2022年上海市高考数学真题（解析版）.docx

2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 双曲线x29-y2=1的实轴长为 2. 函数fx=cos2x-sin2x+1的周期为 3. 已知aR，行列式a132的值与行列式a041的值相等，则a 4. 已知圆柱的高为4，底面积为9，则圆柱的侧面积为 5. xy0，x+y10，求zx+2y的最小值 6. 二项式3+xn的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n 7. 若函数fx=a2x-1x00x=0，为奇函数，求参数a的值为 8. 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 9. 已知等差数列an的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5=0，则Sii=0,1,2,100中不同的数值有 个 10. 若平面向量a=b=c=，且满足ab=0，ac=2，bc=1，则 11. 设函数fx满足fx=f11+x对任意x0,+)都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的fx都有y|y=fx,0xa=Af，则a的取值范围为 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.1. 若集合A1,2)，BZ，则AB（ ） A.2,1,0,1B.1,0,1C.1,0D.12. 若实数a、b满足ab0，下列不等式中恒成立的是（ ） A.a+b2abB.a+b2abD.a2+2b0后，图像经过3,0，5,0，求实数a，m的值 （2）若a3且a0，求解不等式fxf6x3. 如图，在同一平面上，ADBC6，AB20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，DABABC120，P，Q关于OM对称，MOAB； （1）若点P与点C重合，求POB的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值4. 设有椭圆方程:x2a2+y2b2=1ab0，直线l:x+y-42=0，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1-2,0、F22,0 （1）a2，AM中点在x轴上，求点M的坐标； （2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在ABM中有一内角余弦值为35，求b； （3）在椭圆上存在一点P到l距离为d，使PF1+PF2+d=6，随a的变化，求d的最小值5. 数列an对任意nN*且n2，均存在正整数i1,n1，满an+1=2an-ai，a1=1，a2=3 （1）求a4可能值； （2）命题p：若a1,a2,a8成等差数列，则a930，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由； （3）若a2m=3m，mN*成立，求数列an的通项公式参考答案与试题解析2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1.【答案】6【考点】双曲线的简单几何性质【解析】根据双曲线的性质可得a3，实轴长为2a6【解答】解：由双曲线x29-y2=1，可知：a3，所以双曲线的实轴长2a6故答案为：62.【答案】【考点】三角函数的周期性【解析】由三角函数的恒等变换化简函数可得fx=cos2x+1，从而根据周期公式即可求值【解答】解：fx=cos2x-sin2x+1=cos2x-sin2x+cos2x+sin2x=2cos2x=cos2x+1,T=22=.故答案为：.3.【答案】3【考点】二阶行列式的定义【解析】根据行列式所表示的值求解即可【解答】解：因为a1322a3，a041=a，所以2a3a，解得a3故答案为：34.【答案】24【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】由底面积为9解出底面半径R3，再代入侧面积公式求解即可【解答】解：因为圆柱的底面积为9，即R29，所以R3，所以S侧2Rh24故答案为：245.【答案】32【考点】简单线性规划【解析】根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可【解答】解：如图所示：由x-y0，x+y-10,可知可行域为直线xy0的左上方和x+y10的右上方的公共部分，联立x-y=0x+y-1=0，可得x=12y=12，即图中点A12,12，当目标函数zx+2y沿着与正方向向量a1,2的相反向量平移时，离开区间时取最小值，即目标函数zx+2y过点A12,12时，取最小值：12+212=32故答案为：326.【答案】10【考点】二项式定理及相关概念【解析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得n的值【解答】解： 二项式3+xn的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，即Cn23n-2=5Cn03n，即 nn-12=59， n10，故答案为：107.【答案】1【考点】分段函数的应用函数奇偶性的性质【解析】（1）由题意，利用奇函数的定义可得f-x=-fx，故有f-1=-f1，由此求得a的值【解答】解： 函数fx=a2x-1x00x=0，为奇函数， f-x=-fx， f-1=-f1， -a2-1=-a+1，即aa-1=0，求得a=0或a=1当a=0时，fx=-1,x0，不是奇函数，故a0；当a=1时，fx=x-1,x0,是奇函数，故满足条件，综上，a=1，故答案为：18.