四棱锥中，,分别为线段PABCD,/,BCADPCDAP平面ADBCAB21FE,PCAD,的中点。（）求证：BEFAP平面/（）求证：PACBE平面【解析】：（）连接 AC 交 BE 于点 O，连接 OF，不妨设 AB=BC=1,则 AD=2 四边形 ABCE 为菱形,/,BCADBCAB APOFPCACFO/,中点，分别为又 BEFAPBEFOF平面，平面/（）CDAPPCDCDPCDAP,平面，平面,CDBEBCDEEDBCEDBC/,/为平行四边形，PABE ACBEABCE为菱形，又,PACACPAAACPA平面、又,PACBE平面（19）（本小题满分 12 分）在等差数列中，已知，是与等比中项.na2d 2a1a4a（）求数列的通项公式；na（）设记，求.12,nn nba1231nnnTbbbb nT【解析】：（）由题意知：为等差数列，设，为与的等比中项 nadnaan112a1a4a且，即，解得：4122aaa01adaada311212d21a nnan22)1(2（）由（）知：，nan2)1(2)1(nnabnnn当 n 为偶数时：222222642222624221153431214332212nnnnnnnnnnnTn 当 n 为奇数时：212122112211642212126242212153431214332212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnTn综上：为偶数为奇数，nnnnnnTn,2221222（20）（本小题满分 13 分）设函数，其中为常数.1ln1xf xaxxa（）若，求曲线在点处的切线方程；0a yf x 1,1f（）讨论函数的单调性.f x【解析】(1)0a 当时212(),()1(1)xf xfxxx 221(1)(1 1)2f (1)0(1,0)f 又直线过点 1122yx(2)22()(0)(1)afxxxx 220()0.()(1)afxf xx当时，恒大于在定义域上单调递增.5 2222(1)20()=0.()(1)(1)aa xxafxf xxxx x当时，在定义域上单调递增.2210(22)4840,.2aaaaa 当时，即()f x开口向下，在定义域上单调递减。1,21(22)8412100.22aaaaaxaa 当时，1222110.102axx xaa 对称轴方程为且121121121()(0,)(,)1+21(+)aaaaaaf xaaaaaa 在单调递减，单调递增，单调递减。0()0()11121()0()(0,)221211211+21(,)(+)af xaf xaaaf xaf xaaaaaaaaaa 综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递增时，在定义域上单调递减；时，在单调递减，单调递增，单调递减。（21）（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的xOy2222:10 xyCabab32yxC线段长为.4 105（）求椭圆的方程；C（）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直C,A B,A BCDCADAB线与轴、轴分别交于两点.BDxy,M N（i）设直线的斜率分别为.证明存在常数使得，并求出的值；,BD AM12,k k12kk（ii）求面积的最大值.OMN【解析】(1)22222223333=,42244ccabeabaaa即设直线与椭圆交于两点。不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点。,p qp 224 102 5 2 5(,)55544551pab又弦长为，22224,11.4abxy联立解得椭圆方程为