19二次函数的应用.doc

2012年全国各地市中考数学模拟试题分类汇编
19二次函数的应用
一、选择题

A、1月、2月、3月 B、2月、3月，4月
C、1月、2月、12月 D、1月、11月、12月
答案C
3、(2012苏州市吴中区教学质量调研)生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝－n2＋15n－36，那么该企业一年中应停产的月份是( ▲ )
(A)1月，2月 (B)1月，2月，3月 (C)3月，12月 (D)1月，2月，3月，12月
答案：D
4、（2012年浙江省杭州市一模） 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（　　）
A、 B、
C、 D、 第1题
答案：C

二、填空题
1、（2012江苏无锡前洲中学模拟）
已知，
，

那么当点是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆周上的点，则由图可得如下关系式，现将圆心平移至，其它不变，则可得关系式为____ ___。
O
X
Y
第1题
答案：

三、解答题

B（0，4）两点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C的坐标；
(3) 若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PH－PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。
A
B
C
O
x
y
第22(2)题图
A
B
C
O
x
y
D
E
F
H
第22(3)题图

答案：解：(1) 由题意得：，解得：．
∴ 抛物线解析式为y＝x2－x＋4． 3分
(2) 令y＝0，得：x2－x＋4＝0．
解得：x1＝1，x2＝3．
∴ C点坐标为(1，0)． 4分
作CQ⊥AB，垂足为Q，延长CQ，使CQ＝ C'Q，
则点C'就是点C关于直线AB的对称点．
由△ABC的面积得： CQ·AB＝CA·OB，
∵ AB＝＝5，CA＝2，
∴ CQ＝，CC'＝． 6分
作C'T⊥x轴，垂足为T，则△CTC'∽△BOA．
∴ ＝＝， ∴ C'T＝，CT＝．
∴ OT＝1＋＝ ∴C'点的坐标为(，) 8分
A
B
C
O
x
y
Q
T
C'
A
B
C
O
x
y
D
E
F
H
P
N

(3) 设⊙D的半径为r，∴ AE＝r＋3，BF＝4－r，HB＝BF＝4－r．
∵ AB＝5，且AE＝AH，
∴ r＋3＝5＋4－r，
∴ r＝3． 10分
HB＝4－3＝1．
作HN⊥y轴，垂足为N，
则＝，＝，
∴ HN＝，BN＝，
∴ H点坐标为(－，)． 12分
根据抛物线的对称性，得PA＝PC，
∵ |PH－PA|＝|PH－PC|≤HC，
∴ 当H、C、P三点共线时，|PH－PC|最大．
∵ HC＝＝，
∴ |PH－PA|的最大值为． 14分

2、（2012年上海青浦二模）如图，直线分别与 轴、轴分别相交于点 、．抛物线与 轴的正半轴相交于点，与这个一次函数的图像相交于、，且．
（1） 求点 、、的坐标；
（2）如果，求抛物线的解析式．

答案：解：（1）A（，0），OA=1， 在Rt△AOC中，∵，AC=，
∴OC=
∴点C的坐标（0，3）．
（2）当点D在AB延长线上时，
∵B（0，1），
∴BO=1，∴，
∵∠CDB=∠ACB ，∠BAC=∠CAD，∴△ABC∽△ACD．
∴，∴， ∴．
过点D作DE⊥轴，垂足为E， ∵DE//BO，∴，
∴．∴OE=4， ∴点D的坐标为（4，5）．
设二次函数的解析式为，∴
∴∴二次函数解析式为．
当点D在射线BA上时，同理可求得点D（–2，–1），
二次函数解析式为．
评分说明：过点C作CG⊥AB于G，当点D在BG延长线上或点D在射线GB上时，可用锐角三角比等方法得CG=（1分），DG=3（1分），另外分类有1分其余同上．

3、（2012年江西南昌十五校联考） 如图：在平面直角坐标系中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=3，AD=6，将纸片沿过点M的直线折叠（点M在边AB上），使点B落在边AD上的E处（若折痕MN与x轴相交时，其交点即为N），过点E作EQ⊥BC于Q，交折痕于点P。

