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二次函数的应用题
　　刹车距离，最大利润问题，拱形桥，图形面积最大值．
1．某玩具厂计划生产一种玩具熊，每日最高产量为40只，且每日生产的玩具熊全部售出，已知生产x只玩具熊的成本为R（元），售价为每只P（元），且R、P与x之间的函数关系式分别为，．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，每日获得的利润最大？最大利润是多少？

2．某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50 元，每天都客满．装修后欲提高租金，经调查，一间客房的日租金每增加5元，则客房每天少租6间，不考虑其他因素，每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金的总收入最高？比装修前的日租金的总收入增加多少元？　　

3、有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽是10 米．
（1）建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救灾物质的货车从甲地经此桥到乙地，已知甲地到此桥280km（桥身忽略不计）．货车正以40km/h的速度开往乙地，当行驶一小时时，忽然接到紧急通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点时，禁止车辆通行）．
问：货车以原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

4. 一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮框，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？　　

5、用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子：
（1）若横档为2米，面积为多少平方米？
（2）若横档为4米，面积为多少平方米？
（3）为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米？　　

6．如图，从一张矩形纸较短的一边上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？

7．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销
售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的
利润最大，每件需降价的钱数为（　）
　　A．5元　　　　　　 B．10元 　　
　　C．0元 　　　　　　D．3600元

8．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ）
　　A．10m 　　　B．20m 　　　C．30m 　　　D．60m

9．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（　） 4题图
　　A．3.5m 　　　B．4m 　　　C．4.5m　　　 D．4.6m

10．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离（米）与时间
（秒）间的关系式为，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑
的高度为（　）
　A．24米 　B．12米　C．米 　D．6米

11．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润和月份之间函数关系式为，则该企业一年中应停产的月份是（　）
　　A．1月、2月、3月　　　　　B．2月、3月、4月
　　C．1月、2月、12月 　　　　D．1月、11月、12月
12．如图，点为线段上的一个动点，，分别以和为一边作正方形
用表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（　）
A．当是的中点时，最小
　　B．当是的中点时，最大
　　C．当为的三等分点时，最小
　　D．当为的三等分点时，最大

13．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）.若设绿化带的边长为，绿化带的面积为.
（1） 求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2） 当为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

14．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

15．如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉．已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线为x轴，的中点为原点建立坐标系．
　　①求此桥拱线所在抛物线的解析式．
　　②桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处12m的鱼船，试探索此船能否开到桥下?说明理由．

16．如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
　　（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
　　（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）
　　（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？
　　　　（取）

参考答案：
　　1. B 2. A 3. A 4. B 5.B 6. C 7.A

　　8．（1） 自变量的取值范围是
　　　 （2） ，所以当时，有最大值.
　　　　　　即当时，满足条件的绿化带的面积最大.

　　9. （1）化简得：
　　　 （2）
　　　 （3） ，抛物线开口向下．
　　　　　　当时，有最大值 又，随的增大而增大
　　　　　　当元时，的最大值为元
　　　　　　当每箱苹果的销售价为元时，可以获得元的最大利润．

　　10．解：（1）．设抛物线为 点坐标代入得：
　　　　　　　　 点坐标代入得：
　　　　　　　　 解得，所求抛物线为
　　　　　　（2）当时得，
　　　　　　　　 高出水面处，拱宽（船宽）
　　　　　　　　 所以此船在正常水位时不可以开到桥下.

