上海高三数学应用题汇编(修改).doc

高三数学应用题汇编
一、函数
1、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每一小时可获得的利润是元.
(1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.
(1) 生产该产品2小时的利润为.
由题意，，解得或.
又，所以.
(2) 生产900千克该产品，所用的时间是小时，
获得的利润为.
记，
则，当且仅当时取到最大值.
最大利润为元.
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.

2、某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利润需要提高
（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？
（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.
【解】（1）根据题意可得，……3分
展开并整理得，……5分
解得，最多调出的人数为人……6分
（2），解得……7分
，对于任意的恒成立……9分
即
即对于任意的恒成立……10分
当时，不等式显然成立；
当时，……11分
令函数，可知函数在区间上是单调递减函数……12分
故，故……13分
故，所以实数的取值范围是……14分

3、如图所示，沿河有、两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），
河流
A
B
污水处理厂★
x
依据经验公式，建厂的费用为（万元），表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），表示输送污水管道的长度（千米）；
已知城镇和城镇的污水流量分别为、，、两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）
（1）若在城镇和城镇单独建厂，共需多少总费用？
（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇到拟建厂的距离为千米，求联合建厂的总费用与的函数关系式，并求的取值范围；
[解] （1）分别单独建厂，共需总费用
万元 ……………4分
（2）联合建厂，共需总费用
（）
所以与的函数关系式为（）……8分
令（）
………10分

的取值范围为． …………………………14分

4、如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米. 设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和.
α
β
A
C
B
D

(1) 设计中CD是铅垂方向. 如要求，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
(2) 施工完成后，CD与铅垂方向有偏差. 现在实测得，，求CD的长（结果精确到0.01米）.
解：(1) 记. 根据已知得，
，，所以，
解得. 因此，CD的长至多约为28.28米.
(2) 在△ABD中，由已知，，，
由正弦定理得，解得.
在△BCD中，由余弦定理得，
解得. 所以，CD的长约为26.93米.

5、如图，三地有直道相通，千米，千米，千米. 现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）. 甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时. 乙到达地后在原地等待. 设时，乙到达地.
(1) 求与的值；
(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是千米. 当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过？说明理由.
解：(1) . 2分
记乙到时甲所在地为，则千米.
在△中，，
所以（千米）. 6分
(2) 甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时.
当时，；
当时，. 10分
所以 11分
因为在上的最大值是，在上的最大值是， 所以在上的最大值是，不超过. 14分

A
B
C
D
6、某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．
设
（1）求灯柱AB的高（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与
灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
（结果精确到0.01米）
解.（1）三角形ACD中，，
由 ，得
.................................3分
三角形ABC中，
由 ，得
...................6分
（2）三角形ABC中，
由 ，得
.................................9分
所以
.......................................................11分
因为，所以
所以当时，取得最小值......................13分
制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米. .....14分

7、 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”，
兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记点为塔基、点为塔尖、
点在地面上的射影为点，在塔身射影所在直线上选点，使仰角，
过点与成的地面上选点，使仰角（点、、都在同一水平
面上），此时测得，与之间距离为33.6米，试求：
（1）塔高；（即线段的长，精确到0.1米）
（2）塔的倾斜度；（即的大小，精确到）

解：(1)设塔高由题意知，,
所以均为等腰直角三角形
∴ ……………2分
在中， ， ，
∴……………6分
(2)在中， ，
， ，
由 ，
得……………10分
∴ ……………13分
所以塔高米，塔的倾斜度为。 ……………14分

二、解析几何
1、有一块正方形菜地，所在直线是一条小河. 收获的蔬菜可送到点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等. 现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图.

(1) 求菜地内的分界线的方程；PF制作
Ÿ
(2) 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为. 设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”.
解：(1) 因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为.
(2) 依题意，点的坐标为.
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为.
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的 绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”.