（1）①当点分别与AB的中点、A点重合时，那么对应的点P分别是点、，则（ ， ）、（ ， ）；②当∠OMN=60°时，对应的点P是点，求的坐标；
（2）若抛物线，是经过（1）中的点、、，试求a、b、c的值；
（3）在一般情况下，设P点坐标是（x，y），那么y与x之间函数关系式还会与（2）中函数关系相同吗（不考虑x的取值范围）？请你利用有关几何性质（即不再用、、三点）求出y与x之间的关系来给予说明.
答案：解：（1）当M与AB的中点重合时，B与A重合，即E与A重合，则点P为OA的中点，
即：（0，）， 当M与A重合时，Q、P与N重合， ∴（3，0）
当∠OMN=60°时，∠MNO=30°，则∠QNE=60°，在Rt△QNE中，QN===，在Rt△PQN中，PQ=1，又∵∠MEN=90°，∠MEP=90°-30°=60°，∠MOP=∠MEP=60°，
则∠POQ=30°，则OP=PN，OQ=QN=，∴（，1）. ………………………4分
（2）∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，），∴c=，
，，

∴a=-，b=0，c=. ……………………………8分
（3）相同.连结OP，根据对折的对称性，△PON≌△PEN，
则PE=OP，OP+PQ=EQ=AB=3.在Rt△OPQ中，，
，.…………………………………12分

4、（2012年上海黄浦二模）（本题满分12分）
已知一次函数的图像和二次函数的图像都经过、两点，且点在轴上，点的纵坐标为5．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将此二次函数图像的顶点记作点，求△的面积；
（3）已知点、在射线上，且点的横坐标比点的横坐标大2，点、在这个二次函数图像上，且、与轴平行，当∥时，求点坐标．

答案：解：（1）点坐标为（0,1） （1分）
将代入，得
∴点坐标为（4,5） （1分）
将、两点坐标代入
解得
∴二次函数解析式为 （2分）
解：（2）点坐标为（，） （1分）
抛物线对称轴与直线的交点记作点，则点（，）
∴=，
∴ （2分）
解：（3）设点横坐标为
则点坐标为，点坐标为， （1分）
点坐标为，点坐标为， （1分）
由题意，得=， =，
∵且、与轴平行，
∴∥，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
∴， （1分）
∴，解得，（舍）， （1分）
∴点坐标为（，） （1分）
5、（浙江金华一模）（本题8分）我市某服装厂主要做外贸服装，由于技术改良，2011年全年每月的产量y（单位：万件）与月份x之间可以用一次函数表示，但由于“欧债危机”的影响，销售受困，为了不使货积压，老板只能是降低利润销售，原来每件可赚10元，从1月开始每月每件降低0.5元。试求：
（1）几月份的单月利润是108万元？
（2）单月最大利润是多少？是哪个月份？
答案：
(1)解：由题意得：（10－0.5x）(x+10)=108

答：2月份和8月份单月利润都是108万元。
（2）设利润为w，则

答：5月份的单月利润最大，最大利润为112.5万元

6、（2012山东省德州二模）兴化金三角华扬经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）据（2）中的函数关系式说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元；
（4）小明说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
答案：（1）=60（吨）． …………………………………………3分
（2）， ………………………………………6分
化简得： ． ………………………………7分
（3）． …………………8分
华扬经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元． ……9分
（4）我认为，小明说的不对． ……………………………………………10分
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额来说，
当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小明说的不对． ……………………………12分
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；
而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小明说的不对． …………………………………………………（12分）
（说明：如果举出其它反例，说理正确，也相应给分）
7、（2012山东省德州二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖CD,已知,，，以所在直线为轴，为坐标原点，建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD绕A点按顺时针方向旋转得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点）（如图）.
⑴在直线DC上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，写出出点的坐标，若不存在，请说明理由.
第28题图

⑵将等腰梯形ABCD沿轴的正半轴平行移动，设移动后的（0<x≤6），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式.并求出重叠部分的面积的最大值。

