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自考高数教案

资料仅供参考
第1章 函数、极限与连续
教学过程

§1--1 初等函数
一、 基本初等函数
我们把幂函数y=xa(aÎR)、指数函数y=ax(a>0且a¹1)、对数函数y=logax(a>0且a¹1)、三角函数y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=secx, y=cscx和反三角函数y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx统称为基本初等函数．很多时候也把多项式函数y=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0看作基本初等函数．

二、 复合函数

定义1 如果y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=j(x)，且j(x)的值域与y=f(u)的定义域的交非空，那么，y经过中间变量u的联系成为x的函数，我们把这个函数称为是由函数y=f(u)与u=j(x)复合而成的复合函数，记作y=f[j(x)]．
学习复合函数有两方面要求：一方面，会把几个作为中间变量的函数复合成一个函数，这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程；另一方面，会把一个复合函数分解为几个较简单的函数，这些较简单的函数往往是基本初等函数或是基本初等函数与常数的四则运算所得到的函数．
例1 已知y=lnu, u=x2，试把y表示为x的函数．
解 y=lnu=lnx2, xÎ(-¥,0)È(0,+¥)．
例2 设y=u2, u=tanv, v=，试把y表示为x的函数．
解 y=u2=tan2v=tan2．
复合函数的中间变量能够不限于一个．
例3 函数y=esinx是由哪些简单函数复合而成的？
解 令u=sinx，则y=eu，故y=esinx是由y=eu, u=sinx复合而成的．
例4 函数y=tan3（2lnx+1）是由哪些初等函数复合而成的？
解 令u=tan（2lnx+1），则y=u3；再令v=2lnx+1，则u=tanv.
故y=tan3（2lnx+1）是由y=u3, u=tanv, v=2lnx+1复合而成的．

三、 初等函数

定义2 由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次复合而成的，而且能用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：

等都是初等函数．
例5 分解．
解 令u=sin(1+3x2)，得y=eu；再令v=1+3x2，得u=sinv．
故是由y=eu, u=sinv, v=1+3x2复合而成的
定义3 设a,, >0,数集 x| |x-a|< ,x R,即实数轴上和a点的距离小于的点的全体，称为点a的邻域，记作U（a,）,点a与数分别称为这邻域的中心和半径．有时用U（a）表示点a的一个泛指的邻域．数集x|0<|x-a|<,x R ,称为点的空心邻域，记作．
U（a,）=(a-,a+)，

小结
作业

§1--2 极限
一、 数列的极限
两个数列：
(1)
(2)
在数轴上表示．
O
x
O
x

1
1

数列(1)中的项无限趋近于0，数列(2)中的项无限趋近于1．
定义 1 当数列{an}的项数n无限增大时，如果an无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称这个数列存在极限A，记作=A．读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A”．符号“”表示“趋向于”，“¥”表示“无穷大”，“n®¥”表示“n无限增大”．有时也记作当n®¥时，an®A，或an®A, (n®¥)．
若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛；若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散．
注意：(1)一个数列有无极限，应该分析随着项数的无限增大，数列中相应的项是否无限趋近于某个确定的常数，如果这样的数存在，那么这个数就是所论数列的极限，否则数列的极限就不存在．
(2)常数数列的极限都是这个常数本身．
二、 函数的极限
自变量x的变化过程：
(1)x的绝对值|x|无限增大(记作x®¥)；
(2)x无限接近于某一值x0，或者说x趋向于x0 (记作x®x0)．
1.当x®¥时函数f(x)的极限
x®¥包含以下两种情况：
(1)x取正值，无限增大，记作x®+¥；
(2)x取负值，它的绝对值无限增大(即x无限减小)，记作x®-¥．
若x不指定正负，只是|x|无限增大，则写成x®¥．
1
x
y
O
1

