2023年上海市高考数学真题（原卷板）（春季卷）.docx

2023年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 已知向量a→=3,4，b→=1,2，则a→-2b→= ．

2. 不等式x-1≤2的解集为： ．（结果用集合或区间表示）

3. 已知圆C的一般方程为x2+2x+y2=0，则圆C的半径为 ．

4. 已知事件A的对立事件为A，若PA=0.5，则PA= ．

5. 已知正实数a、b满足a+4b=1，则ab的最大值为 ．

6. 某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186 cm，最小值为154 cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．

7. 设1-2x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4= ．

8. 已知函数fx=2-x+1，且gx=log2x+1,x≥0f-x,x<0，则方程gx=2的解为 ．

9. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ．

10. 已知z1,z2∈C且z1=iz2¯（i为虚数单位），满足z1-1=1，则z1-z2的取值范围为 ．

11. 已知OA→、OB→、OC→为空间中三组单位向量，且OA→⊥OB→，OA→⊥OC→，OB→与OC→夹角为60∘，点P为空间任意一点，且OP→=1，满足OP→⋅OC→≤OP→⋅OB→≤OP→⋅OA→，则OP→⋅OC→最大值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13−14题每题4分，第15−16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

1. 下列函数是偶函数的是（ ）
A.y=sinx B.y=cosx C.y=x3 D.y=2x

2. 如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）

A.从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B.从2018年开始，进出口总额逐年增大
C.从2018年开始，进口总额逐年增大
D.从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

3. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）

A.DD1 B.AC C.AD1 D.B1C

4. 已知无穷数列an的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意正整数k>2022都有Sk>Sk+1，则下列各项中可能成立的是（ ）
A.a1,a3,a5,⋯,a2n-1,⋯为等差数到，a2,a4,a6,⋯,a2n,⋯为等比数列
B.a1,a3,a5,⋯,a2n-1,⋯为等比数列，a2,a4,a6,⋯,a2n,⋯为等差数列
C.a1,a2,a3,⋯,a2022为等差数列，a2022,a2023,⋯,an,⋯为等比数列
D.a1,a2,a3,⋯,a2022为等比数列，a2022,a2023,⋯,an,⋯为等差数列
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

1. 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=3，AC=4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．

（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；

（2）求直线ME到平面PAB的距离．

2. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2．
（1）若A+C=120∘，a＝2c，求边长c；

（2）若A-C=15∘，a=2csinA，求△ABC的面积．

3. 为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=F0V0，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）

（2）定义建筑物的“形状因子”为f=L2A，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=f⋅n T+13n．当f=18，T=10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．

4. 已知椭圆Γ:x2m2+y23=1(m>0且m≠3)．
（1）若m＝2，求椭圆Γ的离心率；

（2）设A1、 A2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且EA1→⋅EA2→=-2，求实数m的值；

（3）过椭圆Γ上一点P作斜率为3的直线l，若直线l与双曲线y25m2-x25=1有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．

5. 已知函数fx=ax3-a+1x2+x，gx=kx+m（其中a≥0，k,m∈R），若任意x∈[0,1]均有fx≤gx，则称函数y=gx是函数y=fx的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=gx在x处取得的最小值记为fx．
（1）若a＝2，gx=x，试判断函数y＝g（x）是否为函数y＝f（x）的“控制函数”，并说明理由；

（2）若a＝0，曲线y=fx在x=14处的切线为直线y=hx，证明：函数y=hx为函数y=fx的“控制函数”，并求f14)的值；

（3）若曲线y=fx在x=x0，x0∈0,1处的切线过点1,0，且c∈x0,1，证明：当且仅当c=x0或c＝1时，fc=fc．