答案：1）P（-2，2），P（0，2） ………………………………………………2分
2）①当0＜x≤2时，y=x2； …………………………………………4分
当2≤x≤4时；y=－x+2x-2 ………………………………………………6分
当4≤x≤6时；y=－x+4x-6 ………………………………………………8分
②当0＜x≤2时，y=x 当x＝2时，y最大＝1，　　…………………9分
当2≤x≤4时；y=－x+2x-2＝－（x－4）+2　　当x＝4时，y最大＝2　…………………………10分
当4≤x≤6时；y=－x+4x-6＝－（x－4）2+2　　当x＝4时，y最大＝2　………………11分
综上可知：当x＝4时，重叠部分的面积y最大＝2　　……………………12分
8、 （2012山东省德州三模）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．
(1)试求，所满足的关系式；
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，
求a的值；
(3)是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

答案：解：(1)将A（1，0），B（0，l）代入得：
，可得：………………………………………2分
（2）由(1)可知： ，顶点M的纵坐标为，
因为，由同底可知：，………………3分
整理得：，得：…………………… ………4分
由图象可知：，因为抛物线过点（0,1），顶点M在第二象限，其对称轴x=,
∴, ∴舍去,从而…………………5分
（3）① 由图可知，A为直角顶点不可能；………………………………………6分
② 若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；………………………7分
③ 若设B为直角顶点，则可知，得：
令，可得：，
得：
．…………………………………………8分
　　 解得：，由－1＜a＜0，不合题意．所以不存在．…………………9分
综上所述：不存在.…………………………………………………………10分
9、（2012山东省德州四模）在十月份海鱼大量上市时，某公司按市场价格20元/千克收购了某种鱼10000千克存放入冷库中，据预测，该鱼的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷藏存放这批鱼时每天需要支出各种费用合计3100元，而且这类鱼在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有30千克的鱼损坏不能出售．
（1）设天后每千克该鱼的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式．
（2）若存放天后，将这批鱼一次性出售，设这批鱼的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式．
（3）该公司将这批鱼存放多少天后出售可获得最大利润元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
答案： 解：（1）…………………………（2分）
（2）………………（3分）
(3)………………（2分）
∵且在取值范围内
∴当时，有最大值，最大值是330750元。…………………（2分）
10、（2012山东省德州一模）在校际运动会上，身高1.8米的李梦晨（AB）同学，把铅球抛到离脚底（B）9米远的P点，李梦晨同学所抛的铅球在到达最大高度时，距其脚底（B）4米，聪明的你，请你参照图示，帮助李梦晨同学求出此铅球运动的轨迹方程.

答案：4
解：设铅球运动的轨迹为抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)……………………1’
依题意,得：
81a+9b+c=0
C=1.8
………………5’.
解之得， a=
b=
c=1.8………………8’
∴y=x2+x+1.8 ……………9’ (0≤x≤9)…………………10’
11、（2012上海市奉贤区调研试题）已知：直角坐标平面内有点，过原点的直线，且与过点、的抛物线相交于第一象限的点，若．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作轴于点，设有直线交直线于，交抛物线于点，若、、、组成的四边形是平行四边形，求的值．

答案：（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，
由点可得，
由直线，可得△∽△， (2分)
∴ ，
∵，
∴， ，
∴ (1分)
设经过点、、的抛物线解析式为
∴ (2分)
解得， ∴抛物线解析式为： (2分)
（2）解：设直线l的解析式为
∵ 直线l经过点（4，2），
∴ 直线l的解析式为 (1分)
∵ 直线交直线l于，交抛物线于点，
∴ 设点坐标为，点坐标为， (1分)
∵由、、、四点组成的四边形是平行四边形，
∴ //且
即： ， (1分)
解得或，
∵
∴或2 (2分)

12、（2012江苏无锡前洲中学模拟）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（a） 新数据都在60～100（含60和100）之间；

（b）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；
（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
答案：
13、（2012江苏无锡前洲中学模拟）（1）探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．试判断△ABM与△ABN的面积是否相等。
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．