【答案】37【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有C11C31C42+C11C32C41种，而所有的抽取方法共有C84种，故每一类都被抽到的概率为C11C31C42+C11C32C41C84=3070=37，故答案为：379.【答案】98【考点】等差数列的前n项和【解析】由等差数前n项和公式求出a12d，从而Sn=d2n2-5n，由此能求出结果【解答】解： 等差数列an的公差不为零，Sn为其前n项和，S5=0， S5=5a1+542d=0，解得a1=-2d， Sn=na1+nn-12d=-2nd+nn-12d=d2n2-5n， d0， Sii=0,1,2,100中S0=S5=0,S2=S3=-3d，S1=S4=-2d，其余各项均不相等， Sii=0,1,2,100中不同的数值有：101398故答案为：9810.【答案】45【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果【解答】解：由题意，有ab=0，则ab，设a,c=，ac=2bc=1accos=2,bccos2-=1,则得，tan=12，由同角三角函数的基本关系得：cos=255，则ac=accos=255=2，2=5，则=45故答案为:45 .11.【答案】5-12,+【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】由题可得yy=fx,0x5-12=Af，再根据a5-12时不合题意，进而即得；或等价于11+x+aa恒成立，即1a-1+ax恒成立，进而即得【解答】解：法一：令x=1x+1，解得x=5-12（负值舍去），当x10,5-12时，x2=1x1+15-12,1，当x15-12,+时，x2=1x1+10,5-12，且当x15-12,+时，总存在x2=1x1+10,5-12，使得fx1=fx2，故yy=fx,0x5-12=Af，若a0，fx+a=f11+x+a，所以11+x+aax1a-1+a恒成立，即1a-1+a0恒成立，又a0，所以a5-12，即实数a的取值范围为5-12,+故答案为：5-12,+二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】根据集合的运算性质计算即可【解答】解： A1,2)，B=Z， AB1,0,1，故选：B2.【答案】A【考点】基本不等式及其应用【解析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解【解答】解：因为ab0，所以a+b2ab，当且仅当ab时取等号，又ab0，所以a+b2ab，故A正确，B错误，a2+2b2a22b=2ab，当且仅当a2=2b，即a4b时取等号，故CD错误，故选: A3.【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，即直线MN与线段A1S、B1D不相交，因此所求与D1可视的点，即求哪条线段不与线段A1S、B1D相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断【解答】解：线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，即直线MN与线段A1S、B1D不相交，因此所求与D1可视的点，即求哪条线段不与线段A1S、B1D相交，对A选项，如图，连接A1P、PS、D1S，因为P、S分别为AB、CD的中点， 易证A1D1/PS，故A1、D1 、P、S四点共面， D1P与A1S相交， A错误；对B、C选项，如图，连接D1B、DB，易证D1、B1 、B、D四点共面，故D1B、D1R都与B1D相交， B、C错误；对D选项，连接D1Q，由A选项分析知A1、D1 、P、S四点共面记为平面A1D1PS， D1平面A1D1PS，Q平面A1D1PS，且A1S平面A1D1PS，点D1A1S， D1Q与A1S为异面直线，同理由B，C选项的分析知D1、B1 、B、D四点共面记为平面D1B1BD， D1平面D1B1BD，Q平面D1B1BD，且B1D平面D1B1BD，点D1B1D， D1Q与B1D为异面直线，故D1Q与A1S，B1D都没有公共点， D选项正确故选：D4.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】分k0，k0，k0，求出动点的轨迹，即可判定【解答】解：当k0时，集合=x,yx-k2+y-k22=4k|,kZ=0,0，当k0时，集合=x,yx-k2+y-k22=4k|,kZ，表示圆心为k,k2，半径为r=2k的圆，圆的圆心在直线y=x2上，半径r=fk=2k单调递增，相邻两个圆的圆心距d=k+1-k2+k+12-k22=4k2+4k+2，相邻两个圆的半径之和为l=2k+2k+1，因为dl有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，当k0时，同k0的情况，故存在直线l，使得集合中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故正确，若直线l斜率不存在，显然不成立，设直线l:y=mx+n，若考虑直线l与圆x-k2+y-k22=4k的焦点个数，d=mk+n-k2m2+1，r=2k，给定m，n，当k足够大时，均有dr，故直线l只与有限个圆相交，错误故选: B.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.1.