《信号与线性系统分析》重要公式汇总.pdf

江西科技师范大学 通信与电子学院 1/17江西科技师范大学 通信与电子学院信号与线性系统重要公式信号与线性系统重要公式第一章：信号与系统第一章：信号与系统1.1 单位阶跃函数(t)单位冲激函数(t)1.2 冲激函数的性质：()()()()()(0)()()()(0)()()(0)()(0)()()()(0)()()(1)(0)nnnf ttftf tt dtff ttftftf tt dtff tt dtf 11111111111111()()()()()()()()()()()()()()()()()()f tttf tttf ttt dtf ttt dtf tf tttf tttf tttf ttt dtf t()()()1()()1 1()()11()()nnnattaatta aatta a ()()()()()()()()nnnntt ntt n 为偶数为奇数1.3 线形系统的性质：齐次性 可加性()()T afaf 1212()()()()T ffT fT f 1 1221122()()()()T a fa faT fa T f 零输入响应，零状态响应，全响应()(0),0 xyTx ()0,()fyTf ()()()xfyyy 第二章第二章 连续系统的时域分析法连续系统的时域分析法全解=齐次解（自由响应）()hy t+特解（强迫响应）()pyt 全响应=零输入响应()xy t+零状态响应()fyt()()()hpy ty tyt=()()xfy tyt零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用()xy t表示。零状态响应是指初始状态为零，仅由激励所 引起的响应，用()fyt表示。江西科技师范大学 通信与电子学院 2/17江西科技师范大学 通信与电子学院1()iintxxiy tC e 1()()iintffpiytC eyt ixC和ifC都为待定系数111()()()iiiiinnntttipxfpiiiy tCey tC eC ey t（自由响应）（强迫响应）（零输入响应）（零状态响应）2.2冲激响应和阶跃响应 一个 LTI 系统，当其初始状态为零，输入为单位冲激函数()t时所引起的响应，简称为冲激响应。用()h t表示，即冲激响应为激励为()t时的零状态响应。一个 LTI 系统，当其初始状态为零、输入为单位 阶跃函数()t 时所引起的响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。用 g(t)表示。阶跃响应是()t 时，系统的零状态响应。冲激响应()t与阶跃响应()t的关系：()()dttdt ()()ttt dx同一系统阶跃响应()h t与冲激响应()g t的关系()()dg th tdt ()()tg tt dx2.3卷积积分1212()()*()()()f tf tf tff td零状态响应的另一种方法()*()fyf th t2.4卷积积分性质12211231213123123()*()()*()()*()()()*()()*()()*()*()()*()*()ftftftftftftftftftftftftftftftftft函数与冲激函数的卷积1111212122112121122122112()*()()*()()()*()()*()()()*()()()*()()*()()()()*(),()*()()*()()f tttf tf tf tttttf tf tttttttttf ttttf ttttf tttf tftftfttfttfttfttf ttt若则卷积的微分与积分江西科技师范大学 通信与电子学院 3/17江西科技师范大学 通信与电子学院1221(1)(1)(1)1212(1)(1)(1)1212(1)(1)(1)(1)1212()()()12()()*()()*(),()()*()()*()()()*()()*()()()*()()*()()()*()ijijf tftftftftftftftftftftftftftftf tftftftftftftft若则导数积分推论第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析31 全响应()y k=零输入响应()xy k+零状态响应()fyk1()nkxiiiy kC 1()()inkffipiykCyk 11()()innkkiifipiiy kCCyk差分方程的经典解全解()y k=齐次解()hy k+特解()pyk1()()()()nkhpiipiy ky kykCyk不同特征根所对应的齐次解特征根特征根特解特解()hy k单实根单实根kCr重实根重实根121210rkrkkkrrCkCkC kCL一对共轭复根一对共轭复根 1,2jajbpecos()sin()kp CkDk或cos(),kjApkAeCjDr重共轭复根重共轭复根121121cos()cos()rkrkrrrrA rpkArpkL00cos()kA Pk不同激励所对应的特解不同激励所对应的特解激励激励()f k特解特解()pykmk1110mmmmp kpkp kpL所有特征根均不为 11110rmmmmkp kpkp kpL有r为 1 的特征根makpa当a等于特征时江西科技师范大学 通信与电子学院 4/17江西科技师范大学 通信与电子学院10kkp kap a当a是特征单根时1110rkrkkkrrp k apkap kap aL当a是r重特征根时。