2014年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）.pdf

20142014 高考数学山东【理】高考数学山东【理】一、选择题一、选择题 1.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则(),a bRiai2bi2()abi A.B.C.D.54i54i34i34i2.设集合，则()|1|2Axx|2,0,2xBy yxAB A.B.C.D.0,2(1,3)1,3)(1,4)3.函数的定义域为()221()(log)1f xx A.B.C.D.1(0,)2(2,)1(0,)(2,)21(0,2,)24.用反证法证明命题:“已知为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是(),a b20 xaxb A.方程没有实根 B.方程至多有一个实根 20 xaxb20 xaxb C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根 20 xaxb20 xaxb5.已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是(),x yxyaa01a A.B.C.D.221111xy22ln(1)ln(1)xysinsinxy33xy6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为()4yx3yx A.B.C.2 D.4 2 24 27.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，kPa12,13)13,14)，将其按从左到右的顺序分别编号为14,15)15,16)16,17第一组，第二组，.，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为()A.1 B.8 C.12 D.18 8.已知函数,若有两个不相等的实根,则实数的取值范围是()()|2|1f xx()g xkx()()f xg xk A.B.C.D.1(0,)21(,1)2(1,2)(2,)9.已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时,x y10,230,xyxy(0,0)zaxby ab2 5，的最小值为()22ab A.5 B.4 C.D.2 510.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，ab1C22221xyab2C22221xyab1C2C32则的渐近线方程为()2C A.B.C.D.20 xy20 xy20 xy20 xy 二、填空题二、填空题 11.执 行 右 面 的 程 序 框 图，若 输 入 的的 值 为 1，则 输 出 的的 值xn为 ；12.在中，已知，当时，的面积ABCtanAB ACA 6AABC为 ；13.三棱锥中，分别为，的中点，记三棱锥PABCDEPBPC的体积为，的体积为，则 ；DABE1VPABC2V12VV14.若的展开式中项的系数为，则的最小值26()baxx3x2022ab为 ；15.已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，()()yf x xR()()yg x xI()g x()f x()()yh x xI满足：对任意，两个点，关于点对称，若是关于()yh xxI(,()x h x(,()x g x(,()x f x()h x2()4g xx的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 ；()3f xxb()()h xg xb 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分分.16.（本小题满分 12 分）已知向量，设函数，且的图象过点和点.(,cos2)amx(sin2,)bx n()f xa b()yf x(,3)122(,2)3（）求的值；,m n开始输入x是0n 3430 xx 结束1xx否输出n1nn（）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最()yf x0()yg x()yg x高点到点的距离的最小值为 1，求的单调增区间.(0,3)()yg x 17.（本小题满分 12 分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段1111ABCDABC DABCD60DAB22ABCDM的中点.AB（）求证：；111/C MA ADD（）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.1CDABCD13CD 11C D MABCD 18.（本小题满分 12 分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向,A B,C D乙回球.规定：回球一次，落点在上记 3 分，在上记CD1 分，其它情况记 0 分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上AC的概率为，12在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的D13B落点在上的C概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：15D35,A B（）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.19.（本小题满分 12 分）已知等差数列的公差为 2，前项和为，且成等比数列.nannS124,S SS（）求数列的通项公式；na（）令，求数列的前项和.114(1)nnnnnba a nbnnT 20.（本小题满分 13 分）设函数（为常数，是自然对数的底数）.22()(ln)xef xkxxxk2.71828e（）当时，求函数的单调区间；0k()f x（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.()f x(0,2)k 21.（本小题满分 14 分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线 交于另一点，2:2(0)C ypx pFACAlCB交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为 3 时，为正三角形.xD|FAFDAADF（）求的方程；C（）若直线，且和有且只有一个公共点，1/ll1lCE（）证明直线过定点，并求出定点坐标；AE（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.ABE 参考答案 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案 一1、D 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、C 8、B 9、B 10、A 二11、12、13、14、15、3161422 10,+三16、解：（）已知，()sin2cos2f xmxnxa b的图像过点()f x2,3,2123 ，()sincos31266fmn 244()sincos2333fmn 解得 1332231222mn 31mn（），()3sin2cos22sin(2x)6f xxx()(+)=2sin(22)6g xf xx设的对称轴为，解得()g x0 xx2011dx00 x，解得(0)2g6 ()2sin(2)2sin(2)2cos2362g xxxx 222,kxkkZ ,2kxkkZ的单调赠区间 ()f x,2kkkZ17、解：（）证明：因为四边形是等腰梯形，ABCD且 2ABCD所以,又由是中点，/DCABMAB因此且/CD MACDMA连接 1AD在四棱柱中，1111ABCDABC D因为,11/CD C D11CDC D可得 1111/,=C DMA C DMA所以四边形为平行四边形 11AMC D因此 11/C M D A又,111C MA ADD 平面111D AA ADD 平面所以 111/C MA ADD平面（）由（）知，平面过向做垂线交于，连接,11DC MABCDABCABABN1D N由,可得,故为二面角的平面角 1CDABCD 面1D NAB1D NC1CABC在中，1RTDCN31,602BCNBCCN可得，所以 2211152NDCDCN在中，,1Rt