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从”蜃景”中看连续变化介质中的光路及研究
摘 要:”蜃景”是大气中的一种奇特的光现象, 夏天在平静无风的海面上、 在沙漠里、 在炎热的柏油马路上等地方有时即能看到美丽迷人的”蜃景”; 本文从”蜃景”奇特的光现象来研究光的现象, 利用光折射定律的微分式; 折射率及其梯度与光路的切向量和曲率向量的联系, 得到了”折射率场梯度向量对光路曲率的影响是线性的” 的要结论再由光折射定体微分式和上述结论, 利用微分几何的方法, 对刻画光路的向微分进行正交分解, 使其转化为数量微分, 从而导出描述折射率场与光路关系的解析式; 进而对该解析式进行了合理的近似处理。这一结果可为空气动力学测量、 声学测领域中的实际应用提供新的工具。
关键词: 几何光学; 折射光路; 空气动力学侧量; 折射定律向微分式; 声学侧量,
一、 ”蜃景”的成因
　1．光在不均匀介质中的传播: 在折射率连续减小的不均匀介质中光的传播不是沿直线而是沿曲线进行的, 当光从介质的折射率较大的部分向折射率较小的部分传播且发生全反射时, 光的传播将不以折线的形式而以图1的曲线进行。
　2．”上现蜃楼”( 即海市蜃楼) 的形成原因: 夏天的傍晚在平静无风的海面上, 向远方望去有时能看到山峰、 船舶、 楼台、 亭阁、 集市、 庙宇等出现在远方的空中, 这就是”上现蜃楼”; 因为夏天天气炎热, 被暴晒了一天的空气温度很高而海水的温度变化相对较小, 那么从海面向上的一定高度内, 海面附近的空气温度较低密度较大, 而越向上气温越高空气密度较小即较稀薄, 故空气的折射率就形成下层大而上层小的连续变化; 远处的山峰、 船舶、 楼台等发出的光线从( 折射率较大) 密度大的空气连续不断地传播到密度小的上层空气, 由于不断被折射而使光线越来越偏离法线, 故进入到上层空气的光线的入射角不断增大, 以至发生全反射而形成沿图2示曲线传播的光路; 当反射光线进入人的眼睛时, 人们逆着光线看去就感觉到远方的山峰、 船舶、 楼台、 树木等景物悬在空中, 这就是”上现蜃楼”。如人们比较熟悉的山东省烟台市蓬莱县的蓬莱仙岛很大程度上是看到海峡对岸大连市的局部影像。
　3．”下现蜃楼”( 即沙漠蜃景) 的形成原因: 夏日的正午烈日当头, 沙漠表面被晒得非常热使其温度很快上升, 由于沙漠地表处温度很高故下层空气密度小而上层空气密度逐渐增大, 那么从沙漠地面向上空气的折射率则从小到大连续变化, 故从远处物体或蓝色天空斜射向地面的光线, 进入折射率逐渐减小的热空气层被折射后, 其折射角大于入射角且折射角与入射角均逐渐增大, 使传播方向总要向上偏一些, 而且入射光线可能在沙漠地面附近发生全反射; 由于人眼不能看到光线的曲折而是按直线追溯射入眼中的光线射来的方向看到物体的, 因此人看到这些光线仿佛是由她的前方射来的, 于是人们就看到前方远处物体的倒影或者感觉到前方的沙漠中出现了一片蔚蓝发光的湖面( 由于被太阳晒热的沙漠表面的空气不断地向上流动、 晃动, 也由于空气在折射率的变化, 故她还会感觉到这蔚蓝的湖面晃动不止而真像波浪起伏那样) ; 但由于上面所形成的是远处物体或蓝色天空的倒立虚像, 在沙漠中实际是没有的; 故人们看到前方的物体或水源但向前奔去却总是可望而不可即。如图3示这就是”下现蜃楼”形成光路。这种情况在城市里也可看到, 夏天烈日照耀在柏油路面上, 坐在车内的人会发现前方被晒热的路面显得格外明亮光滑, 似有一潭清水或被水淋过一样, 但实际上路面是非常干燥的

