椭圆的几何性质测试题.doc

椭圆的几何性质 2017/9/22 1.椭圆x24y21的离心率为 ()A. B. C. D.2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是 ()A.1 B.1 C.1 D.13.若椭圆经过原点，且焦点分别为，则其离心率为 （ ）A B C D4已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为 ()A1或1 B1C1或1 D1或15.椭圆+=1与+=1(0kb0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆离心率e=，则椭圆的方程是 ()A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=17.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为 ()A1 By21 C1 D18.过椭圆+=1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2=60，则椭圆的离心率为 ()A.B.C.D.来源:学9.设F1，F2是椭圆E：+=1(ab0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为 ()A.B.C.D.10.设e是椭圆+=1的离心率，且e，则实数k的取值范围是 ()A.(0，3)B. C.(0，3)D.(0，2)来源:学|科|网二、填空题:11.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是的椭圆的标准方程： .(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程： .(3)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为的椭圆的标准方程： .12.已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则PF1F2的面积是.13.若直线过椭圆的左焦点F和一个顶点B，则该椭圆的离心率为_。14.已知F1，F2是椭圆C：+=1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若PF1F2的面积为9，则b=_.15.已知椭圆（），F 为左焦点，A为左顶点，B为上顶点，C为下顶点，且，则椭圆的离心率为_.16.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A(-4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆+=1上，则=_.17.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,POF2是面积为的正三角形,则离心率为 .18.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 来源19.求到定点与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程2设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A. B. C. D. 1. 过椭圆C：左焦点F1作轴的垂线，交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2=60。，则椭圆的离心率为_。:学+科+网Z+X+X+K6.巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 7.椭圆（ab0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_ _.8.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_。9设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，来源:学.科.网Z.X.X.K 是底角为的等腰三角形，则的离心率为_。3.过椭圆+=1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PQF周长的最小值是()A.14B.16C.18D.20例3：【补偿训练】设e是椭圆+=1的离心率，且e，则实数k的取值范围是()A.(0，3)B.C.(0，3)D.(0，2)来源:学|科|网【解析】选C.当k4时，c=，来源:学科网由条件知；当0k4时，c=，由条件知b0)的左焦点为F，A(a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点F到AB的距离为，则椭圆的离心率为 ()A. B. C. D.8.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足120的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ()A.(0,1) B. C. D.二、填空题：9.直线l过定点A(3,0)，则过点A的直线与椭圆1的交点个数为_. 10.若过椭圆1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_.11.已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点坐标为(3,0)，|1，且0，则|的最小值是_.12.过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_.13.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_.三、解答题：14.椭圆1(ab0)的离心率为，且椭圆与直线x2y80相交于P，Q，且|PQ|，求椭圆的方程.15.已知椭圆1，直线l：y4x，若椭圆上存在两点P、Q关于直线l对称，求直线PQ的方程.16.设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求|AB|； (2)若直线l的斜率为1，求b的值.【解】法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则kPQ.设PQ所在直线方程为yb.由消去y，得13x28bx16b2480.(8b)2413(16b248)0.解得b2，x1x2，设PQ中点为M(x0，y0)，则有x0，y0b.点M在直线y4x上，4，b.直线PQ的方程为yx，即2x8y130.法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)是PQ的中点.则有两式相减，得3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.x1x2，x1x22x0，y1y22y0，kPQ.kPQ，y03x0.代入直线y4x，得x0，y0，则直线PQ的方程为y，即2x8y130.10.设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值.【解】(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，所以|AB|.(2)直线l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1b2)x22cx12b20.则由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x1x2|，即|x1x2|.所以(x1x2)24x1x2，即，解得b2或b2(舍去)，又b0，b.能力提升1.已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，A(a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点F到AB的距离为，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】直线AB的方程是1，即bxayab0.因为点F的坐标为(c,0)，所以，化简，得8c214ac5a20，两端同除以a2，得8e214e50，解得e.【答案】C2.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足120的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.