例1 讨论函数+1当x®+¥和x®-¥时的变化趋势．
解 作出函数+1的图像．
当x®+¥和x®-¥时，+1®1，因
此当x®¥时，+1®1．
定义 如果当|x|无限增大(即x®¥)时，函数f(x)无限
地趋近于一个确定的常数A，那么就称f(x)当x®¥ 时存
在极限A，称数A为当x®¥时函数f(x)的极限，记作
类似地，如果当x®+¥(或x®-¥)时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称f(x)当x®+¥(或x®-¥) 时存在极限A，称数A为当x®+¥(或x®-¥)时函数f(x)的极限．记作
．
1
x
y
O
1

y=2x
y=()x
例2 作出函数y=()x和y=2x的图像，并判断下列极限：
(1) ()x；(2) 2x．
解 (1) ()x =0；
(2)2x =0．
例3 讨论下列函数当x®¥时的极限：
1
x
y
O

y=1+
(1)y=1+；(2)y=2x．
解： (1)当x®+¥时，y=1+®1；
当x®-¥时，y=1+®1．
因此，当|x|无限增大时，函数y=1+

无限地接近于常数1，即
(1+)=1．
(2) 当x®+¥时，y=2x®+¥；
当x®-¥时，y=2x®0．
因此，当|x|无限增大时，函数y=2x不可能无限地趋近某一个常数，即
2x不存在．
结论：当且仅当f(x)和f(x)都存在而且相等为A时，f(x)存在为A，即
f(x)=A Û f(x)=f(x) =A．

2.当x®x0时，函数f(x)的极限
x®x0包含以下两种情况：
(1)x®表示x从大于x0的方向趋近于x0；
(2) x®表示x从小于x0的方向趋近于x0．
2
x
y
O

y=x+1
1
1
·
2
3
·
记号x®x0表示x无限趋近于x0，对从哪个方向趋近没有限制．
例4 讨论当x®2时，函数y=x+1的变化趋势．
解　作出函数y=x+1的图像．
不论x从小于2的方向趋近于2，或者从大于2的方向
趋近于2，函数y=x+1的值总是随着自变量x的变化从
两个不同的方向愈来愈接近于3 ，因此说
当x®2时y=x+1®3．
例5 讨论当x®1时，函数y=的变化趋势．
2
x
y
O

y=
1
1
2
3
解　作出函数y=的图像．
函数的定义域为(-¥, 1)È(1, ¥)，在x=1处函数没有定义，
x不论从大于1或从小于1两个方向趋近于1时，函数
y=的值是从两个不同方向愈来愈接近于2的．我们研
究当x趋近于1函数y=的变化趋势时，并不计较函数
在x=1处是否有定义，而仅关心函数在x=1的邻近（x）的函数值的变化趋势，也即我们认为在x®1时隐含一个要求：x¹1．因此，
当x®1时, y=®2．

定义 如果当x¹x0, x®x0时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称当x®x0时f(x)存在极限A；数A就称为当x®x0时，函数f(x)的极限，记作．
例6 求下列极限：
(1)f(x)=x，f(x)；(2)f(x)=C，f(x), (C为常数)．
解　(1)因为当x®x0时，f(x)=x的值无限趋近于x0，因此有f(x)= x= x0．
(2)因为当x®x0时，f(x)的值恒等于C，因此有f(x)= C=C．由此可见，常数的极限是其本身．
　规定：
(1)如果x从大于x0的方向趋近于x0(即x®)时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称f(x)在x0处存在右极限A，称数A就称为当x®x0时，函数f(x)的右极限 ，记作；
(2)如果x从小于x0的方向趋近于x0(即x®)时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称f(x)在x0处存在左极限A，称数A就称为当x®x0时，函数f(x)的左极限 ，记作．
例7 已知函数，讨论当x®0时的极限．
解　，
，
．
因而当x®0时f(x)的极限不存在．
一般地，
=A．
例8　已知，求．
解　因为，
，
即　　　　　=2，
因此 　　．
例9 已知f(x)=， 是否存在？
解　当x>0时，f(x)==1；
当x<0时，f(x)==-1，
因此函数能够分段表示为于是
，即 ，因此不存在

§1--3 极限的四则运算
和、差、积、商的极限运算法则：
如果f(x)=A，g(x)=B，那么
1．[f(x)±g(x)]=f(x) ±g(x)=A±B；
2．[f(x)×g(x)]=f(x) ×g(x)=A×B；
特别地，C×f(x)=C×f(x)=C×A，(C为常数)；
3．．
说明：
1．上述运算法则对于x®¥等其它变化过程同样成立；
2．法则1, 2可推广到有限个函数的情况，因此只要x使函数有意义，例如下面的等式也成立：
[f(x)]n=[f(x)]n，[f(x)]a=[f(x)]a, aÎQ．
极限运算“”与四则运算(加、减、乘、除)能够交换次序(其中除法运算时分母的极限必须不等于零）．
例1 求 (x2+2x-3)．
解： (x2+2x-3)= x2+2x-3=[x]2+2×x-3=2×2+2×2-3=5．
例2 求．
解 =．
例3 求．
解 ==2．
例4 求．
解 =
==+3=6．
例5 求．
解 =．
例6 求．
解 =．

