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自考高数教案资料仅供参考第1章 函数、极限与连续 教学过程1-1 初等函数一、 基本初等函数我们把幂函数y=xa(aR)、指数函数y=ax(a0且a1)、对数函数y=logax(a0且a1)、三角函数y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=secx, y=cscx和反三角函数y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx统称为基本初等函数很多时候也把多项式函数y=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0看作基本初等函数二、 复合函数 定义1 如果y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=j(x)，且j(x)的值域与y=f(u)的定义域的交非空，那么，y经过中间变量u的联系成为x的函数，我们把这个函数称为是由函数y=f(u)与u=j(x)复合而成的复合函数，记作y=fj(x) 学习复合函数有两方面要求：一方面，会把几个作为中间变量的函数复合成一个函数，这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程；另一方面，会把一个复合函数分解为几个较简单的函数，这些较简单的函数往往是基本初等函数或是基本初等函数与常数的四则运算所得到的函数例1 已知y=lnu, u=x2，试把y表示为x的函数解 y=lnu=lnx2, x(-,0)(0,+)例2 设y=u2, u=tanv, v=，试把y表示为x的函数解 y=u2=tan2v=tan2 复合函数的中间变量能够不限于一个例3 函数y=esinx是由哪些简单函数复合而成的？解 令u=sinx，则y=eu，故y=esinx是由y=eu, u=sinx复合而成的例4 函数y=tan3（2lnx+1）是由哪些初等函数复合而成的？解 令u=tan（2lnx+1），则y=u3；再令v=2lnx+1，则u=tanv.故y=tan3（2lnx+1）是由y=u3, u=tanv, v=2lnx+1复合而成的三、 初等函数定义2 由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次复合而成的，而且能用一个式子表示的函数，称为初等函数例如： 等都是初等函数例5 分解解 令u=sin(1+3x2)，得y=eu；再令v=1+3x2，得u=sinv故是由y=eu, u=sinv, v=1+3x2复合而成的定义3 设a, 0,数集 x| |x-a| ,x R,即实数轴上和a点的距离小于的点的全体，称为点a的邻域，记作U（a,）,点a与数分别称为这邻域的中心和半径有时用U（a）表示点a的一个泛指的邻域数集x|0|x-a|0时，f(x)=1；当xn； 0， 当m0, sin(-x)0于是 综上所述，得 的特点： (1)它是“”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是； (2)在分式中同时出现三角函数和x的幂 推广如果j(x)=0,(a能够是有限数x0, 或)，则=1例1 求 解=例2 求 解=例3 求 解=例4 求解令arcsinx=t，则x=sint且x0时t0因此=例5 求 解= = 二、观察当x+时函数的变化趋势：x1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.当x取正值并无限增大时，是逐渐增大的，可是不论x如何大，的值总不会超过3实际上如果继续增大x即当x+时，能够验证是趋近于一个确定的无理数e2. 