二、 问题的引入
以光线为研究对象的几何光学是一门古老的学科, 它以光的直线传播定律、 折反射定律、 光路可逆性原理, 以及费马光程原理为理论基础, 建立了一整套关于光线在有明确界面的均匀介质间传播规律的理论。然而, ” 海市厦楼” 等自然界的奇景也告诉我们, 在密度不均匀的气体等折射率连续变化的光介质内, 也存在着奇妙的几何光学现象。此类连续变化的介质已越来越多的成为理论与应用问题研究的对象, 因此, 对其光学性质的深人研究也就显得日益重要。
由于很难划分明确的界面, 折/反射定律显然” 无用武之地” 了, 费马光程原理由于缺乏对光路的具体描述, 也显得苍白无力。
因此, 建立能将介质的连续变化与光路有效联系起来的解析式是相当有必要的。本文正是为解决此问题作一些基础性的工作。
三、 基础知识
1.光折/反射定律, 又称” 斯涅尔定律”
在光线射到两种各向同性均匀介质的界面上时, 能够产生反射和透射(折射)。人射线、 反射线、 折射线与界面的法线在同一平面内见图( 见图1) , 且有
( 2.1)
式中 和是两种介质折射率, 、 、 分别为人射角、
反射角和折射角。
2.折射率与密度的联系
( 1)介质折射率为 , 其中是介质的相对电容率, 是质的相对磁导率。
( 2) 由于介质分子极化后所激发的附加场的影响, 对于各向同性的介质的相对电容率能够表示为, 且。在本文中, 记为
( 3.2)
（3) 由于介质分子极化后所激发的附加场的影响,各向同性的顺磁和逆磁介质的相对电容率能够表示为, 且。常见气体一般属于顺磁或逆磁介质。在本文中, 表示为
( 3.3)
于是, 折射率能够表示为:
因为, 故令, 有
因此有
( 4) 色散现象: 实验证明, 和都与光波的频率有关。实质上, 是与即与光波的频率有关,即光波的频率越高, 越大。
3.本文的讨论前提
(1)对光学问题的研究完全限于几何光学范围内, 不考虑光的其它行为。
(2)假定几何光学的基本定律在微分条件下依然是适用的。
(3)认为介质的密度与折射率都是关于空间一阶可微的。
(4)当光线射到界面上(介质折射率变化), 会同时发生折射和反射。本文不考虑反射现象。
四、 理论推导
1.折射定律的向量微分式的导出
在折射率连续变化的介质空间中, 因无法定义宏观的界面, 可考虑采用微元法, 取空间一点的p的一个小领域B作为研究对象。在这个小区域中, 以折射率梯度向量的方向为法向, 并取法向在P点的垂直为界面, 故可适用折射率了。
视这一小区域内的介质状态满足光折/反射定律的适用条件, 根据(3.1)式, 令
( 4.1)
( 4.1) 式是光路的一阶微分( 切线方向) 与折射率的关系。将其再微分一次。
( 4.2)
令故且有: ( 4.3)
基于对介质与光路的可微性假设, 能够将上式表示为下列微分形式:
(4.4)
这样就得到了光路的二阶微分与折射率的一阶微分的关系。
由图1可知, 微分光程与折射率变化方向的微位移有下列关系:
(4.5)
(4.4)除以(3.5)得: (4.6)
本文称(4.6)式为” 折射定律的微分式” 。它是由光路曲率和折射率的变化率示的( 4.4) 式。
为了在三维空间中描述光路, 有必要将式( 4.6) 改写为向量形式, 且要求其与坐标系无关。
将介质看作空间的折射率标量场n(r), 其梯度为,
将光路表示为空间曲线, 其弧长参数 k
界面
其单位切向量 ( 4.7) L
令向量K( t) 为光路的曲率向量。 图2
因为, 共面, 且( 如图2) , 。故( 4.6) 能够改写成:
( 4.8)
或 ( 4.9)

( 4.9) 式不依赖于坐标系选取, 不妨称其为” 折射定律的向量微分式” 。

2.折射定律的向微分式的启示
由于向量的叉乘运算具有线性性
(4.10)
由( 4.9) 式能够得到一条极其重要的性质——折射率场梯度向量对光路曲率的影响是线性的, 即符合独立作用原理, 且具有可加性。
2.光路解析式的导出
现在, 人射点, 人射光向量, 人射点折射率, 对( 4.9) 式中的向量微分进行积分, 有:

(4.11)
将带入上式, 可得:
( 4.12)
一阶徽分方程式( 4.12) 中仅含一个未知向量, 从理论上说, ( 4.12) 式已经成功的将光路限定下来了, 能够称其为” 光路的解析式” 。
4.光路解析式的近似处理
由于, 即一般光线在气体介质中因密度分布而发生的偏折是相当小的。此时取一级近似。
这时,