§1--4 无穷大和无穷小
O
x
y
1
·

一、 无穷大
考察函数f(x)=．

由图可知，当x从左右两个方向趋近于1时，|f(x)|都无限地增大．
定义1 如果当x®x0时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)为当x®x0时的无穷大．
如果函数f(x)为当x®x0时的无穷大，那么它的极限是不存在的．但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作
=¥．
注意 式中的记号“¥”是一个记号而不是确定的数，记号的含意仅表示“f(x)的绝对值无限增大”．
如果在无穷大的定义中，对于x0左右近旁的x，对应的函数值都是正的或都是负的，也即当x®x0时，f(x)无限增大或减小，就分别记作
=+¥ 或=-¥．
例如，（１）当x®1时，||无限增大，因此是当x®1时的无穷大，记作=¥．
定义可推广到x®, x®,，x®+¥, x®-¥时的情形．
例如，（２）当x®¥时，|x|无限增大，因此x是当x®¥时的的无穷大，记作x=¥．
（３）当x®+¥时，2x总取正值而无限增大，因此2x是当x®+¥时的的无穷大，记作2x=+¥．
O
x
y
1
·

（４）当x®0+时，lnx总取负值而无限减小，因此lnx是x®0+时的无穷大，记作lnx=-¥．

注意　 (1)一个函数f(x)是无穷大，是与自变量x的变化过程紧密相连的，因此必须指明自变量x的变化过程．
(2)不要把绝对值很大的数说成是无穷大．
无穷大表示的是一个函数，这个函数的绝对值在自变量某个变化过程中的变化趋势是无限增大；而这些绝对值很大的数无论在自变量何种变化过程，其极限都为常数本身，并不会无限增大或减小．
二、 无穷小
O
x
y
1
-1
·
·

１．无穷小的定义
考察函数f(x)=x-1，由图可知，当x从左右两个方向无
限趋近于1时，f(x)都无限地趋向于0．
定义2 如果当x®x0时，函数f(x)的极限为0，那么就称函数
f(x)为x®x0时的无穷小．记作=0．
例如，（１）因为(x-1)=0，
因此函数x-1是当x®1时的无穷小．
例如，（２）因为=0，
因此函数是当x®¥时的无穷小．
注意　(1)一个函数f(x)是无穷小，是与自变量x的变化过程紧密相连的，因此必须指明自变量x的变化过程．
(2)不要把绝对值很小的常数说成是无穷小．
无穷小表示的是一个函数，这个函数在自变量某个变化过程中的极限为0；而这些绝对值很小的数无论自变量是何种变化过程，其极限都不是0；只有常数0能够看成是无穷小，因为常数函数0的任何极限总是0．
２．无穷小的性质
设f1(x),f2(x),...,fn(x)是x®x0(或x®¥等)时的无穷小．
性质1 f(x)= (aiÎR)是x®x0(或x®¥等)时的无穷小，即有限个无穷小的代数组合依然是无穷小．
性质2 f(x)=f1(x)×f2(x) ×...× fn(x)是x®x0(或x®¥等)时的无穷小，即无穷小的积依然是无穷小．
性质3 设g(x) 当x®x0(或x®¥等)时是有界的，则g(x)×fi (x)(i=1,2,...,n)是x®x0(或x®¥等)时的无穷小，即有界函数与无穷小的积是无穷小．
例1 求．
解　因为x=0，因此x是x®0时的无穷小．
而|sin|£1，因此sin是有界函数．
根据无穷小的性质3，可知=0．
例2 求．
解　因为 =×sinx，
而是当x®¥时的无穷小，
sinx是有界函数．
因此=0．
３．函数极限与无穷小的关系
定理 1 =A Û f(x)=A+a, =0．即当x®x0时f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)能表示为A与一个x®x0时的无穷小之和．
证明： 必要性 设=A，
令a=f(x)-A，则f(x)=A+a，
而　　　　　　　　　==0，
即　　　　　　　　　a是当x®x0时的无穷小．
充分性 设f(x)=A+a，其中a是当x®x0时的无穷小，则
　　==A．
即f(x)的极限为A．
三、 无穷大与无穷小的关系
定理 无穷大的倒数是无穷小；反之，在变化过程中不为零的无穷小的倒数为一个无穷大．
例3 求．
解　因为=0，即是当x®1时的无穷小，
根据无穷大与无穷小的关系可知，它的倒数是当x®1时的无穷大，
因此　　　　　　=¥．
例4 求(x2-3x+2)．
解　因为，
因此　　　　(x2-3x+2)= ¥．
例5 求．
解　因为，
因此　　　　=¥．
a0/b0，　　当m=n；
　　= 　　¥， 　 当m>n；
　　 　0， 　当m<n．

