绝对值三角不等式.doc

1.4绝对值三角不等式

教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；
2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；
3.理解绝对值三角不等式；
4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。
教学重点：定理1的证明及几何意义。
教学难点：换元思想的渗透。
教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1） （2）
（3） （4）
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？
显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。
二、典型例题：
例1、证明 （1）， （2）。
证明（1）如果那么所以
如果那么所以
（2）根据（1）的结果，有，就是，。
所以，。
例2、证明 。
例3、证明 。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？
定理1 如果, 那么.
在上面不等式中,用向量分别替换实数,
则当不共线时, 由向量加法三角形法则:
向量构成三角形, 因此有｜a+b｜<｜a｜+｜b｜

其几何意义是什么？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知 ，求证
证明 （1）
，
∴ （2）
由（1），（2）得：
例5、已知 求证：。
证明 ，∴，
由例1及上式，。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
四、巩固性练习：
1、已知求证：。
2、已知求证：。
作业：习题1.2 2、3、5

1.4绝对值三角不等式学案

☆预习目标： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；
2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;
3.理解绝对值三角不等式。
☆预习内容：
1．绝对值的定义：，
2. 绝对值的几何意义：
10. 实数的绝对值，表示数轴上坐标为的点A

20. 两个实数，它们在数轴上对应的点分别为，
那么的几何意义是
3.定理1的内容是什么？其证法有几种？
4.若实数分别换成向量定理1还成立吗？
5、定理2是怎么利用定理1证明的？
☆探究学习：
1、绝对值的定义的应用
例1 设函数．
解不等式；求函数的最值．

2. 绝对值三角不等式：探究，，之间的关系.
①时,如下图, 容易得：.

②时,如图, 容易得：.

③时,显然有：.
综上,得
定理1 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立.
在上面不等式中,用向量分别替换实数,
则当不共线时, 由向量加法三角形法则:
向量构成三角形, 因此有
它的几何意义就是:
定理1的证明:

定理2 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立.

3、定理应用
例2 （1）证明，
（2）已知 ，求证 。

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