当x-时，函数有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e 综上所述，得 =e=e的特点：（）lim(1+无穷小) ；（）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数 推广（）若j(x)= ,(a能够是有限数x0, 或)，则 =e；（）若j(x)=0,(a能够是有限数x0, 或)，则 =e 变形令=t，则x时t0，代入后得到 如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1，因此一般称之为1不定型例6 求解令=t，则x=当x时t0，于是=e 2例7 求解令=1+u，则x=2当x时u0，于是=e -1例8 求解设t=tanx，则cotx当x0时t0，于是=e1-6 函数的连续性 一、 函数在一点的连续 所谓“函数连续变化”， 在直观上来看，它的图象是连续不断的，或者说“能够笔尖不离纸面地一笔画成”；从数量上分析，当自变量的变化微小时，函数值的变化也是很微小的例如，函数（）g(x)=x+1，（）f1(x)= ，（）f2(x)=，作出它们的图像2xyO y=11232xyOy=x+11123Oxy12y=x+1y=x-1（）函数g(x)=x+1在x=1处有定义，图象在对应于自变量x=1的点处是不间断的或者说是连续的表现在数量上，g(x)在x=1处的极限与函数值相等，即成立g(x)=g(1)（）函数f1(x)=在x=1处有定义，图象在对应于自变量x=1的点处是间断的或者说是不连续的表现在数量上，f1(x)在x=1处的极限与函数值不等进一步还能够看出：f1(x), f1(x)存在却不相等，因此f1(x)不存在（）函数f2(x)= 在x=1处无定义，图象在对应于自变量x=1的点处是间断的或者说是不连续的表现在数量上，f2(x)在x=1处的极限与函数值不等进一步还能够看出： f2(x)=2虽然存在，但f2(1)却无意义，因此两者都没有极限与函数值之间的相等关系 定义1 如果函数f(x)在x0的某一领域内有定义，且f(x)=f(x0)，就称函数f(x)在x0处连续，称x0为函数f(x)的连续点 例1 研究函数f(x)=x2+1在x=2处的连续性解（）函数f(x)=x2+1在x=2的某一领域内有定义f(2)=5，（）f(x)= (x2+1)=5，（）f(x)=f(2)因此，函数f(x)=x2+1在x=2处连续 注意从定义1能够看出，函数f(x)在x0处连续必须同时满足以下三个条件： (1)函数f(x)在x0的某一领域内有定义； (2)极限f(x)存在； (3)极限值等于函数值，即f(x)=f(x0) 如果函数y=f(x)的自变量x由x0变到x，我们称差值x-x0为自变量x在x0处的改变量或增量，一般见符号Dx表示，即Dx=x-x0此时相应的函数值由f(x0)变到f(x)，我们称差值f(x)-f(x0)为函数y=f(x)在点x0处的改变量或增量，记作Dy，即Dy = f(x)-f(x0) 由于Dx=x-x0，因此x=x0+Dx，因而Dy = f(x)-f(x0)=f(x0+Dx )-f(x0) 利用增量记号，xx0等价于Dx=x-x00，f(x)=f(x0)等价于f(x)-f(x0)=0，上式又等价于=0 定义 设函数f(x)在x0及其附近有定义，如果当自变量x在x0处的增量Dx趋于零时，相应的函数增量Dy=f(x0+Dx )-f(x0)也趋于零，即=0，则称函数f(x)在x0处连续，称x0为函数f(x)的连续点连续的直观认识：当自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小 定义2 如果函数y=f(x)在x0及其左边附近有定义，且f(x)=f(x0)，则称函数y=f(x)在x0处左连续如果函数y=f(x)在x0及其右边附近有定义，且f(x)=f(x0)，则称函数y=f(x)在x0处右连续y=f(x)在x0处连续 y=f(x)在x0处既左连续又右连续 例2 讨论函数f(x)= 在x=处的连续性解（）f()=1；（）由于f(x)= (1+cosx)=1+cos=1， f(x)= sinx=sin=1，因此f(x)f(x)则 f(x) =1； （）且f(x) =f()因此f(x)在x=处连续二、 连续函数及其运算连续函数定义3 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都是连续的，则称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续，或者说y=f(x)是(a,b)内的连续函数如果函数y=f(x)在闭区间a,b上定义，在开区间(a,b)内连续，且在区间的两个端点x=a与x=b处分别是右连续和左连续，即f(x)=f(a)，f(x)=f(b)，则称函数y=f(x)在闭区间a,b上连续，或者说f(x)是闭区间a,b上的连续函数 函数f(x)在它定义域内的每一点都连续，则称f(x)为连续函数 连续函数的运算 定理1 如果函数f(x),g(x)在某一点x=x0处连续，则f(x) g(x), f(x)g(x),(g(x0)0)在点x=x0处都连续 