专题三----数列、推理与证明--第一讲-等差数列、等比数列.doc

专题三 数列、推理与证明
第1讲　等差数列、等比数列
自主学习导引
真题感悟
1．(2012·浙江)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
解析　利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解．
解法一　S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，
将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，
3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0，
解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．
解法二　设等比数列{an}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，得
a1(1＋q)＝3a1q＋2.①
由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②
由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．
∵q＞0，∴q＝.
答案　
2．(2012·课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝
A．7　　　B．5　　　C．－5　　　D．－7
解析　解法一　利用等比数列的通项公式求解．
由题意得
∴或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
解法二　利用等比数列的性质求解．
由解得或
∴或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
答案　D
考题分析
等差数列与等比数列的基本性质与运算是各地高考考查的热点，突出了通性通法．三种题型都有可能出现，有较容易的低档题，也有与其他知识交汇命题的压轴题．
网络构建

高频考点突破
考点一：等差、等比数列的基本运算
【例1】(2012·盘锦模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a＋log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
[审题导引]　(1)利用所给的条件式求出a1与q，可求an；
(2)把数列{bn}分解为一个等差数列与一个等比数列，分组求和．
[规范解答]　(1)∵a1＋a2＝2＝2×，
a3＋a4＝32＝32×，
数列{an}各项均为正数，∴a1a2＝2，a3a4＝32，
∴q4＝＝16，∴q＝2，
又a1a2＝a1·a1q＝2，∴a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)∵bn＝a＋log2an，∴bn＝4n－1＋(n－1)，
∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝(40＋41＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋…＋n－1)
＝＋.
【规律总结】
方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用
等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．
[易错提示]　等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．
【变式训练】
1．(2012·安徽师大附中模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是
A．24　　　　B．36　　　　C．48　　　　D．72
解析　∵S3＝3a2＝6，∴a2＝2，
又a5＝8，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2.
∴S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a9
＝3[a5＋(9－5)d]＝48.
答案　C
2．(2012·青岛模拟)设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn.若对∀n∈N＋，有S2n＜3Sn，则q的取值范围是
A．(0,1] B．(0,2) C．[1,2) D．(0，)

解析　当q＝1时，显然有S2n＜3Sn，
当q≠1时，∵S2n＜3Sn，
即S2n－3Sn＝(qn－2)＜0.
∵＞0，∴qn－2＜0恒成立，
∴0＜q＜1，故q∈(0,1]．
答案　A
考点二：等差、等比数列的判定与证明
【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an－2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋，Sn≠0)，a1＝，判断与{an}是否为等差数列，并说明你的理由．
[审题导引]　因为已知关系式中包含an，Sn，Sn－1，所以应根据an与Sn的关系式：an＝Sn－Sn－1(n≥2)将已知条件转化为关于Sn与Sn－1之间的关系，从而判断是否为等差数列，并求出Sn的表达式，然后求出数列{an}的通项公式，并判断其是否为等差数列．
[规范解答]　因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
所以由an－2SnSn－1＝0，
可得Sn－Sn－1－2SnSn－1＝0(n≥2)，
所以－＝2(n≥2)，又因为S1＝a1＝，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－
＝，
所以an＋1＝，
而an＋1－an＝－
＝＝.
所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，
故数列{an}不是一个等差数列．
综上，是等差数列，{an}不是等差数列．
【规律总结】
判断数列是否为等差(比)数列的方法
在判断一个数列是否为等差(比)数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立an＋1与an的关系式或递推关系式，表示出an＋1－an，然后验证其是否为一个与n无关的常数．另外，常数列{an}的通项公式an＝a，它是一个首项a1＝a，公差d＝0的等差数列，若a≠0，则该数列也是一个首项a1＝a，公比q＝1的等比数列．如果一个数列中包含有0的项，那么这个数列一定不是等比数列．
【变式训练】
3．(2012·西安模拟)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝2an＋2.
(1)求证：数列{an＋2}是等比数列(要求指出首项与公比)；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解析　(1)证明　由an＋1＝2an＋2，得an＋1＋2＝2an＋4，
即an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n∈N＋)，
又由a1＝2得a1＋2＝4，
所以数列{an＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知an＋2＝4·2n－1＝2n＋1，
所以an＝2n＋1－2，
所以Sn＝22＋23＋…＋2n＋1－2n
＝－2n＝2n＋2－2n－4.
考点三：等差、等比数列的性质及应用
【例3】(1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是
A．25 B．50 C．100 D．不存在
(2)(2012·株洲模拟)设等比数列{an}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝
A．12 B．10 C．8 D．2＋log35
[审题导引]　(1)求出a1＋a20，利用a1＋a20＝a7＋a14与基本不等式求解；
(2)利用等比数列的性质结合对数的运算法则解题．
[规范解答]　(1)∵{an}为等差数列，
∴S20＝×20×(a1＋a20)＝100，
∴a7＋a14＝a1＋a20＝10.
∵a7＞0，a14＞0，
∴a7·a14≤2＝25，
当且仅当a7＝a14＝5时，等号成立．
(2)∵a5a6＝a4·a7，a5a6＋a4a7＝18，
∴a5a6＝9，
log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.
答案　(1)A　(2)B
【规律总结】
等差、等比数列性质的应用技巧
(1)等差数列与等比数列有很多性质很类似，但又有区别，学习时需对比记忆，灵活应用．
(2)等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．
(3)应用等差数列、等比数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式．
【变式训练】
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于
A．120 B．105 C．90 D．75
解析　设公差为d且d＞0，
∵a1＋a2＋a3＝15，
∴a2－d＋a2＋a2＋d＝15，
∴a2＝5.
又a1a2a3＝80，∴d2＝9.
∵d＞0，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.
答案　B
名师押题高考
【押题1】在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则a7＝
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析　解法一　设等比数列{an}的公比为q.
∵a4＝a3a5，a1＝8，∴8·q3＝8·q2·8·q4，
即q3＝，∴q＝，
a7＝a1q6＝8·6＝.
解法二　∵a4＝a3a5＝a，且a4≠0，∴a4＝1.
又∵a＝a1a7，即1＝8a7，∴a7＝.
答案　B
[押题依据]　本题可根据给出的条件利用等比数列的通项公式求解，也可以利用等比数列的性质求解，解题切口较宽，不仅考查数列的通性通法，同时也突出了对能力的考查，符合高考的要求，故押此题．
【押题2】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.

解析　(1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n，得
bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知＝n，即an＝n·2n－1，
Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，
两边乘以2得
2Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
两式相减得
Sn＝－1－21－22－…－2n－1＋n·2n
＝－(2n－1)＋n·2n＝(n－1)2n＋1.
[押题依据]　等差数列、等比数列的判定与证明、数列的求和一直是高考的热点，本题综合考查了等差数列的证明、通项公式的求法、错位相减法求和等知识点，难度中等，故押此题．