222等差数列前n项和公式.pptx

复习巩固2.等差数列的通项公式是：（1）an=a1+(n1)d,(nN*)3.等差数列的项的运算性质是：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq1.等差数列的公式定义是：（2）an=am+(nm)d,(n,kN*).an为等差数列 an+1-an=d.新课学习学习任务：根据等差数列an的首项a1，项数n，第n项an，求前n项和Sn的计算公式.请看两个具体实例：实例11.高斯在小学计算“1+2+3+100”的故事，大家都熟悉，其运算过程是怎样的呢？显然这是一个正整数数列an的前100项的和高斯巧算：S=1 +2 +3 +98 +99 +100S=100+99 +98+3 +2 +1+2S=101+101+101+101+101+101 S=5050实例2 如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各层的钢管数组成等差数列4,5,6,7,8,9,10,11，求钢管的总数.共 层每层 根158问题即求和：Sn=4+5+6+7+8+9+10+11S8=4+5+6+7+8+9+10+11S8=11+10+9+8+7+6+5 +42S8=(4+11)+(5+10)+(6+9)+(7+8)+(9+6)+(10+5)+(11+4)S8=60.公式推导通过以上两例的讨论，自己能推导等差数列的前n项和Sn的计算公式吗？Sn=a1 +a2 +an1 +anSn=an +an1+a2 +a1两式相加，得2Sn=(a1+an)+(a2+an1)+(an+a1)而 a1+an=a2+an1 =an+a12Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an )=n(a1+an)Sn=求和公式求和公式等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字语言；）公式的文字语言；（2）公式的特点；）公式的特点；不含不含d可知三可知三求一求一等差数列的等差数列的前前n项和等项和等于于首末两项首末两项的和与项数的和与项数乘积的一半乘积的一半。公式应用公式应用 例1 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550等差数列的前n项和练习11.根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列 的的练习2：计算（1）5+6+7+79+80（2）1+3+5+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+（2n-1）-2n-nn23230提示：提示：n=76法二：法二：例例2 2 在等差数列在等差数列aan n 中，中，已知已知 ，求，求S S7.7.例例3求集合求集合 的元素个的元素个数，数，并求这些元素的和并求这些元素的和.解：解：由由 得得正整数正整数 共有共有14个即个即 中共有中共有14个元素个元素即：即：7，14，21，98 是以是以 为首项，为首项，以以 为末项的等差数列为末项的等差数列.课堂练习课堂练习答案答案:27练习练习1、练习练习2、等差数列10，6，2，2，的前_项的和为54？答案答案:n=9，或，或n=-3（舍去）（舍去）仍是仍是知三知三求一求一练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为187，求n.课堂练习课堂练习n=11提示：提示：a1+a2+a3+a4=26an+an-1+an-2+an-3=110a1+an=34课堂小结课堂小结 1 1等差数列前等差数列前n n项和的公式；项和的公式；2 2等差数列前等差数列前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法倒序相加法；倒序相加法；3.3.在两个求和公式中在两个求和公式中,各有五个元素各有五个元素,只只要知道其中三个元素要知道其中三个元素,结合通项公式就可求结合通项公式就可求出另两个元素出另两个元素.（两个）（两个）等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式:形式形式1:1:形式形式2:2:复习回顾复习回顾 1.1.将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？当当d00时时,S,Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数则则 Sn=An2+Bn令令例题分析解：解法一故前13项之和最大，最大值是169等差数列的前等差数列的前n项和的最值问题项和的最值问题解法二：0 9 13 17 xy习习1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得 d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.习习1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20,S13013a1+136d0等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质(2)Sn图象的对称轴为图象的对称轴为由由(1)知知由上得由上得即即由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.n【答案】Bn【答案】Bn【答案】11 1、结合二次函数图象和性质求、结合二次函数图象和性质求 的最值的最值.2.等差数列前等差数列前n项和性质：项和性质：性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数也在等差数列列,公差为公差为n2d性质性质2:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则