222完全平方公式.pptx

回顾与思考公式的结构特征公式的结构特征公式的结构特征公式的结构特征:左边是左边是左边是左边是a2 b2;两个二项式的乘积两个二项式的乘积两个二项式的乘积两个二项式的乘积,平平方方差差公公式式应用平方差公式的注意事项应用平方差公式的注意事项:对于对于对于对于一般一般一般一般两个二项式的积两个二项式的积两个二项式的积两个二项式的积,看准有无相等的看准有无相等的看准有无相等的看准有无相等的“项项项项”和符和符和符和符号相反的号相反的号相反的号相反的“项项项项”;仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。才能使用平方差公式。才能使用平方差公式。才能使用平方差公式。回顾回顾&思考思考(a+b)(ab)=即即即即两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积.右边是右边是右边是右边是 两数的平方差两数的平方差两数的平方差两数的平方差.弄清在什么情况下才能使用平方差公式弄清在什么情况下才能使用平方差公式弄清在什么情况下才能使用平方差公式弄清在什么情况下才能使用平方差公式:在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定a a和和和和b b、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边,做做做做到不弄错符号、到不弄错符号、到不弄错符号、到不弄错符号、当第一当第一当第一当第一(二二二二)数是乘积且被平方时数是乘积且被平方时数是乘积且被平方时数是乘积且被平方时 要注意添括要注意添括要注意添括要注意添括号号号号,是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。完完 全全 平平 方方 公公 式式一块边长为一块边长为a a米的正方形实验田，米的正方形实验田，做一做做一做图图图图1 1 6 6a 因需要将因需要将因需要将因需要将其边长增加其边长增加其边长增加其边长增加 b b 米。米。米。米。形成四块形成四块形成四块形成四块实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种(如图如图如图如图1 1 6 6).).你能用不同的形式表示实你能用不同的形式表示实你能用不同的形式表示实你能用不同的形式表示实验田的总面积验田的总面积验田的总面积验田的总面积,并进行比较并进行比较并进行比较并进行比较.abb法一法一法一法一 直直直直接接接接求求求求总面积总面积总面积总面积=(a+b)；2 2法二法二法二法二间间间间接接接接求求求求总面积总面积总面积总面积=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.你发现了什么你发现了什么你发现了什么你发现了什么?探索探索:2公式公式:完全平方公式 动脑筋动脑筋(1)(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?想一想想一想想一想想一想(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=推证推证推证推证(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(2)(2)a2 2ab+b2.小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式:(ab)2=a+(b)2(ab)2=她是怎么想的她是怎么想的她是怎么想的她是怎么想的?利用两数和的利用两数和的利用两数和的利用两数和的完全平方公式完全平方公式完全平方公式完全平方公式推证公式推证公式推证公式推证公式(a a b b)2 2=a a+(b b)2 2=2 2 +2 2 +2 2 a aa a(b b)(b b)=a a2 22 2a ab b b b2 2.+你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗?的证明的证明 初 识 完全平方 公式(a+b)2=a2+2ab+b2 .(ab)2=a22ab+b2.a aa ab bb ba2ababb2结构特征结构特征结构特征结构特征:左边是左边是左边是左边是的平方的平方的平方的平方;二项式二项式二项式二项式右边是右边是右边是右边是a2 +b2 a2 +b2(两数和两数和两数和两数和 )(差差差差)(a a+b b)2 2=a a2 2 a ab b b b(a a b b)=a a2 222a ab b+b b2 2.