【答案】解：（1）在三棱锥PABC中，因为PO底面ABC，所以POAC，又O为AC边中点，所以PAC为等腰三角形，又APAC2所以PAC是边长为2的为等边三角形， PO=3，三棱锥体积VP-ABC=13SABCPO=1334223=1（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P0,0,3，B3,0,0，C0,1,0，M32,12,0，PM=32,12,-3，平面PAC的法向量OB=3,0,0，设直线PM与平面PAC所成角为，则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sin=PMOBPMOB=3232=34，所以PM与面PAC所成角大小为arcsin34.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面所成的角【解析】（1）直接利用体积公式求解；（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量，即可求解【解答】解：（1）在三棱锥PABC中，因为PO底面ABC，所以POAC，又O为AC边中点，所以PAC为等腰三角形，又APAC2所以PAC是边长为2的为等边三角形， PO=3，三棱锥体积VP-ABC=13SABCPO=1334223=1（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P0,0,3，B3,0,0，C0,1,0，M32,12,0，PM=32,12,-3，平面PAC的法向量OB=3,0,0，设直线PM与平面PAC所成角为，则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sin=PMOBPMOB=3232=34，所以PM与面PAC所成角大小为arcsin34.2.【答案】解：（1）因为函数fx=log3a+x+log36-x，将函数fx图像向下移mm0后，得yfxmlog3a+x+log36-x-m的图像，由函数图像经过点3,0和5,0，所以log33+a+1-m=0log35+a+0-m=0，解得a2，m1（2）a3且a0时，不等式fxf6x可化为log3a+x+log36-xlog3a+6-x+log3x，等价于a+x06-x0a+6-x0x0a+x6-xxa+6-x解得x-ax6x0ax-30，当3a0时，0a3，3a+66，解不等式得ax3，当a0时，a0，a+66，解不等式得3x6；综上知，3a0时，不等式fxf6x的解集是(a,3，a0时，不等式fxf6x的解集是3,6)【考点】对数函数的图象与性质不等式恒成立的问题【解析】（1）写出函数图像下移m个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出m和a的值（2）不等式化为log3a+x+log36-xlog3a+6-x+log3x，写出等价不等式组，求出解集即可【解答】解：（1）因为函数fx=log3a+x+log36-x，将函数fx图像向下移mm0后，得yfxmlog3a+x+log36-x-m的图像，由函数图像经过点3,0和5,0，所以log33+a+1-m=0log35+a+0-m=0，解得a2，m1（2）a3且a0时，不等式fxf6x可化为log3a+x+log36-xlog3a+6-x+log3x，等价于a+x06-x0a+6-x0x0a+x6-xxa+6-x解得x-ax6x0ax-30，当3a0时，0a3，3a+66，解不等式得ax3，当a0时，a0，a+66，解不等式得3x6；综上知，3a0时，不等式fxf6x的解集是(a,3，a0时，不等式fxf6x的解集是3,6)3.【答案】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB=10，BC=6，ABC=120，由余弦定理可得OP2=OB2+BC2-2OBBCcosABC=36+100-2610-12)=196，所以OP14，在OBP中，由正弦定理得OPsin120=BPsinPOB ，所以1432=6sinPOB，解得sinPOB=3314，所以POB的大小为arcsin3314；（2）如图，连结QA，PB，OQ，OP， 曲线CMD上任意一点到O距离相等， OPOQOMOC14， P，Q关于OM对称， P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，SQOM=SPOM=，则AOQ=BOP=SBOP=2-，则五边形面积S=2SAOQ+SQOM212OQOAsin2-+12OQOMsin196sin+140cos=2874sin+，其中tan=57，当sin+=1时，S五边形MQABP取最大值2874， 五边形MQABP面积S的最大值为2874【考点】余弦定理正弦定理扇形面积公式【解析】（1）在OBP中，直接利用余弦定理求出OP，再结合正弦定理求解；（2）利用五边形CDQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题【解答】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB=10，BC=6，ABC=120，由余弦定理可得OP2=OB2+BC2-2OBBCcosABC=36+100-2610-12)=196，所以OP14，在OBP中，由正弦定理得OPsin120=BPsinPOB ，所以1432=6sinPOB，解得sinPOB=3314，所以POB的大小为arcsin3314；（2）如图，连结QA，PB，OQ，OP， 曲线CMD上任意一点到O距离相等， OPOQOMOC14， P，Q关于OM对称， P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，SQOM=SPOM=，则AOQ=BOP=SBOP=2-，则五边形面积S=2SAOQ+SQOM212OQOAsin2-+12OQOMsin196sin+140cos=2874sin+，其中tan=57，当sin+=1时，S五边形MQABP取最大值2874， 五边形MQABP面积S的最大值为28744.