　　11．解：

　　（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为
　　　　 由已知：当时即
　　　　 表达式为（或）
　　（2）令
　　　　 （舍去）．
　　　　 足球第一次落地距守门员约13米．
　　（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为
　　　　 　　　　根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了2个单位）
　　　　　　　　 解得
　　　　　　　　 （米）．
　　　　 解法二：令
　　　　 　　　　解得（舍）， 点坐标为（13，0）．
　　　　 　　　　设抛物线为 将点坐标代入得：
　　　　 　　　　解得：（舍去），
　　　　　　　　 令
　　　　　　　　 （舍去）， （米）．
　　　　 解法三：由解法二知， 所以所以　　
例1解：设每日产量为只，获得利润y元，则，
　　　　即，其中，且x是整数．
　　　　（1）当时，，解得，（舍）．
　　　　（2）因为，所以当时，利润最大（元）．
　例2解：设日租金增加元，则收入， x是非负整数．
　　　　即（x是非负整数）．
　　　　当时，（元）．
　　　　即日租金提高到75元时，总收入最高，比装修前增加750元．
　例3　分析：（1）在平面直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，需要知道抛物线上点的坐标，因此将题目中的条件转化为抛物线上点的坐标是解决问题的关键。
　　（2）货车能否安全通过此桥，可从三个方面考虑。
　　一、可以对货车从接到通知到到达桥的时间与水位到达最高点的时间进行比较。前者小于后者，就可以安全通过，否则，不可以。
　　二、先求出水位到达最高点需要的时间，然后计算出按原速度行驶的总路程与甲地到此桥的路程进行比较，前者大于后者，就可以安全通过，否则，不可以。
　　三、先求出水位到达最高点需要的时间，然后计算出按此时间到达此桥需要的速度与原速度进行比较，前者小于后者，就可以安全通过，否则，不可以。
　　这里，给出一种方法，其余的方法请同学们自己尝试。
　　解：如图，设AB、CD分别交y轴于E、F，抛物线顶点为O点．

　　（1）设解析式为，根据题意，（5，25a），B（10，100a）．
　　　　 则，所以，即解析式为；
　　（2）由（1）可知，，
　　　　 即水位距离桥顶还有1m，所以水位达到桥拱最高点还要（h）；
　　　　 货车以原速行驶，可以行驶，说明不能通过此桥．
　　　　 要想通过此桥，速度应超过（km/h）．

　例4　分析：由于篮球运行的路线是抛物线，可建立适当的直角坐标系，并把相关的数椐写成点的坐标，再利用点的坐标及待定系数法求出运行路线的解析式．最后算出跳离地面的高度．
　　解：在直角坐标系中，点A（1.5，3.05）表示篮框，点B（0，3.5）表示球运行的最大高度，
　　　　点C表示球员篮球出手处，其横坐标为．
　　　　设C点的纵坐标为n，
　　　　设点C、B、A所在的抛物线的解析式为，
　　　　由于抛物线的开口向下，则点B（0，3.5）为顶点坐标，
　　　　所以．
　　　　∵抛物线经过点A（1.5，3.05）．
　　　　∴，解得．
　　　　∴抛物线的解析式为．
　　　　∴
　　　　所以，球员跳离地面的高度为．
　　注意在解题过程中把实际语言转化为数学语言．
　　【总结】例3、例4都是在平面直角坐标系中，通过建立抛物线的解析式来解决实际问题，解决这类问题的关键是要把相关的线段长转化为抛物线上点的坐标，确定出抛物线的解析式，然后再把问题转化为已知抛物线上点的横坐标（或纵坐标），求其纵坐标或（横坐标），再转化为线段长回答实际问题。

　例5　解：（1）横档为2米时，长为6米，面积为12平方米．
　　　　（2）横档为4米，长为3米，面积为12平方米．
　　　　（3）设每条水平窗框的长为x米，矩形窗户的面积为y平方米．
　　　　 　　则有，其中且．
　　　　 　　即（）．
　　　　 　　当（m）时，y最大值为（）．

例6　　讨论：不妨设矩形短边长为a，AE为x，则DE为．设两个正方形面积的和为y．
　　　　　则有，即
　　　　　即当时，y有最小值；即当E为短边的中点时，两个正方形面积的和最小．
　　【总结】例5、例6都是求图形面积的最值问题，通常要将图形面积（或周长）表示成某变量（通常是某线段）的二次函数，利用二次函数的最值知识解决。

1．烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行
　 　　时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到