（2）结论应用：
如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
A
图 ③
C
D
B
O
x

y

A
备用图
C
D
B
O
x

y

（第2题）

答案：解：﹙1﹚相等 ---------------------1分

②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．
则∠DHA＝∠EKB＝90°．∵ AD∥BE，∴ ∠DAH＝∠EBK．∵ AD＝BE，
∴ △DAH≌△EBK． ∴ DH＝EK． ∵ CD∥AB∥EF，
∴S△ABM＝，S△ABG＝， ∴ S△ABM＝ S△ABG. -------------4分
﹙2﹚答：存在．---------------------5分
解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.
又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.
∴ 该抛物线的表达式为，即．
∴ D点坐标为（0，3）．
设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.
∴ 直线AD的表达式为． ---------------------7分
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为．
∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2．
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．
由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等．
（第2题）
A
图 ③-1
C
D
B
O
x

y

H P
G
F
P
E

①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，
则PF＝，EF＝．
∴ EP＝EF－PF＝＝．∴ ．
解得，．
当时，PF＝3－2＝1，EF＝1+2＝3． ∴ E点坐标为（2，3）．
同理 当m＝1时，E点坐标为（1，4），与C点重合．
②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚，
则．
∴．解得，．
当时，E点的纵坐标为；
当时，E点的纵坐标为．
∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；．--------------10
14、（2012江苏扬州中学一模）如图，抛物线:与轴交于两点A（－1，0），
B（1，0），与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为抛物线上任意一点，且四边形ACBD为直角梯形，求点的坐标；
（3）若将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到抛物线，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线.若点P是抛物线对称轴上的一个动点，直线：平行于轴，且分别与抛物线和直线交于点D、E两点．是否存在直线，使得△DEP是以DE为直角边的等腰直角三角形，若存在求出的值；若不存在说明理由。
（第题）
备用图
l1
答案

案

答案：(1) ………4分
(2) ………8分
(3)存在 ………12分

15、（2012荆门东宝区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，抛物线过点、点，且与轴的另一交点为，其中＞0，又点是抛物线的对称轴上一动点．
（1）求点的坐标，并在图1中的上找一点，使到点与点的距离之和最小；
（2）若△周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（3）如图2，在线段上有一动点以每秒2个单位的速度从点向点移动(不与端点、重合)，过点作∥交轴于点,设移动的时间为秒，试把△的面积表示成时间的函数，当为何值时，有最大值，并求出最大值.

答案：（1）A（-6,0），连接CB与直线相交于一点，交点即为；
(2) 抛物线的解析式为，顶点的坐标为
（3）（0<t<4），当t=2时，最大值为10.

16、 （2012江西高安） 已知：抛物线 的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）.
（1)直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由.
答案：（1）
(2) ，或，.
(3)

17、（2012昆山一模）
　　 某书店正在销售一种课外读本，进价12元／本，售价20元／本，为了促销，书店决定凡是一次购买10本以上的客户，每多买一本，售价就降低0.10元，但最低价为16元／本．
　 (1)问：客户一次至少买多少本，才能以最低价购买？
　 (2)写出当一次购买x本时（x>10），书店利润y（元）与购买量x（本）之间的函数关系式；答案：
　 (3)在销售过程中，书店发现卖出50本比卖出46本赚的钱少，为了使每次的销售均能达到多卖出就多获利，在其他促销条件不变的情况下，最低价应确定为多少元／本？请说明理由． 答案：

18、(2012年，江西省高安市一模) 已知：抛物线 的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）.
（1)直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由.
答案：（1）
(2) ，或，.
(3)

19、 （2012年，瑞安市模考）如图，将腰长为的等腰Rt△ABC（=90°）放在平面直角坐标系中的第二象限， 使点C的坐标为（，0），点A在y轴上，点B在抛物线上．
A
B
C
y
O
D

x

（1）写出点A，B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，
到达的位置．请判断点、是否在
该抛物线上，并说明理由．

答案：（1）A（0，2）， B（，1）；…4分
（2）解析式为；…4分
（3）如图，过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作 轴于点P．在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵ AB=AB′， ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，∴ Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴ B′M=AN=1，AM=BN=3， ∴ B′（1，）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
当x=1时=－1，
当x=2时=1，
可知点B′、C′在抛物线上．…4分
20、 (2012年吴中区一模)（本题9分）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．且OA＝OB．
(1)求b＋c的值；
(2)若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．

答案：

21、 (2012年，辽宁省营口市)（10分）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
答案：解：（1）由题意，得：w = (x－20)·y=(x－20)·()

.
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
（3）∵，∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设成本为P（元），由题意，得：

∵，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3600.
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

22、 （2012年，广东一模）如图1－3，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2,0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

图1－3
解：(1)把A(2,0)，B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c，
得，解得.
∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6.
(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－＝4，
∴点C的坐标为(4,0)，
∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，
∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6.