§1--5 两个重要极限
一、
观察当x®0时函数的变化趋势：
x(弧度)
0.50
0.10
0.05
0.04
0.03
0.02
...

0.9585
0.9983
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
...
当x取正值趋近于0时，®1，即=1；
当x取负值趋近于0时，-x®0, -x>0, sin(-x)>0．于是
．
综上所述，得 ．
的特点：
(1)它是“”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是；
(2)在分式中同时出现三角函数和x的幂．
推广　　如果j(x)=0,(a能够是有限数x0, ±¥或¥)，
则　　　　　　　==1．
例1 求．
解　=．
例2 求．
解　=．
例3 求．
解　=．
例4 求．
解　令arcsinx=t，则x=sint且x®0时t®0．
因此=．
例5 求．
解　=
　　　　　　=．
二、
观察当x®+¥时函数的变化趋势：
x
1
2
10
1000
10000
100000
100000
...

2
2.25
2.594
2.717
2.7181
2.7182
2.71828
...
当x取正值并无限增大时，是逐渐增大的，可是不论x如何大，的值总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x®+¥时，能够验证是趋近于一个确定的无理数e＝2....．
当x®-¥时，函数有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．
综上所述，得　　　 =e．
=e的特点：
（１）lim(1+无穷小) ；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．
推广　（１）若j(x)= ¥,(a能够是有限数x0, ±¥或¥)，则
　　　　　=e；
（２）若j(x)=0,(a能够是有限数x0, ±¥或¥)，则
　　　　　=e．
变形　令=t，则x®¥时t®0，代入后得到 ．
如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1¥，因此一般称之为1¥不定型．
例6 求．
解　令－=t，则x=－．
当x®¥时t®0，
于是　　　==e –2．
例7 求．
解　令=1+u，则x=2－．
当x®¥时u®0，
于是　　　=
==e -1．
例8 求．
解　设t=tanx，则＝cotx．
当x®0时t®0，
于是　　　==e．

§1--6 函数的连续性

一、 函数在一点的连续
所谓“函数连续变化”， 在直观上来看，它的图象是连续不断的，或者说“能够笔尖不离纸面地一笔画成”；从数量上分析，当自变量的变化微小时，函数值的变化也是很微小的．
例如，函数（１）g(x)=x+1，（２）f1(x)= ，（３）f2(x)=，作出它们的图像．