=(a a b b)2 2a a b ba a b ba aa aa ab bb b(a a b b)b bb b(a a b b)2 2a a2 2+2 2a ab b+b b2 2a+bab两数的平方和两数的平方和两数的平方和两数的平方和+加上加上加上加上(减去减去减去减去)2ab2ab这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.(a a b b)2 2=a a2 2 2 2a ab b+b b2 2几几几几何何何何解解解解释释释释:用自己的语用自己的语用自己的语用自己的语言叙述上面言叙述上面言叙述上面言叙述上面的公式的公式的公式的公式语言表述语言表述语言表述语言表述:两数和两数和两数和两数和 的平方的平方的平方的平方 等于等于等于等于这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和 加上加上加上加上 这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.22(ab)2=a22ab+b2(差差差差)(减去减去减去减去)(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方公式完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2两数和 的平方，等于这两数的平方和，加上 这两数的积的2倍。（或差）（或减去）口决：口决：首首平方平方，尾，尾平方平方，首尾积，首尾积二倍二倍放中央放中央结构特征结构特征：(首首 尾尾)=首首 2首首尾尾+尾尾是是 与与 和的平方和的平方=（）+（）（）（）+（）是是 与与 差的平方差的平方=（）（）（）（）+（）填空：X2yx2y22X5y2 2x5y(a+b)a+b)=a a+2 2ab+bab+b (ab)ab)=a a-2 2ab+bab+b=(4x)2+2(4x)(5y)+(5y)2=4x2-12x+9=m2n2-2mna+a(3)(mn-a)(2)(2x-3)=16x+40 xy+25y例例1：(1)（4x+5y)代数式代数式首首尾尾中间中间符号符号完全平方公式完全平方公式(a+3)2()2_2()()+()2(y-1/2)2()2_2()()+()2(-2s+t)2()2_2()()+()2(-3x-4y)2()2_2()()+()2-+-结论结论*首尾平方总得正首尾平方总得正；*中间符号看中间符号看首尾首尾，同号得得正正，异号得得负负*中间中间两倍两倍 要记牢要记牢a3y-2s t-3x 4ya3a+3yy-2s-2s tt+-3x-3x 4y4y-例例2:用完全平方公式计算用完全平方公式计算(1)(-2s+t)2(2)(-3x-4y)2=(-2s)2+2(-2s)t+t=(-3x)2-2(-3x)(4y)+(4y)=4s2-4st+t2=9x2+24xy+16y 活动活动5计算下列各式计算下列各式(1)(p+1)2=_；(2)(m+2)2=_;(3)(p1)2 =_;(4)(m2)2=_.p2+2p+1m2+4m+4p22p+1m24m+4 讨论讨论：1.(x-2y)(-2y+x)2.(1-2x)(-2x-1)解：解：注意注意平方差平方差公式和公式和完全平方完全平方公式的区别公式的区别.(-a+b)(a-b)判断正误，并改正判断正误，并改正(1)(a+b)=a+b (2)(a b)=a-b (3)(a+2 b)=a+2 ab+2 b填空：（填空：（1）a+b+_=(a+b)（2）a+b+_=(a b)（3)x+4xy+4 y=(_)(4)x-4xy+4 y =(_)a2+2ab+b2a2-2ab+b2442ab(-2ab)x+2yx-2y(a b)2=a22ab+b2(a+b)2与与(-a-b)2相等吗？相等吗？(a-b)2与与(b-a)2呢？呢？(a+b)2=a2+2ab+b2(-a-b)2=(-a)2-2(-a)b+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 =100=1002 2+2+21001002+22+22 2 (2)99(2)992 2=(100-1)=(100-1)2 2解解:(1)102(1)1022 2=(100+2)=(100+2)2 2=10000+400+4=10404=10000+400+4=10404=100=1002 2-2-21001001+1+12 2应用应用:用完全平方公式计算用完全平方公式计算(1)102(1)1022 2;(2)99;(2)992 2=10000-200+1=39801=10000-200+1=39801(a b)2=a22ab+b2练习：练习：19139/420.5纠 错 练 习 指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)(1)(2(2a a1)1)2 22 2a a2 222a a+1;1;(2)(2)(2(2a a+1)1)2 24 4a a2 2+1 1；(3)(3)(a a 1)1)2 2 a a2 2 2 2a a 1.1.