cos()ksin()kcos()sin()PkQkcos(),jAkAePjQ当所有特征根均不等于je32 单位序列和单位序列响应当 LTI 离散系统的激励为单位序列()k时，系统的 零状态响应称为单位序列响应，用()h k表示。当 LTI 离散系统的激励为单位阶跃序列()k 时，系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响 应，用()g k表示。单位序列响应与阶跃响应的关系0()()()()()(1)kijg kh ih kjh kg kg k连续系统冲激响应与阶跃响应的关系()()()()tg thddg th tdt几种数列的求和公式序号公式说明1101,11(1),1kkjjaaaaka 0k 21221121,111,1kkkjj kaaaaakka1221,k kkk可为正或负整数，但3011jjaa 1a 4111kjj kaaa 1a 1k 可为正或负整数江西科技师范大学 通信与电子学院 5/17江西科技师范大学 通信与电子学院50(1)2kjk kj0k 6211221()(1)2kj kkkkkj1221,k kkk可为正或负整数，但720(1)6kjk kkj（2+1）0k 33 卷积和1212()()*()()()if kf kfkf i fki卷积和的性质12211231213123123()*()()*()()*()()()*()()*()()*()*()()*()*()f kfkfkf kf kfkfkf kfkf kfkf kfkfkf kfkfk任一序列()f k与单位序列的卷积121211112121212()*()()*()()()*()()()*()()*()()()*()()*()*()()*()()iif kkkif if kkkkkkkkf kttf ikikf kkf kkkkf kkkkkf kkkkf kkk 1212111211122122112()()*(),()*()()*()()()*()()*()()f kf kfkf kfkkf kkfkf kkf kkfkkf kkfkkf kkk若则11(),()()*()(1)(),kkkkkbakabh kakbkbakbkab第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析4.1 信号分解为正交函数4.2 傅里叶级数 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf江西科技师范大学 通信与电子学院 6/17江西科技师范大学 通信与电子学院其中,nna b为傅里叶系数，2T，02222221()22()cos(),0,1,2,2()sin(),0,1,2,TTTTnTTnaf t dtTaf tn t dt nTbf tn t dt nTLL01()cos()2nnnAf tAn t 00Aa22,1,2,3,nnnAabnL arctan()nnnba 00cos,1,2,sin,1,2,nnnnnnaAaAnbAn LL43 傅里叶级数的指数形式1()2njjn tnnf tA ee 令12nnjjnnnA eF eF ()jn tnnf tF e111cossin()222njnnnnnnnnFA eAjAajb 221(),0,1,2,Tjn tTnFf t edt nT L44 傅立叶变换和逆变换22()1()TjntTnjntnnF Tf t edtf tF TeT ()()1()()2limjnTj tF jF Tf t edtf tf jed 在 f(t)是实函数时：(1)若 f(t)为 t 的偶函数，即 f(t)=f(-t)，则 f(t)的频谱函数 F(j)为的实函数，且为的偶函数。(2)若 f(t)为 t 的奇函数，即 f(-t)=-f(t)，则 f(t)的频谱函数 F(j)为的虚函数，且为的奇函数。