等差数列前n项和公式.ppt

天津市木斋中学 高一数学 王珏等差数列前等差数列前n项和公式和公式人教版必修五人教版必修五2.31.复习回顾(1)等差数列的通等差数列的通项公式公式:已知首已知首项a1和公差和公差d,则有有:an=a1+(n-1)d 已知第已知第m项am和公差和公差d,则有有:an=am+(n-m)d (2)等差数列的性等差数列的性质:在等差数列在等差数列 an 中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN*),那么那么:am+an=ap+aq2.泰泰姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为纪念念其其爱妃妃所所建建，她她宏宏伟壮壮观，纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶饰，图案案之之细致致令令人叫人叫绝。传说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图案案，以以相相同同大大小小的的圆宝宝石石镶饰而而成成，奢奢靡靡之之程程度度，可可见一斑。一斑。你知道你知道这个个图案一共花了多少宝石案一共花了多少宝石吗？问题呈呈现 问题13.问题1：图案中，第案中，第1层到第到第21层一共有一共有多少多少颗宝石？宝石？借助几何借助几何图形之形之直直观性，使用熟悉的性，使用熟悉的几何方法：把几何方法：把“全等全等三角形三角形”倒置，与原倒置，与原图补成平行四成平行四边形。形。探究探究发现4.探究探究发现问题1：图案中，第案中，第1层到第到第21层一共有一共有多少多少颗宝石？宝石？123212120191获得算法：得算法：5.问题2 一个堆放一个堆放铅笔的笔的V形架形架的最下面一的最下面一层放一支放一支铅笔，往上每一笔，往上每一层都比它都比它下面一下面一层多放一支，最多放一支，最上面一上面一层放放100支支.这个个V形架上共放着多少支形架上共放着多少支铅笔？笔？问题就是就是 求求“1+2+3+4+100=？”6.问题2：对于于这个个问题，德国著名数学家高斯，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的曾很快求出它的结果。（你知道果。（你知道应如何算如何算吗？）？）这个个问题，可看成是求等差数列，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的和。的和。假设1+2+3+100=x,(1)那么100+99+98+1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101+101=2x,100个101所以x=5050.高斯高斯7.问题3:求求:1+2+3+4+n=?记:S=1+2 +3 +(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+3 +2 +18.设等差数列等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序若把次序颠倒是倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2)由等差数列的性由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2)得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即即 下面将下面将对等差数列的前等差数列的前n项和公式和公式进行推行推导n个a1+an倒序相加法倒序相加法9.由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式和的公式即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于的和等于首末首末项的的和和与与项数数乘乘积的一半。的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成由等差数列的通由等差数列的通项公式公式an=a1+(n-1)d解解题时需根据已知条件决定需根据已知条件决定选用哪个公式。用哪个公式。正所谓：知三求二10.【公式公式记忆】用用梯梯形形面面积公公式式记忆等等差差数数列列前前n n项和和公公式式，这里里对图形形进行行了了割割、补两两种种处理理，对应着着等等差差数数列列前前n项和的两个公式和的两个公式.等差数列的前等差数列的前n项和公式和公式类同于同于 ；梯形的面梯形的面积公式公式（补成平行四成平行四边形形）11.例例1 某某长跑运跑运动员7天里每天的天里每天的训练量（量（单位：位：m）是：是：7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500这位运位运动员7天共跑了多少米？天共跑了多少米？解解：这位位长跑运跑运动员每天的每天的训练量成等差数列，量成等差数列，记为an,其中其中 a1=7500,a7=10500.根据等差数列前根据等差数列前n项和公式，得和公式，得答：答：这位位长跑运跑运动员7天共跑了天共跑了63000m.12.例例2 等差数列等差数列-10，-6，-2，2，前多少前多少项的和是的和是54？本本题实质是反用公式，解一是反用公式，解一个关于个关于n 的一元二次函数，注的一元二次函数，注意得到的意得到的项数数n 必必须是正整数是正整数.13.解解：将：将题中的等差数列中的等差数列记为an，sn代表代表该数列数列 的前的前n项和，和，则有有a1=10,d=6(10)=4 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式：和公式：解得解得n1=9,n=3(舍去舍去)因此等差数列因此等差数列10,6,2,2，前，前9项的和是的和是54.设该数列前数列前n 项和和为544=54成立成立14.1.推推导等差数列前等差数列前 n项和公式的方法和公式的方法小小结：2.公式的公式的应用中的数学思想用中的数学思想.-倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想3.公式中五个量公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个-知三求二知三求二15.16.