解解解解:(1)(1)(1)(1)第一数第一数第一数第一数被被被被平方平方平方平方时时时时,未添括号未添括号未添括号未添括号;第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2 2 2倍倍倍倍 少乘了一个少乘了一个少乘了一个少乘了一个2 2 2 2;应改为应改为应改为应改为:(2(2a a1)1)2 2 (2 2a a)2 222 2 2a a 1+1;1+1;(2)(2)(2)(2)少了少了少了少了第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2 2 2倍倍倍倍 (丢了一项丢了一项丢了一项丢了一项);应改为应改为应改为应改为:(2(2a a+1)1)2 2 (2 2a a)2 2+2 2 2 2a a 1 1 +1;+1;(3)(3)(3)(3)第一数平方第一数平方第一数平方第一数平方未添括号未添括号未添括号未添括号,第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2 2 2倍倍倍倍 错了符号错了符号错了符号错了符号;第二数的平方第二数的平方第二数的平方第二数的平方 这一项这一项这一项这一项错了符号错了符号错了符号错了符号;应改为应改为应改为应改为:(a a1)1)2 2(a a)2 222(a a)1 1+1 12 2;拓 展 练 习 下列等式是否成立下列等式是否成立下列等式是否成立下列等式是否成立?说明理由说明理由说明理由说明理由(1)(1)(4a4a+1)1)2 2=(1=(1 4a)4a)2 2；(2)(2)(4a4a 1)1)2 2=(4a=(4a+1)1)2 2；(3)(3)(4a(4a 1)(11)(1 4a)4a)(4a(4a 1)(4a1)(4a 1)1)(4a(4a 1)1)2 2；(4)(4)(4a(4a 1)(1)(1 1 4a)4a)(4a(4a 1)(4a1)(4a+1).1).(1)(1)由加法交换律由加法交换律由加法交换律由加法交换律 4a4a+l ll l 4a4a。成立成立成立成立理由理由理由理由:(2)(2)4a4a 1 1 (4a+1)(4a+1)，成立成立成立成立(4a4a 1)1)2 2 (4a(4a+1)1)2 2(4a+1)(4a+1)2 2.(3)(3)(1(1 4a)4a)(1 1+4a)4a)不成立不成立不成立不成立即即即即 (1(1 4a)4a)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)1)，(4a(4a 1)(11)(1 4a)4a)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)(4a1)(4a 1)1)(4a(4a 1)1)2 2。不成立不成立不成立不成立(4)(4)右边应为右边应为右边应为右边应为:(4a(4a 1)(4a+1)1)(4a+1)。拓展提高拓展提高：如果多项式如果多项式x+kx+25是完全平方式，是完全平方式，求求k的值的值填空：若多项式填空：若多项式m+km+36是完全是完全平方式，则平方式，则k=_12K=10完全平方公式完全平方公式(a+b)=a+2ab+b (a b)=a-2ab+b结构特征结构特征：(首首 尾尾)=首首 2 首首尾尾+尾尾口诀口诀：首首平方平方，尾，尾平方平方，首尾积，首尾积二倍二倍放中央放中央步骤步骤（1）确定首尾，分别平方）确定首尾，分别平方 （2）确定中间系数与符号）确定中间系数与符号完全平方公式完全平方公式(a+b)=a+2ab+b (a b)=a-2ab+b结构特征结构特征：(首首 尾尾)=首首 2 首首尾尾+尾尾口诀口诀：首首平方平方，尾，尾平方平方，首尾积，首尾积二倍二倍放中央放中央步骤步骤（1）确定首尾，分别平方）确定首尾，分别平方 （2）确定中间系数与符号）确定中间系数与符号1.运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算:(1)(x+6)2;(2)(y5)2;(3)(2x+5)2 (4)(x y)22.判断判断(1)(a+b)2=a2+b2;(2)(ab)2=a2b2.练习练习(a b)2=a22ab+b2运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算(1)(x+6)2(2)(y-5)2(3)(-2x+5)2(4)()2已知已知x+y=8，xy=12，求，求x2+y2的值的值利用完全平方公式计算(1)(2x+3)2 (2)(mn-a)2（3）(-x+2y)2 (4)(-x-y)2 (6)(x+y)2-(x-y)2(9)1022 (10)1972作作 业业(7)(x 2y)2 (8)(2xy+x)2 (5)(n+1)2 n2.