【答案】解：（1）由题意可得a=2，b=c=2，:x24+y22=1，A0,-2， AM的中点在x轴上， M的纵坐标为2，代入x+y-42=0得M32,2（2）由直线方程可知B0,42，若cosBAM=35，则tanBAM=43，即tanOAF2=43， OA=34OF2=342， b=342若cosBMA=35，则sinBMA=45， MBA=4， cosMBA+AMB=2235-2245=-210， cosBAM=210， tanBAM=7即tanOAF2=7， OA=27， b=27，综上b=342或27（3）设Pacos,bsin，由点到直线距离公式可得acos+bsin-422=6-2a，很明显椭圆在直线的左下方，则-acos+bsin-422=6-2a，即42-a2+b2sin+=62-22a， a2=b2+2， 2a2-2sin+=22a-22，据此可得a2-1sin+=2a-2，sin+=2a-2a2-11，整理可得a13a50，即1a53，从而d=6-2a6-253=83即d的最小值为83【考点】直线与圆锥曲线的关系椭圆的定义和性质直线与椭圆结合的最值问题点到直线的距离公式【解析】（1）由题意可得椭圆方程为x24+y22=1，从而确定M点的纵坐标，进一步可得点M的坐标；（2）由直线方程可知B0,42，分类讨论cosBAM=35和cosBMA=35两种情况确定b的值即可；（3）设Pacos,bsin，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得acos+bsin-422=6-2a，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得1a53即可确定d的最小值【解答】解：（1）由题意可得a=2，b=c=2，:x24+y22=1，A0,-2， AM的中点在x轴上， M的纵坐标为2，代入x+y-42=0得M32,2（2）由直线方程可知B0,42，若cosBAM=35，则tanBAM=43，即tanOAF2=43， OA=34OF2=342， b=342若cosBMA=35，则sinBMA=45， MBA=4， cosMBA+AMB=2235-2245=-210， cosBAM=210， tanBAM=7即tanOAF2=7， OA=27， b=27，综上b=342或27（3）设Pacos,bsin，由点到直线距离公式可得acos+bsin-422=6-2a，很明显椭圆在直线的左下方，则-acos+bsin-422=6-2a，即42-a2+b2sin+=62-22a， a2=b2+2， 2a2-2sin+=22a-22，据此可得a2-1sin+=2a-2，sin+=2a-2a2-11，整理可得a13a50，即1a53，从而d=6-2a6-253=83即d的最小值为835.【答案】解：（1）a3=2a2-a1=5，a4=2a3-a2=7或a4=2a3-a1=9（2） a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8为等差数列， d=2，an=2n-1n1,8,nN*，a9=2a8-ai=30-ai30逆命题q：若a9an恒成立：当n=1，a2a1明显成立，假设nk时命题成立，即akak-1ak-2a2a10，则ak+1-ak=2ak-ai-ak=ak-ai0，则ak+1ak，命题得证回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1若j2m1，则a2m=2aj+ai=2a2m-1+aia2m-1-ai矛盾，2若j2m2，则aj=3m-1， ai=3m-2aj=3m-1， i2m2，此时a2m+1=2a2m-aj=23m-3m-1=53m-1， an=1n=153n-32n=2k+1,kN*3n2n=2k,kN*3若j2m2，则2aj3m-1， j2m1， a2m+2=2a2m+1-a2m-1（由（2）知对任意m成立），a6=2a5-a3，事实上：a6=2a5-a2矛盾综上可得an=1n=153n-32n=2k+1,kN*3n2n=2k,kN*【考点】数列递推式命题的真假判断与应用数列的应用数学归纳法【解析】（1）利用递推关系式可得a35，然后计算a4的值即可；（2）由题意可得an=2n-1n1,8,nN*，则a9=2a8-ai30，从而命题为真命题，给出反例可得命题q为假命题（3）由题意可得a2m+2=2a2m+1-aii2m，a2m+1=2a2m-ajj2m-1，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式【解答】解：（1）a3=2a2-a1=5，a4=2a3-a2=7或a4=2a3-a1=9（2） a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8为等差数列， d=2，an=2n-1n1,8,nN*，a9=2a8-ai=30-ai30逆命题q：若a9an恒成立：当n=1，a2a1明显成立，假设nk时命题成立，即akak-1ak-2a2a10，则ak+1-ak=2ak-ai-ak=ak-ai0，则ak+1ak，命题得证回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1若j2m1，则a2m=2aj+ai=2a2m-1+aia2m-1-ai矛盾，2若j2m2，则aj=3m-1， ai=3m-2aj=3m-1， i2m2，此时a2m+1=2a2m-aj=23m-3m-1=53m-1， an=1n=153n-32n=2k+1,kN*3n2n=2k,kN*3若j2m2，则2aj3m-1， j2m1， a2m+2=2a2m+1-a2m-1（由（2）知对任意m成立），a6=2a5-a3，事实上：a6=2a5-a2矛盾综上可得an=1n=153n-32n=2k+1,kN*3n2n=2k,kN*