2
x
y
O

y=
1
1
2
3
2
x
y
O

y=x+1
1
1
·
2
3
·

O
·
x
y
1

2
y=x+1
y=x-1

（１）函数g(x)=x+1在x=1处有定义，图象在对应于自变量x=1的点处是不间断的或者说是连续的．表现在数量上，g(x)在x=1处的极限与函数值相等，即成立g(x)=g(1)．
（２）函数f1(x)=在x=1处有定义，图象在对应于自变量x=1的点处是间断的或者说是不连续的．表现在数量上，f1(x)在x=1处的极限与函数值不等．进一步还能够看出：f1(x), f1(x)存在却不相等，因此f1(x)不存在．
（３）函数f2(x)= 在x=1处无定义，图象在对应于自变量x=1的点处是间断的或者说是不连续的．表现在数量上，f2(x)在x=1处的极限与函数值不等．进一步还能够看出： f2(x)=2虽然存在，但f2(1)却无意义，因此两者都没有极限与函数值之间的相等关系．
定义1 如果函数f(x)在x0的某一领域内有定义，且f(x)=f(x0)，就称函数f(x)在x0处连续，称x0为函数f(x)的连续点．
例1 研究函数f(x)=x2+1在x=2处的连续性．
解　（１）函数f(x)=x2+1在x=2的某一领域内有定义．f(2)=5，
（２）f(x)= (x2+1)=5，
（３）f(x)=f(2)．
因此，函数f(x)=x2+1在x=2处连续．
注意　从定义1能够看出，函数f(x)在x0处连续必须同时满足以下三个条件：
(1)函数f(x)在x0的某一领域内有定义；
(2)极限f(x)存在；
(3)极限值等于函数值，即f(x)=f(x0)．
如果函数y=f(x)的自变量x由x0变到x，我们称差值x-x0为自变量x在x0处的改变量或增量，一般见符号Dx表示，即Dx=x-x0．此时相应的函数值由f(x0)变到f(x)，我们称差值f(x)-f(x0)为函数y=f(x)在点x0处的改变量或增量，记作Dy，即Dy = f(x)-f(x0)．
由于Dx=x-x0，因此x=x0+Dx，因而Dy = f(x)-f(x0)=f(x0+Dx )-f(x0)．
利用增量记号，x®x0等价于Dx=x-x0®0，f(x)=f(x0)等价于[f(x)-f(x0)]=0，上式又等价于=0．
定义 设函数f(x)在x0及其附近有定义，如果当自变量x在x0处的增量Dx趋于零时，相应的函数增量Dy=f(x0+Dx )-f(x0)也趋于零，即=0，则称函数f(x)在x0处连续，称x0为函数f(x)的连续点．
连续的直观认识：当自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小．
定义2 如果函数y=f(x)在x0及其左边附近有定义，且f(x)=f(x0)，则称函数y=f(x)在x0处左连续．如果函数y=f(x)在x0及其右边附近有定义，且f(x)=f(x0)，则称函数y=f(x)在x0处右连续．
y=f(x)在x0处连续 Û y=f(x)在x0处既左连续又右连续．
例2 讨论函数f(x)= 在x=处的连续性．
解　（１）f()=1；
（２）由于f(x)= (1+cosx)=1+cos=1，
　　　　　f(x)= sinx=sin=1，
因此　　　　　　　f(x)＝f(x)
则 f(x) =1；
（３）且f(x) =f()．
因此　　　　　　　f(x)在x=处连续．
二、 连续函数及其运算
１．连续函数
定义3 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都是连续的，则称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续，或者说y=f(x)是(a,b)内的连续函数．
如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上定义，在开区间(a,b)内连续，
且在区间的两个端点x=a与x=b处分别是右连续和左连续，
即f(x)=f(a)，f(x)=f(b)，
则称函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，或者说f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数．
函数f(x)在它定义域内的每一点都连续，则称f(x)为连续函数．
２．连续函数的运算
定理1 如果函数f(x),g(x)在某一点x=x0处连续，则f(x)± g(x), f(x)×g(x),(g(x0)¹0)
在点x=x0处都连续．
证明　因为f(x),g(x)在点x0处连续，因此
f(x)=f(x0), g(x)=g(x0)，
由极限的运算法则，得到
[f(x)± g(x)]=f(x)±g(x)=f(x0) ±g(x0)．
因此，函数f(x)± g(x)在点x0处连续．
同样可证明后两个结论．
注意　和、差、积的情况能够推广到有限个函数的情形．
定理2(复合函数的连续性)　设函数u=j(x)在点x0处连续，y=f(u)在u0处连续，u0=j(x0)，则复合函数y=f[j(x)]在点x0处连续，即f[j(x)]=f[j(x)]=f[j(x0)]．
推论 设j(x)存在为u0，函数y=f(u)在u0处连续，则 f[j(x)]=f[j(x)]．
即极限符号“”与连续的函数符号“f”可交换次序，即能够在函数内求极限．
３．初等函数的连续性
基本初等函数以及常数函数在其定义区间内是连续的．
初等函数在其定义区间内是连续的．
例3 求．
解　=sin(p×1-)=sin=1．
例4 求．
解　=．
例5 证明=1．
证明　==1．
例6 证明=1．
证明　令ex-1=t，则x=ln(1+t)，且x®0时t®0，于是由例5即可得
．
三、 函数的间断点
１．间断点的概念
如果函数y=f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在x0处间断，并称x0为f(x)的间断点．
f(x)在x0处间断有以下三种可能：
(1)函数f(x)在x0处没有定义；
(2)f(x)在x0处有定义，但极限f(x)不存在；
(3) f(x)在x0处有定义，极限f(x)存在，但f(x)¹f(x0)．
例如，（１）函数f(x)=在x=0处无定义，因此x=0是其的间断点；
（２）函数f(x)=在x=0处有定义f(0)=0，但f(x)=0, f(x)=1，故f(x)不存在，因此x=0是f(x)的间断点；
（３）函数f(x)=在x=1处有定义f(1)=1，f(x)=2极限存在但不等于f(1)，因此x=1是f(x)的间断点．
２．间断点的分类
设x0是f(x)的间断点，若f(x)在x0点的左、右极限都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；凡不是第一类的间断点都称为第二类间断点．
在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．
函数y=在x=0处间断．因为=+¥, =-¥，因此x=0是y=的第二类间断点．
例7 讨论函数f(x)=在x=1与x=0处的连续性．
解　（１）因为f(x)=(-x+1)，而f(1)=0，故f(x)=f(1)，因此x=1是f(x)的连续点．
（２）因为f(x)=(-x+1)=1，f(x)= (x-4)=-4，则
f(x)≠f(x)，
因此有　　f(x)不存在，
因此x=0是f(x)的间断点，且是第一类的跳跃型间断点．
例8 讨论函数f(x)=的连续性，若有间断点，指出其类型．
解　在x=0, x=1处间断．
在x=0处，因为f(x)=，因此x=0是f(x)的第二类间断点；
在x=1处，因为f(x)==2，因此x=1是f(x)的第一类可去间断点．
四、 闭区间上连续函数的性质
定理3(最大值最小值定理)　闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值．
O
·
x
y

