23等差数列的前n项和1总结.pptx

复习引入复习引入1.等差数列定义：等差数列定义：即即anan1 d(n2).2.等差数列通项公式：等差数列通项公式：(1)ana1(n1)d(n1).(2)anam(nm)d.(3)anpnq(p、q是常数是常数)复习引入复习引入3.几种计算公差几种计算公差d的方法的方法:复习引入复习引入4.等差中项等差中项成等差数列成等差数列.mnpq amanapaq.(m，n，p，qN)5.等差数列的性质等差数列的性质复习引入复习引入6.数列的前数列的前n项和：项和：称为数列称为数列aan n 的前的前n n项和，记作项和，记作S Sn n，那么，那么S Sn n1 1表示什么？表示什么？a an n，S Sn n，S Sn n1 1三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？7.7.数列的通项公式能反映数列的基本特数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前性，在实际问题中常常需要求数列的前n n项和项和.对于等差数列，为了方便运算，我对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题研究的课题.复习引入复习引入高斯（高斯（Gauss,17771855），），德国著名数学家，他研究的内德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为的巨星，被誉为“数学王子数学王子”.有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的现了一个堆放铅笔的V形架，形架，V形架的最下面一层放形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一都比它下面一层多放一支，最上面一层放支，最上面一层放100支支.老师问：高斯，你知道这老师问：高斯，你知道这个个V形架上共放着多少支铅笔吗？形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景创设情景问题就是：问题就是：计算计算1 2 3 99 100高斯的算法高斯的算法计算：计算：1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾首尾配对配对相加相加法法中间的一中间的一组数是什组数是什么呢？么呢？问题呈现 泰泰姬姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为为纪纪念念其其爱爱妃妃所所建建，她她宏宏伟伟壮壮观观，纯纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶镶饰饰，图图案案之细致令人叫绝。之细致令人叫绝。传传说说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图图案案，以以相相同同大大小小的的圆圆宝宝石石镶镶饰饰而而成成，共共有有100100层层（见见左左图图），奢奢靡靡之之程程度，可见一斑。度，可见一斑。你你知知道道这这个个图图案案一一共共花花了了多多少少宝宝石吗？石吗？探究发现问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？探究发现问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。探究发现问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？123212120191获得算法：探究了以上两个实探究了以上两个实际问题的求和，我际问题的求和，我们对数列求和有了们对数列求和有了一定的认识，那么一定的认识，那么能否将能否将“倒序相加倒序相加法法”推广到任意一推广到任意一个等差数列呢？个等差数列呢？这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：和，很有创意，用数学式子表示就是：1+2+3+4+2121+20+19+18+1对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序）式子恰好是倒序）这实质上是我们数学中一种求和的重要方法这实质上是我们数学中一种求和的重要方法倒序相加法倒序相加法若若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层一层都比它下面一层多放一支，最上面多放一支，最上面一层有很多支铅笔，一层有很多支铅笔，老师说有老师说有n支。问：支。问：这个这个V形架上共放形架上共放着多少支铅笔？着多少支铅笔？创设情景创设情景问题就是：问题就是：1 2 3 (n-1)n若用首尾配对相加法，需要分类讨论若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形三角形平行四平行四边形边形n (n-1)(n-2)2 1倒序相加法倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前前n项和项和呢？前前n项和项和分析：这分析：这其实是求其实是求一个具体一个具体的等差数的等差数列前列前n项项和和.问题分析问题分析已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项数，项数是是n，第，第n项为项为an，求前求前n项和项和Sn.如何才能将如何才能将等式的右边等式的右边化简？化简？求和公式求和公式等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字语言；）公式的文字语言；（2）公式的特点；）公式的特点；不含不含d可知三可知三求一求一等差数列的等差数列的前前n项和等项和等于于首末两项首末两项的和与项数的和与项数乘积的一半乘积的一半。想想一一想想 在等差数列在等差数列在等差数列在等差数列 aan n 中，如果已知五中，如果已知五中，如果已知五中，如果已知五个元素个元素个元素个元素 a a1 1,a,an n,n,d,S,n,d,Sn n 中的任意三个中的任意三个中的任意三个中的任意三个,请问请问请问请问:能否求出其余两个量能否求出其余两个量能否求出其余两个量能否求出其余两个量?结论：知结论：知结论：知结论：知 三三三三 求求求求 二二二二公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.na1an公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.公式应用公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550例1、计算（1）5+6+7+79+80（2）1+3+5+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+（2n-1）-2n-n例题讲解例题讲解n23230提示：提示：n=76法二：法二：例例2 2 在等差数列在等差数列aan n 中，中，已知已知 ，求，求S S7.7.例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解 例例3 3、20002000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中小关于在中小学实施学实施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市据此提出了实，某市据此提出了实施施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万元。万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加上一年增加5050万元。那么，从万元。那么，从20012001年起的未来年起的未来1010年内，年内，该市在该市在“校校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？分析：分析：找关键句；找关键句；求什么，如何求；求什么，如何求；解：由题意，该市在解：由题意，该市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的资金构成等差数列的资金构成等差数列an，且，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来故，该市在未来10年内的总投入为：年内的总投入为：答答变式练习变式练习 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺块，往下每一层多铺1块，块，斜面上铺了斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列片数构成等差数列an，且，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：于是，屋顶斜面共铺瓦片：答：屋顶斜面共铺瓦片答：屋顶斜面共铺瓦片570块块.例例4求集合求集合 的元素个的元素个数，数，并求这些元素的和并求这些元素的和.解：解：由由 得得正整数正整数 共有共有14个即个即 中共有中共有14个元素个元素即：即：7，14，21，98 是以是以 为首项，为首项，以以 为末项的等差数列为末项的等差数列.例题讲解例题讲解 例例5:5:在等差数列在等差数列aan n 中，中，已知已知 ，求，求S S7.7.补补 例例练习:已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为187，求n.课堂练习课堂练习答案答案:27练习练习1、练习练习2、等差数列10，6，2，2，的前_项的和为54？答案答案:n=9，或，或n=-3（舍去）（舍去）仍是仍是知三知三求一求一1010课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习-110知识打包 存放备用an=a1+(n-1)d对于对于Sn、an、a1、n、d 五个量，五个量，“知三求二知三求二”.方程方程(组组)思想思想(待定系数法待定系数法)倒序求和法倒序求和法 掌握与应用掌握与应用课堂小结课堂小结 1 1等差数列前等差数列前n n项和的公式；项和的公式；2 2等差数列前等差数列前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法倒序相加法；倒序相加法；3.3.在两个求和公式中在两个求和公式中,各有五个元素各有五个元素,只只要知道其中三个元素要知道其中三个元素,结合通项公式就可求结合通项公式就可求出另两个元素出另两个元素.上页上页下页下页（两个）（两个）课堂练习课堂练习