证明因为f(x),g(x)在点x0处连续，因此 f(x)=f(x0), g(x)=g(x0)，由极限的运算法则，得到 f(x) g(x)=f(x)g(x)=f(x0) g(x0)因此，函数f(x) g(x)在点x0处连续 同样可证明后两个结论 注意和、差、积的情况能够推广到有限个函数的情形 定理2(复合函数的连续性)设函数u=j(x)在点x0处连续，y=f(u)在u0处连续，u0=j(x0)，则复合函数y=fj(x)在点x0处连续，即fj(x)=fj(x)=fj(x0) 推论 设j(x)存在为u0，函数y=f(u)在u0处连续，则 fj(x)=fj(x) 即极限符号“”与连续的函数符号“f”可交换次序，即能够在函数内求极限 初等函数的连续性 基本初等函数以及常数函数在其定义区间内是连续的初等函数在其定义区间内是连续的 例3 求 解=sin(p1-)=sin=1 例4 求 解= 例5 证明=1 证明=1 例6 证明=1 证明令ex-1=t，则x=ln(1+t)，且x0时t0，于是由例5即可得 三、 函数的间断点间断点的概念 如果函数y=f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在x0处间断，并称x0为f(x)的间断点 f(x)在x0处间断有以下三种可能： (1)函数f(x)在x0处没有定义； (2)f(x)在x0处有定义，但极限f(x)不存在； (3) f(x)在x0处有定义，极限f(x)存在，但f(x)f(x0)例如，（）函数f(x)=在x=0处无定义，因此x=0是其的间断点；（）函数f(x)=在x=0处有定义f(0)=0，但f(x)=0, f(x)=1，故f(x)不存在，因此x=0是f(x)的间断点；（）函数f(x)=在x=1处有定义f(1)=1，f(x)=2极限存在但不等于f(1)，因此x=1是f(x)的间断点 间断点的分类 设x0是f(x)的间断点，若f(x)在x0点的左、右极限都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；凡不是第一类的间断点都称为第二类间断点 在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点 函数y=在x=0处间断因为=+, =-，因此x=0是y=的第二类间断点 例7 讨论函数f(x)=在x=1与x=0处的连续性 解（）因为f(x)=(-x+1)，而f(1)=0，故f(x)=f(1)，因此x=1是f(x)的连续点 （）因为f(x)=(-x+1)=1，f(x)= (x-4)=-4，则f(x)f(x)，因此有f(x)不存在，因此x=0是f(x)的间断点，且是第一类的跳跃型间断点 例8 讨论函数f(x)=的连续性，若有间断点，指出其类型 解在x=0, x=1处间断 在x=0处，因为f(x)=，因此x=0是f(x)的第二类间断点； 在x=1处，因为f(x)=2，因此x=1是f(x)的第一类可去间断点四、 闭区间上连续函数的性质 定理3(最大值最小值定理)闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值OxyPQab几何直观上看，因为闭区间上的连续函数的图像，是包括两端点的一条不间断的曲线，因此它必定有最高点P和最低点Q，P与Q的纵坐标正是函数的最大值和最小值注意如果函数仅在开区间(a,b)或半闭半开的区间a,b，(a,b)内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值Oxy12例如，（）函数y=x在开区间(a,b)内是连续的，这函数在开区间(a,b)内就既无最大值，又无最小值Oxyaby=x （）函数f(x)=在闭区间0,2上有间断点x=1，它在闭区间0,2上也是既无最大值，又无最小值 定理4(介值定理)若f(x)在闭区间a,b上连续，m与M分别是f(x)在闭区间a,b上的最小值和最大值，u是介于m与M之间的任一实数：muM，则在a,b上至少存在一点x，使得f(x)=u 介值定理的几何意义：介于两条水平直线y=m与y=M之间的任一条直线y=u，与y=f(x)的图象曲线至少有一个交点Oxybax f(b)OxybaxmM 推论(方程实根的存在定理)若f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少有一个根，即至少存在一点x，使f(x)=0 