2、如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为、．测得，．以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以的平均速度在水上旅游线航行（将航线看作直线，码头在第一象限，航线经过）．
（1）问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟？
（2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点C的坐标.
解：（1）由已知得： ，直线的方程为， ………1分

O
M
设，由及图得， ………3分
直线的方程为，即， ………5分
由得即， ………6分
，即水上旅游线的长为．
游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间． ………8分
（2）解法1：点到直线的垂直距离最近，则垂足为。 ………10分
由（1）知直线的方程为，，则直线的方程为， ………12分
所以解直线和直线的方程组，得点的坐标为（1，5）． ……14分
解法2：设游轮在线段上的点处，
则，， ………10分
，
，则
，， ………12分
时，
当时，离景点最近，代入得离景点最近的点的坐标为（1，5）．

3、在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南角方向，300 km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km / h的速度不断增大．
(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；
(2) 城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？
解：（1）如图建立直角坐标系， …………1分
则城市，当前台风中心，
设t小时后台风中心P的坐标为，则，此时台风的半径为，
10小时后，km，台风的半径为160km,
, ……………………………5分
故，10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A. ………1分
（2）因此，t小时后台风侵袭的范围可视为以
为圆心，为半径的圆，
若城市A受到台风侵袭，则

，即，……………………………5分
解得 ……………………………1分
答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. ……………………………1分

4、某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．
　　已知米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为．
（1）若，AD足够长，如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到）
（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？
D
A
E
B
C
P
解：（1）中，........2分
由正弦定理，得：
所以............................................................................................4分
所以
所以应在矩形区域内，按照与夹角为的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功.............................................................................................................6分
（2） 以所在直线为轴，中垂线为轴，建平面直角坐标系，
设...........................................................................................8分
由题意，知，所以
所以..................................................................11分
即点的轨迹是以为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域内的部分
所以当米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲...........................................14分
5．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．
（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求
救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

三、数列
1、某市2017年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2017年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
（1）记2017年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

…

3

…
（2）从2017年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？
解：（1）

9
8.5
…

3
4.5
6.75
…
当且时，；
当且时，．
------4分 而，
-------------------------------------------------------------7分
（2）当时，．---------------8分
当时，
------------------------------------------------------------11分
由 得，即，
解得 --------------------------------------------------------------13分
到2029年累积发放汽车牌照超过200万张----------------------------------------------------14分

2、某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间个月的二次函数（是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
（1）求前8个月的累计生产净收入的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．
解：（1）据题意，解得，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
第5个月的净收入为万元，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
所以，万元．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
（2）
即﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
要想投资开始见效，必须且只需

即﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
当时，
即不成立；﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
当时，即，﹒﹒﹒﹒2分
验算得，时，． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
所以，经过9个月投资开始见效． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
3、为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型：
以表示第个时刻进入园区的人数；
以表示第个时刻离开园区的人数．
设定以分钟为一个计算单位，上午点分作为第个计算人数单位，即；点分作为第个计算单位，即；依次类推，把一天内从上午点到晚上点分分成个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试计算当天点至点内，进入园区的游客人数、离开园区的游客人数各为多少？
（2）假设当日园区游客总人数达到或超过万时，园区将采取限流措施．该单位借助该数学模型知晓当天点（即）时，园区总人数会达到最高，请问当日是否要采取限流措施？说明理由．
（3）假设从点分（即）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．
解：（1）当天点至点这一小时内进入园区人数为
（人） …………………3分
离开园区的人数（人） ………………6分
（2）当天下午点（）时
进入园区人数为

（人） ………10分
此时，离开园区的人数
人………12分
此时，园区共有游客为（人） ………13分
因为，所以当天不会采取限流措施． ………14分
（3）当时，游客人数递增；当时，游客人数递减．…7分
① 当时，由，可得：
当时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分
当时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分
（；）
② 当时，由递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分
综上，当天下午点时（）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有人. ………………14分

4、李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2018年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1) 问到2018年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)
(2) 如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？
解法1：（1）设个月的余款为，则
，
，
。。。。。。
，
=（元），
解法2：，一般的，，
构造，
，
. （2）194890-100000´1.05=89890（元），能还清银行贷款。
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