2016年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）.pdf

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学 第卷 一、选择题(本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2016山东理，1)若复数 z 满足 2z 32i，其中 i 为虚数单位，则 z 等于()zA12i B12i C12i D12i 2(2016山东理，2)设集合 Ay|y2x，xR，Bx|x210，则 AB 等于()A(1,1)B(0,1)C(1，)D(0，)3(2016山东理，3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其 中 自 习 时 间 的 范 围 是 17.5,30，样 本 数 据 分 组 为 17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是()A56 B60 C120 D140 4(2016山东理，4)若变量 x，y 满足Error!则 x2y2的最大值是()A4 B9 C10 D12 5(2016山东理，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.13231323C.D1 1326266(2016山东理，6)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面，内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7(2016山东理，7)函数 f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)的最小正周期是()33A.B 2C.D2 328(2016山东理，8)已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cosm，n.若 n(tmn)，则实数 t 的值为13()A4 B4 C.D 94949(2016山东理，9)已知函数 f(x)的定义域为 R，当 x 时，f f，则 f(6)等于()12(x12)(x12)A2 B1 C0 D2 10(2016山东理，10)若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是()Aysin x Byln x Cyex Dyx3 第卷 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11(2016山东理，11)执行如图所示的程序框图，若输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为_ 12(2016山东理，12)若5的展开式中 x5的系数为80，则实数 a_.(ax21x)13(2016山东理，13)已知双曲线 E：1(a0，b0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中x2a2y2b2点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_ 14(2016山东理，14)在1,1上随机地取一个数 k，则事件“直线 ykx 与圆(x5)2y29 相交”发生的概率为_ 15(2016山东理，15)已知函数 f(x)Error!其中 m0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_ 三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分 16(2016山东理，16)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2(tan Atan B).tan Acos Btan Bcos A(1)证明：ab2c；(2)求 cos C 的最小值 17(2016山东理，17)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线 (1)已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；(2)已知 EFFB AC2，ABBC，求二面角 F-BC-A 的余弦值 12318(2016山东理，18)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn.an1n1bn2n19(2016山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，3423各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X)20(2016山东理，20)已知 f(x)a(xln x)，aR.2x1x2(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a1 时，证明 f(x)f(x)对于任意的 x1,2成立 3221(2016山东理，21)平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：1(ab0)的离心率是，抛物线 E：x22y 的x2a2y2b232 焦点 F 是 C 的一个顶点 (1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.求证：点 M 在定直线上；直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求的最大值及取得最大值时点 P 的坐S1S2标 答案解析答案解析 1.解析设 zabi(a，bR)，则 abi，2(abi)(abi)32i，整理得 3abi32i，Error!解得zError!z12i，故选 B.答案B 2.解析Ay|y0，Bx|1x 时，ff，即 f(x)f(x1)，T1，f(6)f(1)当 x0 时，f(x)x31 且12(x12)(x12)1x1，f(x)f(x)，f(2)f(1)f(1)2，故选 D.答案D 10.解析对函数 ysin x 求导，得 ycos x，当 x0 时，该点处切线 l1的斜率 k11，当 x 时，该点处切线 l2的斜率 k21，k1k21，l1l2；对函数 yln x 求导，得 y 恒大于 0，斜率之积不可能为1；1x对函数 yex求导，得 yex恒大于 0，斜率之积不可能为1；对函数 yx3，得 y2x2恒大于等于 0，斜率之积不可能为1.故选 A.答案A 11.解析第 1 次循环：i1，a1，b8，ab；第 2 次循环：i2，a3，b6，ab，输出 i 的值为 3.答案3 12.解析Tr1C(ax2)5rra5rC x，r 5(1x)r 55102r10 r5，解得 r2，a3C 80，解得 a2.523 5答案2 13.解析由已知得|AB|，|BC|2c，232c，又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边2b2a2b2a 同除以 a2得 223 20，即 2e23e20，解得 e2 或 e1(舍去)(ca)ca答案2 14.解析由已知得，圆心(5,0)到直线 ykx 的距离小于半径，3，解得 km 时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数，若存在实数 b，使方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m22mm4m0，m23m0，解得 m3.