表 4-1 常用傅里叶变换编号()f t()F j1()rg t()2Sa2()2tSa2()rg江西科技师范大学 通信与电子学院 7/17江西科技师范大学 通信与电子学院3(),0atet a1aj4(),0attet a21()aj5,0atea222aa6()t1712()81()tt0j te90cost00()()100sint00()()j 11()t1()j 12()Sgn t1,(0)0Fj131t()jSgn14()Tt()15jn tnnF e2()nnFn 161(),0(1)!nattet an1()naj4.5 傅里叶变换的性质1 线形1 1221122()()()()a f ta f ta F ja Fj2 奇偶性实部虚部()()()()cos()()sin()()()()j tjF jf t edtf tt dtjf tt dtRjXF je 江西科技师范大学 通信与电子学院 8/17江西科技师范大学 通信与电子学院实部和虚部分别为()()cos()Rf tt dt ()()sin()Xf tt dt 频谱函数的模和相角分别为22()()()F jRX ()()arctan()()XR 1、若 f(t)是时间 t 的实函数，则频谱函数()F j的 实部()R是角频率的偶函数，虚部()X是角频率的奇函数，()F j是的偶函数，()是的奇函数。2、如果()f t是时间 t 的实函数，并且是偶函数，则 0()()2()cos()F jRf tt dt频谱函数()F j等于()R ，它是的实偶函数3、如果()f t是时间t的实函数，并且是奇函数，则 0()()2()sin()F jjXjf tt dt 频谱函数()F j等于()jX，它是 的虚奇函数。4、()ft的傅里叶变换若 f(t)是时间 t 的实函数()()()()()()FjRjXRjXFj()()()ftFjFj则有（1）()(),()()()(),()()RRXXF jFj （2）()()()ftFjFj（3）()(),()0,()()f tftXF jR如则 ()(),()0,()()f tftRF jjX 如则若 f(t)是时间 t 的实函数（1）()(),()()()(),()()RRXXF jFj （2）()()()ftFjFj 江西科技师范大学 通信与电子学院 9/17江西科技师范大学 通信与电子学院3 对称性()(),()2()f tF jf jtF若则4 尺度变换1()(),()()f tF jf atF jaa若则对实常数a(a0),有5 时移特性()(),f tF j若则00()()j tf tteF j1()()bjaf atbeF jaa实常数a和b(a0),有6 频移特性000()(),()()jtf tF jf t eF jm若且为常数，则00011()cos()()()22f ttF jF j00011()sin()()()22f ttF jjF j7 卷积定理时域卷积定理11121222()()()()()()()()f tF jf tf tF jFjf tFj若则频域卷积定理11121222()()1()()()()()()2f tF jf tf tF jFjf tFj若则其中1212()()()()f tf tff td8 时域微分()()(),()()()nnf tF jftjF j若则时域积分(1)()()(),()(0)()F jf tF jftFj 若则9 频域微分()(),()()()nnf tF jjtf tFj若则江西科技师范大学 通信与电子学院 10/17江西科技师范大学 通信与电子学院频域积分(1)1()(),(0)(0)()()f tF jFf tFjjt若则10 能量谱22221()()(),()()2Eft dtF jdF jdfF j 取功率谱222222()()()11lim()limlim,lim()2TTtTtTtTtTF jF jF jPft dtddfTTTT 取傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换一、正、余弦函数的傅里叶变换000001cos()()()()2jtjttee 江西科技师范大学 通信与电子学院 11/17江西科技师范大学 通信与电子学院000001sin()()()()2jtjtteejj 47LTI 系统的频域分析1、虚指数函数()j tf te作用于 LTI 系统所引起的零状态响应，设冲击响应 h(t)()()()()j tfytf th tH je2、任意信号输入时的响应()()()Y jH jF j第五章第五章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换51 在频域分析中，我们以j te 为基本信号，在复频域分析中，我们以ste 为基本信号sj，由于当0,sj，j tstee()()1()()2stbjstbjF sf t edtf tF s e dsj 称为双边拉普拉斯变换对；()bF s称为()f t的双边拉氏变换（或象函数）；()f t称为()bF s 的双边拉氏逆变换（或原函数）。