DCN11352cos5152CND NCD N所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为 11C D MABCD55 18、解：（）设恰有一次的落点在乙上为事件 A 51143656510P A （）的可能取值为 0,1,2,3,4,6，11106530P11131135656P 131111122,3355256515PP 1311111114,62535302510PP的分布列为 0 1 2 3 4 6 P 130 16 15 215 1130 110其数学期望为 111211191012346306515301030E 19、解：（）1121412,S,S2,46daad Sad成等比数列 124,S SS 2214SS S解得 11,21naan（）111411(1)(1)()2121nnnnnnba ann 当为偶数时，n111111111(1)()()()()3355723212121nTnnnn 当为奇数时，n111111111(1)()()()()3355723212121nTnnnn 12212121nnTnn 2,2122,21nnnnTnnn为偶数为奇数20、解：（）242221()xxexxefxkxxx 320 xxekxxx当时，0k 0,kx 0 xekx令，则 0fx 2x 当时，单调递减；0,2x f x 当时，单调递增 2,x f x（）令 xg xekx则 xgxek当时，恒成立，上单调递增，不符合题意 0k 0gx 0,2g x在当时 0k 令，0gx,lnxek xk 010,010gkg 22 20,220gekgek 22ek lnlnln0kgkekk ln1k ke综上：的取值范围为 k2,2ee21、解：（）当的横坐标为 时，过作轴于，A3AAGxG 32pAF 32pFDAF为等边三角形 AFD 13224pFGFD又 32pFG，33242pp2p2:4C yx（）（）设，11(,y)A x11FDAFx 12,0D x12AByk 1/ABll1112lky 又与相切，设切点,1lC,yEEE x，214xy12xy1122Eyy14Eyy 22111444Exyy21121144,A,y4yEyy 1211121214yy:yy444AEylxyy即恒过点直线过定点 121414yyxy1,0AE1,0（），2111y:yy24ABylx BDFGAOyx即 21122244yxyyyx 2211880yyyy 1218yyy 2118yyy 12122111448112+AByyyyyy点到的距离 EAB2211222111221184422444411yyyyydyy，当且仅当时，“”成立 32311121111184222222162242yySAB dyyyy12y 选择填空解析 20142014 年全国统一高考（山东）理科真题及详解年全国统一高考（山东）理科真题及详解 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。1.已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则 iRba,iabi22）（bia（A）(B)(C)(D)i 45i 45i 43i 43答案：D 解析：与互为共轭复数，ai2bi 2222,124434ababiiiii 2.设集合则,2,0,2,21xyyBxxAxBA(A)0,2 (B)(1,3)(C)1,3)(D)(1,4)答案：C 解析：12212132,0,21,41,3xxxxyxyAB 3.函数的定义域为 1)(log1)(22xxf(A)(B)(C)(D)210(，)2(，),2()210(，)2210(，答案：C 解析：22log10 x 或 2log1x2log1x 或。2x102x 4.用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是,Rba02baxx(A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根 02baxx02baxx(C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根 02baxx02baxx5.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是 yx,)10(aaayx(A)(B)(C)(D)111122yx)1ln()1ln(22yxyxsinsin33yx 答案：D 解析：，排除 A,B，对于 C，是周期函数，排除 C。,01xyaaaxysin x6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 xy42xy（A）（B）（C）2（D）4 2224答案：D 解析：，34xx324422xxxxxxx第一象限 232401428404xxxx 7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间kPa为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为 0压 压 压/kPa压 压 /压 压0.360.240.160.08171615141312 （A）（B）（C）（D）681218答案：C 解析：第一组与第二组频率之和为 0.24+0.16=0.4 200.450 50 0.361818612 8.已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 12 xxf kxxg xgxf（A）（B）（C）（D），（210），（121），（21），（2答案：B 解析：画出的图象最低点是，过原点和时斜率最小为，斜率最大时的斜率与 f x2,1 g xkx2,112 g x的斜率一致。1f xx9.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值yx,0,3-y-2x0,1-y-x0)b0,by(aaxz52时，的最小值为 22ab（A）（B）（C）（D）5452答案：B 解析：求得交点为，则，即圆心到直线的距离的平方10230 xyxy 2,122 5ab0,022 50ab。222 5245 10.已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为0b0,a1C1x2222bya2C1x2222bya1C2C23，则的渐近线方程为 2C（A）（B）（C）（D）02xy02 yx02yx0y2x答案：A 解析：22221222222222442441 2434422cabeaacabeaaabeeababa 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，答案须填在题中横线上。11.执行下面的程序框图，若输入的的值为 1，x则输出的的值为。n答案：3 解析：根据判断条件，得，0342 xx31 x输入 1x第一次判断后循环，11,21nnxx第二次判断后循环，21,31nnxx第三次判断后循环，31,41nnxx第四次判断不满足条件，退出循环，输出 3n 12.在中，已知，当时，的面积为。ABCtanAB ACA 6AABC答案：61解析：由条件可知，AAcbACABtancos 当，6A,32bc61sin21AbcSABC 13.三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，PABC,D E,PB PCDABE1VPABC2V则。12VV答案：41解析：分别过向平面做高，由为的中点得，CE,21,hhEPC2121hh由为的中点得，所以 DPBABPABDSS21413131:2121hShSVVABPABD14.若的展开式中项的系数为 20，则的最小值为。46baxx3x22ab答案：2 解析：将展开，得到，令.62)(xbax rrrrrxbaCT3126613,3312rr得由，得，所以.203336baC1ab2222abba 15.已 知 函 数，对 函 数，定 义关 于的“对 称 函 数”为 函 数()()yf x xR yg xxI g x f x，满足：对任意，两个点关于点对称，若是 yh xxI yh xxI ,x h xx g x,x f x h x关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 24g xx 3f xxb h xg xb。答案：102b解析：根据图像分析得，当与在第二象限相切时，bxxf 3)(24)(xxg，由恒成立得.102b)()(xgxh102b