答案(3，)16.(1)证明由题意知 2.(sin Acos Asin Bcos B)sin Acos Acos Bsin Bcos Acos B化简得 2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即 2sin(AB)sin Asin B，因为 ABC，所以 sin(AB)sin(C)sin C，从而 sin Asin B2sin C，由正弦定理得 ab2c.(2)解由(1)知 c，所以 cos C ，当且仅当 ab 时，等号成ab2a2b2c22aba2b2(ab2)22ab38(abba)1412立，故 cos C 的最小值为.1217.(1)证明设 FC 中点为 I，连接 GI，HI，在CEF 中，因为点 G 是 CE 的中点，所以 GIEF.又 EFOB，所以 GIOB.在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC，又 HIGII，所以平面 GHI平面 ABC.因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC.(2)连接 OO，则 OO平面 ABC.又 ABBC，且 AC 是圆 O 的直径，所以 BOAC.以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.由题意得 B(0,2，0)，C(2，0,0)过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M，33所以 FM3，可得 F(0，3)FB2BM23故(2，2，0)，(0，3)BC 33BF 3设 m(x，y，z)是平面 BCF 的一个法向量 由Error!可得Error!可得平面 BCF 的一个法向量 m，(1，1，33)因为平面 ABC 的一个法向量 n(0,0,1)，所以 cosm，n.mn|m|n|77所以二面角 F-BC-A 的余弦值为.7718.解(1)由题意知，当 n2 时，anSnSn16n5，当 n1 时，a1S111，所以 an6n5.设数列bn的公差为 d.由Error!即Error!可解得 b14，d3，所以 bn3n1.(3)由(1)知，cn3(n1)2n1.6n6n13n3n又 Tnc1c2cn，得 Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2 两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2 3 4412n12n1 2n23n2n2，所以 Tn3n2n2.19.解(1)记事件 A：“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”，记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件 D：“乙第二轮猜对”，记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语”由题意，EABCD BCDA CDAB DABC.ABCD由事件的独立性与互斥性，P(E)P(ABCD)P(BCD)P(A CD)P(AB D)P(ABC)ABCDP(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()ABCD 2Error!Error!.3423342323所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为.23(2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 P(X0)，141314131144P(X1)2，(3413141314231413)10144572P(X2)，3413341334131423142334131423142325144P(X3)，342314131413342312144112P(X4)2.(3423341334231423)60144512P(X6).342334233614414可得随机变量 X 的分布列为 x 0 1 2 3 4 6 P 1144 572 25144 112 512 14所以数学期望 E(X)012346.1144572251441125121423620.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a .ax2x22x3ax22x1x3当 a0 时，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0 时，f(x).ax1x3(x2a)(x2a)0a1，2a当 x(0,1)或 x时，f(x)0，f(x)单调递增，(2a，)当 x时，f(x)2 时，00，f(x)单调递增，2a(0，2a)当 x时，f(x)0，f(x)单调递减(2a，1)综上所述，当 a0 时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当 0a2 时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递增(0，2a)(2a，1)(2)证明由(1)知，a1 时，f(x)f(x)xln x 2x1x2(11x2x22x3)xln x 1，x1,2 3x1x22x3设 g(x)xln x，h(x)1，x1,2，则 f(x)f(x)g(x)h(x)由 g(x)0，3x1x22x3x1x可得 g(x)g(1)1，当且仅当 x1 时取得等号又 h(x).3x22x6x4设(x)3x22x6，则(x)在 x1,2单调递减 因为(1)1，(2)10，所以x0(1,2)，使得 x(1，x0)时，(x)0，x(x0，2)时，(x)g(1)h(2).即 f(x)f(x)对于任意的 x1,2成立 323221.(1)解由题意知，可得 a24b2，因为抛物线 E 的焦点 F，所以 b，a1，所以椭圆 Ca2b2a32(0，12)12的方程为 x24y21.(2)证明设 P(m0)，由 x22y，可得 yx，所以直线 l 的斜率为 m，因此直线 l 的方程为 y(m，m22)m22m(xm)即 ymx.m22设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)联立方程Error!得(4m21)x24m3xm410.由 0，得 0m(或 0m22)(*)2 55且 x1x2，因此 x0，将其代入 ymx，得 y0，因为.4m34m212m34m21m22m224m21y0 x014m所以直线 OD 方程为 yx，14m联立方程Error!得点 M 的纵坐标 yM，14所以点 M 在定直线 y 上 14解由知直线 l 的方程为 ymx，令 x0，得 y，所以 G，m22m22(0，m22)又 P，F，D，(m，m22)(0，12)(2m34m21，m224m21)所以 S1|GF|m，12m21m4S2|PM|mx0|.所以.12122m2142m3m4m21m2m21284m21S1S224m21m212m212设 t2m21，则 2，当 ，S1S22t1t1t22t2t1t21t21t1t12即 t2 时，取到最大值，S1S294此时 m，满足(*)式，所以 P 点坐标为.22(22，14)因此的最大值为，此时点 P 的坐标为.S1S294(22，14)