（单边）拉普拉斯变换0()()stF sf t edt1()2streg ts，Re s ()1t，Re s ()ts，Re s 001()s tetss，0Re Ress52 拉普拉斯变换的性质 1 线形1 122112212()()()(),Re max(,)a f ta f ta F sa F ss 2222sin(),cos(),Re 0sttttsss 2 尺度变换001()(),Re()(),Re sf tF ssf atFsaaa若则对实常数a(a0),有3 时移特性江西科技师范大学 通信与电子学院 12/17江西科技师范大学 通信与电子学院000000()(),Re 0()()(),Re stf tF sstf tttteF ss若且对实常数则0001()(),Re 0()()(),Re 0,0bsasf tF sstf atbatbFesabaa若且对实常数则其中4 复频移特性00()(),Re,()(),Re as taaaaf tF ssjf t eF sss若且有复常数则s则+5 时域微分特性0(1)(2)2(1)()12(1)(1)()(),Re()()(0)()()(0)(0)()()(0)(0)(0)nnnnnf tF ssftsF sffts F ssfffts F ssfsffL若则如果()f t是因果信号，则由于()(0)0(0,1,2)nfnL有()0()(),Re nnfts F ss 6 时域积分定理()()11()1()(0)nnmnn mmF sftfss其收敛域至少是Re 0s 和0Re s 相重叠的 部分。7 卷积定理时域卷积定理1111212222()(),Re()()()()()(),Re f tF ssf tf tF sF sf tF ss若因果信号则复频域卷积定理121212121()()()(),Re,Re 2cjcjF tF tFF sdscsj 8s 域微分和积分00()(),Re()()()()(),()(),(),Re nnnsf tF ssdF sd F sf tt f ttf tFdsdsdst若则5.3拉普拉斯逆变换,00()1()2,0jstjtf tF s s dsjt ()()jpijqpkkF smssss ()()1,(),()nnttstsL江西科技师范大学 通信与电子学院 13/17江西科技师范大学 通信与电子学院2111(),(),()nntttttsssL2111(),(),()12ttntetetetsssnL5.4 复频域分析1 用拉普拉斯变换求系统的零输入响应和零状态响应2()()(0)(0)y ts Y ssyy ()()(0)y tsY sy()()y tY s ()()()nnfts F s代入()()()()()ny tay tby tft中有()()()()()()M sB sY sF sA sA s ()()M sA s为零输入响应的象函数 ()()()B sF sA s为零状态响应的象函数一般题目中有(0)y和(0)y的值，如果只有(0)y和(0)y的值，那么先算出()zsyt的函数，在根据函数()zsyt，(0)y，(0)y计算(0)y和(0)y的值，可得出()ziyt的函数2 系统函数系统零状态响应的象函数与激励的象函数 之比，称为系统函数。用()H s 表示。()(),()()()B sH sH sh tA s，()H s仅与系统的结构，元件参数有关，而与激励及初始状态无关第六章第六章 离散系统的离散系统的 z 域分析域分析61()()kkF zf k z 0,1,2,k L 称为序列 f(k)的双边 z 变换0()()()kkF zf kk z 称为序列 f(k)的单边 z 变换Z 变换简记为：()()f kF z江西科技师范大学 通信与电子学院 14/17江西科技师范大学 通信与电子学院常用序列的 z 变换：因果序列：a 为正实数(),kzakzaza ()(),kzakzaza令 a=1，则单位阶跃序列的 z 变换：(),11zkzz令jae 则有(),1j kjzekzze反因果序列：b 为正实数，(1),kzbkzbzb ()(1),kzbkzbzb 令 b=1，则有(1),11zkzz 6.2 z 变换的性质1 线形若11112222()(),()(),f kF z azfkF z az且有任意常数1,2a a则有1 1221122()()()()a f ka fka F za F z，收敛域至少为1()F z和2()F z的相交部分2 移位特性若()(),f kF z az，且有整数0m，则()(),mf kmzF z az3 序列乘ka的尺度变换若()(),f kF z az，有常数0a，则()(),kza f kFa aza 4 卷积定理若11112222()(),()(),f kF z azfkF