23、(2012年春期福集镇青龙中学中考模拟)（本小题满分10分）
某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量）
解：（1）由题意，得：w = (x－20)·y
=(x－20)·()

.
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． ………………4分
（2）由题意，得：
解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
法二：∵，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，
∴30≤x≤32时，w≥2000．
∵，，
∴y随x的增大而减小.
∴当x = 32时，y最小＝180.
∵当进价一定时，销售量越小，
成本越小，
∴（元）.
……………8分
（3）法一：∵，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设成本为P（元），由题意，得：

∵，
∴P随x的增大而减小.
∴当x = 32时，P最小＝3600.
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 12分

24、(2012四川省泸县福集镇青龙中学一模)某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量）
答案：（1）由题意，得：w=（x－20）×y，
=（x－20）•（－10x+500）=－10x2+700x－10000，
有x=－=35，
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：－10x2+700x－10000=2000，
解这个方程得：x1=30，x2=40，
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．
（3）∵a=－10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当30≤x≤40时，w≥2000，
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000，
设成本为P（元），由题意，得：P=20（－10x+500）=－200x+10000，
∵k=－200＜0，
∴P随x的增大而减小，
∴当x=32时，P最小=3600，
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

25、（2012年南岗初中升学调研）．(本题6分)
王大爷要围成一个如图所示的矩形ABCD花圃．花圃的一边利用20米长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成．设A8边的长为x米，BC的长为y米，且BC>AB．
(1)求y与x之间的函数关系式(要求直接写出自变量石的取值范围)；
(2)当x是多少米时，花圃面积S最大?最大面积是多少?

26、（2012年4月韶山市初三质量检测）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．
(1)求B点的坐标；
(2)若抛物线 经过点A、B ．
①求抛物线的解析式及顶点坐标；
②将抛物线竖直向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的
内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围．

【答案】 解：(1) ∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴，
∴点B的坐标是（0，4）
(2)①把点A的坐标（－2，4）点B的坐标是（0，4）
代入，
得
∵，
∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)
②AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2），
∴m的取值范围为l<m<3．

27、（2012年中考数学新编及改编题试卷）开口向下的抛物线与轴的交点为A、B（A在B的左边），与轴交于点C。连结AC、BC。
(1) 若△ABC是直角三角形（图1）。求二次函数的解析式；
(2) 在（1）的条件下，将抛物线沿轴的负半轴向下平移（＞0）个单位，
使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点。求的值。
(3) 当点C坐标为（0，4）时（图2），P、Q两点同时从C点出发，点P沿折线C→O→B运动到点B,点Q沿抛物线（在第一象限的部分）运动到点B，若P、Q两点的运动速度相同，请问谁先到达点B？请说明理由.（参考数据： ）
（图1）
O
C
B
A

O
C
B
A

（图2）

答案：@源:z%zstep.&^co*m]
抛物线与轴的交点为A（-1，0）、B（4，0）
（1） 若△ABC是直角三角形,只有∠ACB=900 。
由题易得△ACO∽△COB
∴ ∴ ∴
∵抛物线开口向下 ∴C(0,2)
把 C（0，2）代入得

（2）由 可得
抛物线的顶点为（，）, 点C(0,2)
当点C向下平移到原点时，
平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点 ∴
当顶点向下平移到轴时，
平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点 ∴
（3）当点C为（0，4）时，抛物线的解析式为
O
C
B
A

（图2）
D
抛物线的顶点为D（，）
连结DC、DB
∵D（，） B（4，0） C（0，4）
∴CD=
DB=
∴CD+DB=2.7+6.75=9.45
∵CO+OB=4+4=8 ∴DB+DC>CO+OB
由函数图像可知第一象限内的抛物线的长度比CD+DB还要长
所以第一象限内的抛物线的长度要大于折线C→O→B的长度
所以点P先到达点B
D
O
x
y
B
C
A
（图8）
28、（2012年北京中考数学模拟试卷）如图8所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
(1)以拱桥的最高点为原点建立如图的坐标系，
求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时m的速度上
升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到
达拱桥顶．
答案：解：(1)由已知可设抛物线为，
又设警戒线到拱顶的距离为，
则C的坐标为(-5,－)，A的坐标为(-10，--3)。