推论的几何意义：一条连续曲线，若其上的点的纵坐标由负值变到正值或由正值变到负值时，则曲线至少要穿过x轴一次 使f(x)=0的点称为函数y=f(x)的零点如果x=x是函数f(x)的零点，即f(x)=0，那么x=x就是方程f(x)=0的一个实根；反之方程f(x)=0的一个实根x=x就是函数f(x)的一个零点因此，求方程f(x)=0的实根与求函数f(x)的零点是一回事正因为如此，定理4的推论一般称为方程根的存在定理 例9 证明方程x=cosx在(0,)内至少有一个实根证明x-cosx=0令f(x)=x-cosx, 0x，则f(x)在0,上连续，且f(0)=-1, f()=0由根的存在定理，在(0,)内至少有一点x，使f(x)=x-cosx=0，即方程x=cosx在(0,)内至少有一个实根 (1)若f(x)在x0处连续，则f(x)存在 (2)若f(x)=A，则f(x)在x0处连续 (3)初等函数在其定义域内连续 (4)设y=f(x)在a,b上连续，则y=f(x)在a,b上可取到最大值和最小值1-7 无穷小的比较自变量同一变化过程的两个无穷小的代数组合及乘积依然是这个过程的无穷小可是两个无穷小的商却会出现不同的结果如x, 3x, x2都是当x0时的无穷小，而=0，=，产生这种不同结果的原因，是因为当x0时三个无穷小趋于0的速度是有差别的具体计算她们的值如下表：x10.50.10.010.001 03x31.50.30.030.003 0x210.250.010.00010.000001 0从表中数值看，当x0时，（）x2比3x更快地趋向零；（）3x比x2较慢地趋向零；这种快慢存在档次上的差别（）而3x与x趋向零的快慢虽有差别，可是是相仿的，不存在档次上的差别反映在极限上，当x0时，（）趋向零较快的无穷小与较慢的无穷小之商的极限为0；（）趋向零较慢的无穷小与较快的无穷小之商的极限为；（）趋向零快慢相仿的无穷小之商的极限为不为零常数 定义 设a,b是当自变量xa(a能够是有限数x0，能够是或)时的两个无穷小，且b0 (1)如果=0，则称当xa时 a是b的高阶无穷小，或称b是a的低阶无穷小，记作a=o(b), (xa)； (2)如果=A,(A0)，则称当xa时a与b是同阶无穷小；特别地，当A=1时，称当xa时a与b是等价无穷小，记作ab,(xa) 注意 记号“a=o(b), (xa)”并不意味着a, b的数量之间有什么相等关系，它仅表示a, b是xa时的无穷小，且a是b的高阶无穷小 例如，（）当x0时，x2是比x高阶的无穷小，因此x2=o(x), (x0)；（）因为=1， sinx与x是x0时的等价无穷小，因此sinxx, (x0)；（）因为，因此 1-cosx=o(x), tanxx, -1x, (x0)而1-cosx与x2是x0时的同阶无穷小 定理 设a，b，a, b是xa时的无穷小，且aa, bb，则当极限存在时，极限也存在，且= 证明=常见等价无穷小： sinxx, tanx x, arcsinx x, arctanx x, 1-cosxx2, ln(1+x) x, ex-1x, -1x, (x0) 例1 求解因为x时，sin2x2x, tan5x5x，因此= 例2 求 解因为ex-1x, ln(1+x2) x2, sin2x2x, 1-cosxx2, (x0)， 因此 =1 例3 求下列极限： (1),x(-,+)； (2), x0 解 (1)sin(x+Dx)-sinx=(sinxcosDx+sinDxcosx)-sinx=sinDxcosx-sinx(1-cosDx)，因为 sinDxDx, 1-cosDx(Dx), (Dx0)，而|sinx|1, x(-,+)，因此 =cosx, x(-,+) (2)ln(x+Dx)-lnx=ln(1+), (Dx0, x0)， =, x0 例4 用等价无穷小的代换，求 解因为tanx-sinx=tanx(1-cosx)，而tanx x, 1-cosxx2, (x0)，因此 =总结拓展一、知识小结 掌握基本初等函数的图象和性质的基础上，理解复合函数和初等函数的概念，会把一个初等函数作分解 极限是描述数列和函数的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法连续概念是函数的一种特性函数在点x0存在极限与在x0连续是有区别的，前者是描述函数在点x0邻近的变化趋势，不考虑在x0处有无定义或取值；而后者则不但要求函数在x0点有极限，而且极限存在且等于函数值一切初等函数在其定义域内都是连续的1. 几个重要概念 (1)=A