2012年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）.pdf

20122012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷山东卷)文科数学文科数学 第卷第卷(共共 60 分分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若复数 z 满足为虚数单位)，则为(2)117i(iziz (A)3+5i (B)35i (C)3+5i(D)35i(2)已知全集，集合，则为 0,1,2,3,4U 1,2,3A 2,4B()UAB (A)1,2,4 (B)2,3,4 (C)0,2,4 (D)0,2,3,4(3)函数的定义域为 21()4ln(1)f xxx (A)(B)(C)(D)2,0)(0,2(1,0)(0,2 2,2(1,2(4)在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若 B 样本数据恰好是 A样本数据都加 2 后所得数据，则 A，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差(5)设命题 p：函数的最小正周期为；命题 q：函数的图象关于直线对称.则下列判断sin2yx2cosyx2x正确的是 (A)p 为真(B)为假(C)为假(D)为真 qpqpq(6)设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是,x y22,24,41,xyxyxy 3zxy (A)(B)(C)(D)3,623,12 1,63 6,2(7)执行右面的程序框图，如果输入4，那么输出的 n 的值为 a (A)2(B)3(C)4(D)5(8)函数的最大值与最小值之和为 2sin(09)63xyx (A)(B)0(C)1(D)2313(9)圆与圆的位置关系为 22(2)4xy22(2)(1)9xy (A)内切(B)相交(C)外切(D)相离(10)函数的图象大致为 cos622xxxy(11)已知双曲线：的离心率为 2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近1C22221(0,0)xyabab22:2(0)Cxpy p1C线的距离为2，则抛物线的方程为 2C (A)(B)(C)(D)来源:Z_xx_k.Com 28 33xy216 33xy28xy216xy(12)设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点1()f xx2()g xxbx()yf x()yg x，则下列判断正确的是 1122(,),(,)A x yB xy (A)(B)12120,0 xxyy12120,0 xxyy(C)(D)12120,0 xxyy12120,0 xxyy第卷第卷(共共 90 分分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4分，共 16 分.(13)如图，正方体的棱长为 1，E 为线段上的一点，则三棱锥1111ABCDABC D1BC的体积为.1ADED(14)右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是20.5，26.5，样本数据的分组为，20.5,21.5)21.5,22.5)22.5,23.5)23.5,24.5)，24.5,25.5).已知样本中平均气温低于 22.5的城市个数为25.5,26.511，则样本中平均气温不低于 25.5的城市个数为.(15)若函数在1，2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数在()(0,1)xf xaaa()(14)g xmx0,)上是增函数，则 a.(16)如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆xOy上一点 P 的位置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为.OP 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.(17)(本小题满分 12 分)在ABC 中，内角所对的边分别为，已知.,A B C,a b csin(tantan)tantanBACAC()求证：成等比数列；,a b c()若，求的面积 S.1,2acABC (18)(本小题满分 12 分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为 1，2.()从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率；()现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率.(19)(本小题满分 12 分)如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.EABCDABD,CBCD ECBD()求证：；BEDE()若，M 为线段 AE 的中点，120BCD 求证：平面.DMBEC (20)(本小题满分 12 分)已知等差数列的前 5 项和为 105，且.na2052aa()求数列的通项公式；na()对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前 m 项和.*mNna27mmbmbmS (21)(本小题满分 13 分)如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形 ABCD 的面积为 8.2222:1(0)xyMabab32xa yb()求椭圆 M 的标准方程；()设直线与椭圆 M 有两个不同的交点与矩形 ABCD:()l yxm mR,P Q l有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时 m 的值.,S T|PQST (22)(本小题满分 13 分)已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与ln()(exxkf xk()yf x(1,(1)fx 轴平行.()求 k 的值；()求的单调区间；()f x()设，其中为的导函数.证明：对任意.来源:学科网 ZXXK()()g xxfx()fx()f x20,()1exg x 参考答案：参考答案：一、选择题：(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B(12)解：设，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由32()1F xxbx()0F x()()f xg x12,x x得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此()0F x0 x 23xb(0)0F2()03Fb(0)1F2()03Fb 得.不 妨 设，则.所 以，比 较 系 数 得，故3322b 12xx32223xb231()()(2)F xxxx3141x.，由此知，故答案为 B.31122x 3121202xx12121212110 xxyyxxx x二、填空题(13)以为底面，则易知三棱锥的高为 1，故.来源:Zxxk.Com 161ADD1 111 1 13 26V (14)9最左边两个矩形面积之和为 0.101+0.1210.22，总城市数为 110.2250，最右面矩形面积为 0.1810.18，500.189.(15)当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则141a 214,aam12,2am()g xx 01a，故，检验知符合题意.124,aam11,416am(16)(2sin2,1cos2)三、解答题(17)(I)由已知得：，sin(sincoscossin)sinsinBACACAC，sinsin()sinsinBACAC，2sinsinsinBAC再由正弦定理可得：，2bac所以成等比数列.,a b c(II)若，则，1,2ac22bac，2223cos24acbBac，27sin1cos4CC的面积.ABC1177sin1 22244SacB (18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况，故所求的概率为.310P(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的 10 种情况外，多出 5 种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有 15种情况，其中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况，所以概率为.815P(19)(I)设中点为 O，连接 OC，OE，则由知，BDBCCDCOBD又已知，所以平面 OCE.CEBDBD 所以，即 OE 是 BD 的垂直平分线，BDOE所以.BEDE(II)取 AB 中点 N，连接，,MN DNM 是 AE 的中点，MNBE是等边三角形，.ABDDNAB由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即，BCAB所以 NDBC，所以平面 MND平面 BEC，故 DM平面 BEC.(20)(I)由已知得：111510105,92(4),adadad解得,17,7ad所以通项公式为.7(1)77nann(II)由，得，277mnan217mn即.217mmb，211217497mkmkbb是公比为 49 的等比数列，mb.7(149)7(491)14948mmmS(21)(I)2223324cabeaa矩形 ABCD 面积为 8，即 228ab由解得：，2,1ab椭圆 M 的标准方程是.2214xy(II)，222244,58440,xyxmxmyxm设，则，1122(,),(,)P x yQ xy21212844,55mxxm x x 由得.226420(44)0mm55m.2228444 2|245555mPQmm当 过点时，当 过点时，.lA1m lC1m 当时，有，来源:学科网 51m(1,1),(2,2),|2(3)SmTmSTm，222|454461|5(3)5PQmSTmtt其中，由此知当，即时，取得最大值.3tm134t45,(5,1)33tm|PQST255由对称性，可知若，则当时，取得最大值.15m53m|PQST255当时，11m|2 2ST 2|25|5PQmST由此知，当时，取得最大值.0m|PQST255综上可知，当和 0 时，取得最大值.53m|PQST255(22)(I)，1ln()exxkxfx由已知，.1(1)0ekf1k(II)由(I)知，.1ln1()exxxfx设，则，即在上是减函数，1()ln1k xxx211()0k xxx()k x(0,)由知，当时，从而，(1)0k01x()0k x()0fx当时，从而.1x()0k x()0fx综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.()f x(0,1)(1,)(III)由(II)可知，当时，01+，故只需证明在时成立.1x()()g xxfx2e2()1eg x 01x当时，1，且，.01xex()0g x 1ln()1lnexxxxg xxxx 设，则，()1lnF xxxx(0,1)x()(ln2)F xx 当时，当时，2(0,e)x()0F x2(e,1)x()0F x所以当时，取得最大值.2ex()F x22()1eF e 所以.2()()1eg xF x 综上，对任意，.0 x 2()1eg x 来源:学,科,网