( 4.13)
( 4.14)
四、 几个应用实例
1.由光路验证密度一折射率场
此时, 与都是已知的, 用( 4.14) 式就能很圆满的完成这个任务。
2.已知密度一折射率场求光路
仅知密度一折射率场的情况下, 是无法对于一般情况直接给出光路的解析解的, 但在一些特殊的简化情况下, 还是能够直接求解的。
例如: 若密度场仅在一个方向不妨令为二向发生变化, 表示为
( 5.1)
而且令人射光处于xoy平面内, 与x向夹角为, 过点, 令,不难得到, 光路方程为:
(5.2)
当密度与x是线性关系,则可得光路:
(5.3)
光路示意图如图3。

0 (a)

图介质中的光路习
设空间存在一声波驻波场, 即密度与之间的关系为
二后
二二
介· 劣, 。二
一一下一, 只马
人
二
二沪、 · ” 二各三按式积分可得光路, 如图所示。
图, 二二。‘。卫子三, 。介质中的光路
八
令二, 即认为光线经过了整数个脉冲, 化简光路解析式可得, 并近似有。
由光路求密度场
由于式中光线曲率与两个未知因素与相关, 因此需要在同一点或一个较小的区域
内有两束参照光线经过, 方能解出与密度场相关的折射率向童甲川。
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周超连续变化介质中光路的解析研究
为了方便, 不妨取略垂直的两条光线如图所示, , 与以及它们的曲率向, 与因为
, 甲共面, 玩玩甲共面, 故有
气
乌‘
甲
得到了甲的方向, 就可求了。
图
玩
任取代人式
一
·一
业一协洛一, 二二工止二
·
因此
甲二卫卫卫二
如果、 , 、 、 从、 甲五个向量刚好共面或接近于共面, 这时我们发现对于两条光线都有如下关
‘ 口
其中为与的夹角, 又丫, . 一卜如图, 故能够直接表示为
二一
八
式
· 、 ·
或
·
就给出了经过两束参照光求得空间一点折‘
射率相关量的方案。进一步还可将之转化为与密度的关系。
’
一.之粤
刀
气石
图
五、 应用展望
光在连续变化介质中发生偏折的现象较内普遍, 所有密度不均匀的气体里, 都会发生。而众多因素
都会使气体的密度不均, 如温度不均、 重力作用、 高速流动、 声波作用、 爆炸过程等等。
空气动力学测中的应用
密度是在空气动力学中广泛使用的欧拉公式所包含的三个参盆之一, 空气动力学实验例如风洞
实验中, 密度的测童是一个相当重要的方面, 却又没有非常简易的手段。
利用本文节与节中提供的方案, 能够由光路验证密度一折射率场和由光路求密度场。具体
实现方法是以激光不一定要在可见光范围内, 可尽量提高频率以增大为参考光线由于空气中存
在尘埃, 能够很简单地将光路用两架照相机拍摄下来, 根据两张平面照片, 很容易还原出空间的光路, 从
而求出密度。能够设想, 这种测量方法的优越性还体现于, 其反应时间极短, 大大短于被测系统的变化速
度。更令人满意的是, 这还将是一种非介人式测量方法—光照几乎不会对空气动力学系统产生影响。
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周超连续变化介质中光路的解析研究
这一特点, 对于极易受到外界干扰的空气动力学系统测量来说是相当有意义的。
声学测中的应用
本文节中举了一个光线在声驻波场中偏折的例子, 事实上, 其结论对于行波也是同样适用的,
取驻波为研究对象只是为了简化模型而已。
根据前述结论, 光路偏移与声波的一些重要参量振幅、 波长都是简单相关的。因此用光偏移
址法来测声波的参, 也是一种非介人式测童方法, 是相当有前景的应用方向。
气象测中的应用
光在空气中的折射是一种尺度上较小的现象, 大尺度的气象测量正好能将该现象放大到一个合适
的尺度。而在气象事业中常见的卫星, 正好能成为很好的发射接收平台。
测对象上, 气象工作者们最关心的参—气压、 温度, 正是经过气态平衡方程与密度相联
系的。同样是由于气象测的大尺度特点, 本文节中的直接积分法也能适用于气象测盆。
参考文献
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〔〕徐游电磁学〔南京大学物理系内部资料, 以犯年重印
〔〕陈维担徽分几何初步【〕北京大学出版社, 吠年月第一版
【」卢德葬沁。勿尸入”。【〕高等教育出版杜, 年月第一版
审稿房必文编辑杨上游
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