中心极限定理的证明.doc

林德伯格中心极限定理的证明

中心极限定理： 概率论中关于独立的随机变量序列的部分和的分布渐近 于正态分布的一类定理，是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景，常见的是关于独立同分布随机变量之和的中心极限定理，即林德伯格列维定理。
林德伯格列维定理: 设为独立同分布的随机变量序列，且。令=，那么当时，随机变量依分布收敛于服从标准正态分布的随机变量，即

引理（特征函数的定义及性质）
随机变量的特征函数；
独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。
证明：用特征函数来证明。
令，于是有：独立同分布，且。
设的特征函数为(正态随机变量的概率密度函数)，则的特征函数为 ，当，有，则可以将在点附近泰勒展开。
，对于，易知， ，所以代入上式，得 然后令，有，由于正好是服从标准正态分布的随机变量的特征函数，即的特征函数收敛于标准正态分布随机变量的特征函数，所以由特征函数理论可得知，的分布函数弱收敛于（依分布收敛于）标准正态分布随机变量的分布函数，即
随机变量
证毕。