P
·
Q
·
a
b
·
几何直观上看，因为闭区间上的连续函
数的图像，是包括两端点的一条不间断的曲
线，因此它必定有最高点P和最低点Q，
P与Q的纵坐标正是函数的最大值和最小值．
注意　如果函数仅在开区间(a,b)或半闭
半开的区间[a,b]，(a,b)内连续，或函数在闭
区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值．
O
x
y

·
·
·
1
2
·
·
例如，（１）函数y=x在开区间(a,b)内是连续的，这函数在开区间(a,b)内就既无最大值，又无最小值．
O
x
y

a
b
y=x

（２）函数f(x)=在闭区间[0,2]上有间断点x=1，它在闭区间[0,2]上也是既无最大值，又无最小值．
定理4(介值定理)　若f(x)在闭区间[a,b]上连续，m与M分别是f(x)在闭区间[a,b]上的最小值和最大值，u是介于m与M之间的任一实数：m£u£M，则在[a,b]上至少存在一点x，使得f(x)=u．
介值定理的几何意义：介于两条水平直线y=m与y=M之间的任一条直线y=u，与y=f(x)的图象曲线至少有一个交点．

O
x
y

·
b
a
x

f(b)

O
x
y

·
·
·
b
a
x
m
M

推论(方程实根的存在定理)　若f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少有一个根，即至少存在一点x，使f(x)=0．
推论的几何意义：一条连续曲线，若其上的点的纵坐标由负值变到正值或由正值变到负值时，则曲线至少要穿过x轴一次．
使f(x)=0的点称为函数y=f(x)的零点．如果x=x是函数f(x)的零点，即f(x)=0，那么x=x就是方程f(x)=0的一个实根；反之方程f(x)=0的一个实根x=x就是函数f(x)的一个零点．因
此，求方程f(x)=0的实根与求函数f(x)的零点是一回事．正因为如此，定理4的推论一般称为方程根的存在定理．
例9 证明方程x=cosx在(0,)内至少有一个实根．
证明　x-cosx=0．
令　　f(x)=x-cosx, 0£x£，
则　　　f(x)在[0,]上连续，且f(0)=-1, f()=>0．
由根的存在定理，在(0,)内至少有一点x，使f(x)=x-cosx=0，
即方程x=cosx在(0,)内至少有一个实根．
(1)若f(x)在x0处连续，则f(x)存在．
(2)若f(x)=A，则f(x)在x0处连续．
(3)初等函数在其定义域内连续．
(4)设y=f(x)在[a,b]上连续，则y=f(x)在[a,b]上可取到最大值和最小值．