z az则1212()()()()f kfkF zF z收敛域至少为1()F z和2()F z的相交部分5 序列乘 k若()(),f kF z az则()()dkf kzF zdz ，2()()ddk f kzzF zdzdz，L L，江西科技师范大学 通信与电子学院 15/17江西科技师范大学 通信与电子学院()()mmdk f kzF zdz 特例12223323(),1(),1(),1(),(1)()(1)(1)(),1(),2(1)2()(1)(),2()kkkkzzkzakzazzazzkkzakkzazzak kzk ka zkzakzazzak kzakzaza 6 序列()km若()(),f kF z az，且有整数m，且0km，则1()()mmZf kFZdkm ()()Zf kFdk7 k 域反转若()(),f kF z az则111()(),fkF zza8 部分和若()(),f kF z az则()()(),max(,1)1kizg kf iF zazz第七章第七章 系统函数系统函数71系统函数的零点与极点对于连续系统1111011101()()()()()mmjmmjmmnnnniibsb sbsbsbB sH sA ssasa saspLL js为零点 isp为极点对离散系统江西科技师范大学 通信与电子学院 16/17江西科技师范大学 通信与电子学院1111011101()()()()()mmjmmjmmnnnniibzb zbzb zbB zH zA zzaza zazpLL零点 极点同上。系统函数与时域响应结论：1.H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的。当 t时，响应趋近于零。极点全部在左半开平面的系统（因果）是稳定的系统。2.H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变化。H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或右半开平面 上的极点，其所对应的响应函数都随 t 的增长而增大。当 t时，响应趋于无限大。这样的系统是不稳定的。离散系统结论：1.H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列都是衰减的，当 k 趋于无限时，响应趋于零。极点全部在单位圆内的系统(因果）是稳定系统。2.H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应序列的幅度不随 k 变化。3.H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上极点或在单位圆外的极点，其所对应的响应序列都随 k 的增大 而增大，当 k 趋于无限时，它们都趋近于无限大。这样的系统是不稳定的。72 系统的稳定性系统因果性因果系统指的是系统的零状态响应()fy不出现于激励()f 之前的系统。也就是说如果()0,()0ftk 或系统的零状态响应都有 ()0,()0fytk 或就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。连续因果系统的充分和必要条件是：冲激响应 ()0,0h tt或者，系统函数()H s的收敛域为0Re s离散因果系统的充分和必要条件是：()0,0h kk或者，系统函数()H z的收敛域为0z系统的稳定性连续（因果）系统的稳定性准则连续因果系统的稳定准则也称为罗斯-霍尔维兹准则江西科技师范大学 通信与电子学院 17/17江西科技师范大学 通信与电子学院连续系统的系统函数()()()B sH sA s，其中1110()nnnnA sa sasa saL所有的根均在左半开平面的多项式称为霍尔维 兹多项式。判断多项式是否为霍尔维兹多项式的步骤：1、判断多项式 ()A s 的所有系数(0,1,2,)ia inL是否大 于 0。如果 ()A s 的任何一个（或多个）系数为零或负值，那么它就不是霍尔维兹多项式，也就不需要进一步 研究。但是，即使所有的系数ia 都是正数，()0A s 也可能还有右半开平面（或虚轴）上的根，因此还 需进一步检验。2、若所有系数ia 均大于 0，用罗斯准则进一步判断。2413513513512341nnnnnnnnnnnnaaaaaacccdddnLLLLLLLLLLLLL行罗斯阵列 有13121nnnnnnaaaaac15143nnnnnnaaaaac 131311nnnnnncccaad 151513nnnnnncccaad罗斯准则：多项式()A s是霍尔维兹多项 式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大 于零。离散(因果）系统的稳定性准则-朱里准则（略）