活动与探究活动与探究1.已知已知x+y=8 xy=12 求求x2+y2的值。的值。2.已知已知x2-2x+y2+6y+10=0 求求x+y的值。的值。3.已知已知 a=2002x+2001 b=2002x+2002 c=2002x+2003 求求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值的值习题包A:(3x-1)2=(3x)2-2(3x)()+()2 =9x2-6x+1B:(x+2)2=x2-kx+4 那么 k的值是()A.-2 B.2 C.-4 D.4C:不论x为何值(x+a)2=x2+x+a2则常数a等于().A.2 B.-2 C.1/2 D.-1/2D:若m2+km+36是一个完全平方式，则常数k=_.本节课你的收获是什么？注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同形式不同形式不同形式不同结果不同：结果不同：结果不同：结果不同：完全平方公式的结果完全平方公式的结果完全平方公式的结果完全平方公式的结果 是三项，是三项，是三项，是三项，即即即即 (a(a b)b)2 2a a2 2 2ab2ab+b b2 2;平方差公式的结果平方差公式的结果平方差公式的结果平方差公式的结果 是两项，是两项，是两项，是两项，即即即即 (a(a+b)(ab)(a b)b)a a2 2 b b2 2.有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为的条件，即为的条件，即为的条件，即为“两数和两数和两数和两数和(或差或差或差或差)的平方的平方的平方的平方”，然后应用公式计算，然后应用公式计算，然后应用公式计算，然后应用公式计算.在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定a a和和和和b b、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边,做到不做到不做到不做到不丢项、不弄错符号、丢项、不弄错符号、丢项、不弄错符号、丢项、不弄错符号、2 2abab时不少乘时不少乘时不少乘时不少乘2 2；第一；第一；第一；第一(二二二二)数是数是数是数是乘积被平方乘积被平方乘积被平方乘积被平方时要注意添括号时要注意添括号时要注意添括号时要注意添括号,是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键(三)课后习题课后习题 1.选择题.(1)下列等式中正确的是().A.(a-1/2b)=a-2ab+1/4b B.(m-1/2n)=m+1/4n C.(m-a+b)=m-a+b D.(1/2a+1/2b)=1/4a+1/2ab+1/4b (2)下列等式中错误的是().A.(a+c)(a-c)=a-c B.(2-c)=4+c C.(a+n)=a+2an+n D.(m+n-p)=m+n+p+2mn-2mp-2np(3)已知x-2x+1=0,则x的值是()A.1 B.2 C.3 D.4(4)已知4a+12ab+m是一个完全平方式,则m的值是()A.16 B.9 C.9b D.16b(5)已知a-m+9b是一个完全平方式,则m的值是()A.6 B.2ab C.6b D.6ab2.(1)已知a+b=7,a-b=2,求 ab的值.(2)已知m+2mn+n=(m-n)+B,求 B.(3)已知a+b=5,ab=6,求:a-ab+b,a+b(4)已知m-24xy+4y是一个完全平方式,求 m.(5)已知a+b=(a+b)-A,求 A.3.填空题.(1)a+()+16=()(2)x-6x+()=()(3)()+4x+1=()(4)ab-()+25=()(5)计算(1+2m)=(6)计算(-a-b)=(7)计算(4b-3a)=(8)计算(a+b)(-a-b)=(9)(a-4)=(10)1003=(11)()-14ab+49b=()（12）x+()+121=()4.计算 (1)(a+b)-(a-b)=(2)4a-(2a+1)=(3)(1+2a)(1-2a)=(4)(m+2)-(m-2)=（5）(x+3)2-x2 （7）(a+b+3)(a+b-3)(9)(x+5)2-(x-2)(x-3)(6)x2-(x-3)2 ;(8)(a-b-3)(a-b+3)(10)(a+b+3)(a-b+3)(11)(ab+1)2-(ab-1)2;5.解答题解答题.(1)已知已知(3y-2)-(3y+2)=48,求求 y.(2)已知已知 a+4a+b-6b+13=0,求求 a+b。