§1--7 无穷小的比较
自变量同一变化过程的两个无穷小的代数组合及乘积依然是这个过程的无穷小．可是两个无穷小的商却会出现不同的结果．
如x, 3x, x2都是当x®0时的无穷小，而=0，=¥，＝３，产生这种不同结果的原因，是因为当x®0时三个无穷小趋于0的速度是有差别的．
具体计算她们的值如下表：
x
1
0.5
0.1
0.01
0.001
® 0
3x
3
1.5
0.3
0.03
0.003
® 0
x2
1
0.25
0.01
0.0001
0.000001
® 0
从表中数值看，当x®0时，
（１）x2比3x更快地趋向零；
（２）3x比x2较慢地趋向零；这种快慢存在档次上的差别．
（３）而3x与x趋向零的快慢虽有差别，可是是相仿的，不存在档次上的差别．
反映在极限上，当x®0时，
（１）趋向零较快的无穷小与较慢的无穷小之商的极限为0；
（２）趋向零较慢的无穷小与较快的无穷小之商的极限为¥；
（３）趋向零快慢相仿的无穷小之商的极限为不为零常数．
定义 设a,b是当自变量x®a(a能够是有限数x0，能够是±¥或¥)时的两个无穷小，且b¹0．
(1)如果=0，则称当x®a时 a是b的高阶无穷小，或称b是a的低阶无穷小，记作a=o(b), (x®a)；
(2)如果=A,(A¹0)，则称当x®a时a与b是同阶无穷小；特别地，当A=1时，称当x®a时a与b是等价无穷小，记作a~b,(x®a)．
注意 记号“a=o(b), (x®a)”并不意味着a, b的数量之间有什么相等关系，它仅表示a, b是x®a时的无穷小，且a是b的高阶无穷小．
例如，（１）当x®0时，x2是比x高阶的无穷小，因此x2=o(x), (x®0)；
（２）因为=1， sinx与x是x®0时的等价无穷小，因此sinx~x, (x®0)；
（３）因为，，，，
因此 　　1-cosx=o(x), tanx~x, -1~x, (x®0)．
而1-cosx与x2是x®0时的同阶无穷小．
定理 设a，b，a¢, b¢是x®a时的无穷小，且a~a¢, b~b¢，则当极限存在时，极限也存在，且=．
证明　==．
常见等价无穷小：
sinx~x, tanx~ x, arcsinx~ x, arctanx~ x, 1-cosx~x2,
ln(1+x) ~x, ex-1~x, -1~x, (x®0)．
例1 求．
解　因为x时，sin2x~2x, tan5x~5x，
因此　　　=．
例2 求．
解　因为ex-1~x, ln(1+x2) ~x2, sin2x~2x, 1-cosx~x2, (x®0)，
因此 ==1．
例3 求下列极限：
(1),xÎ(-¥,+¥)；
(2), x>0．
解 (1)sin(x+Dx)-sinx=(sinx×cosDx+sinDx×cosx)-sinx=sinDx×cosx-sinx(1-cosDx)，
因为 sinDx~Dx, 1-cosDx~(Dx), (Dx®0)，而|sinx|£1, xÎ(-¥,+¥)，
因此 ==cosx, xÎ(-¥,+¥)．
(2)ln(x+Dx)-lnx=ln(1+)~, (Dx®0, x>0)，
=, x>0．
例4 用等价无穷小的代换，求．
解　因为tanx-sinx=tanx(1-cosx)，而tanx~ x, 1-cosx~x2, (x®0)，因此
=

总结·拓展

一、知识小结
掌握基本初等函数的图象和性质的基础上，理解复合函数和初等函数的概念，会把一个初等函数作分解．
极限是描述数列和函数的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法．
连续概念是函数的一种特性．
函数在点x0存在极限与在x0连续是有区别的，前者是描述函数在点x0邻近的变化趋势，不考虑在x0处有无定义或取值；而后者则不但要求函数在x0点有极限，而且极限存在且等于函数值．
一切初等函数在其定义域内都是连续的．
1. 几个重要概念
(1)=A Û