【解析】12，点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，cb，c2b2a2c2，即2c2a2，0，0eb0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，2.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|，求椭圆C的标准方程. 【导学号：97792080】【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y10.(1)直线l的方程为y(xc)，其中c.联立，得消去x，得(3a2b2)y22b2cy3b40.解得y1，y2因为2，所以y12y2，即2，得离心率e.(2)因为|AB|y2y1|，所以.由，得ba，所以a，所以a3，b.所以椭圆C的标准方程为1.6.(2014陕西高考)已知椭圆+=1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).(1)求椭圆的方程.(2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程.【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及a，b，c间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦CD的长，再利用椭圆与直线相交得AB的长，通过解方程得m值从而得解.【解析】(1)由题设知解得a=2，b=，c=1，所以椭圆的方程为+=1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，所以圆心到直线的距离d=.由d1得|m|b0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程.(2)当AMN的面积为时，求k的值.【解析】(1)由题意得解得b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.=24k2+160.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=，x1x2=，所以|MN|=.又因为点A(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=，所以AMN的面积为|MN|d=.由=，解得k=1.5.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.【解析】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得因为P在圆上，所以x2+=25，即C的方程为+=1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x-3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y=(x-3)代入C的方程，得+=1，即x2-3x-8=0.=(-3)2+32=410所以x1+x2=3，x1x2=-8.所以线段AB的长度为|AB|=.【精彩点拨】(1)设直线方程联立方程组利用弦长公式求解；(2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.【自主解答】(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx.由可得x2180，若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x20，x1x218.于是|AB|63.所以线段AB的长度为3.(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4).联立消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以4，解得k，且满足0.这时直线的方程为y2(x4)，即yx4.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB，由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即yx4.1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.椭圆方程为x24y2a2.与x2y80联立消去y，得2x216x64a20，由0得a232，由弦长公式得10642(64a2).a236，b29.椭圆的方程为1.探究在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？【提示】(1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围.(2)解决椭圆1(ab0)中的范围问题常用的关系有axa，byb；离心率0e1；一元二次方程有解，则判别式0.已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.【精彩点拨】(2)中，设A，B坐标0|AB|化为关于x0的函数求最值.【自主解答】(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4).因为4(01B.m1且m3C.m3D.m0且m3【解析】由得(m3)x24mxm0.由0且m3，得m1且m3，又m0，m1且m3.【答案】B4.若过椭圆1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_.【解析】设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减并把x1x24，y1y22代入得，所求直线方程为y1(x2)，即x2y40.【答案】x2y405.如图214，已知斜率为1的直线l过椭圆1的下焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长. 【导学号：97792020】图214【解】令点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由椭圆方程知a28，b24，c2，椭圆的下焦点F的坐标为F(0，2)，直线过点B(2,0)和点F(0，2)，直线l的方程为yx2.将其代入1，化简整理得3x24x40，x1x2，x1x2，|AB|.10如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：来源:学科网ZXXK; ; ; .其中正确式子的序号是_4.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 5.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_.1.直线与焦点在轴上的椭圆恒有公共点，则的取值范围是( )A.（0，1） B.（0，5） C.1，5） D. （ 5，）2.过点M（2，0）的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为( )A2B2CD3.直线交椭圆于AB两点，AB的中点为M（2,1），则的方程为_4.椭圆的焦点分别是和，过原点作直线与椭圆相交于两点，若的面积是，则直线的方程式是 5经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长 三、高考链接1.设F1、F2分别是椭圆（0b1）的左右焦点，过F1的直线与椭圆交于AB两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列（1）求|AB|（2）若直线的斜率为1，求b的值、2.设F1、F2分别是椭圆（0b1）的左右焦点，过F1斜率为1的直线与椭圆交于AB两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列（1）求|椭圆的离心率（2设P(0，-1)，若|PA|=|PB|,求椭圆的方程来源:学科网3.设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=求椭圆C的方程.来源:学科网来源:学科网ZXXK来源:Zxxk.Com4设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 5已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.13