-2018学年深圳市宝安区九年级(上)期末数学试卷(答案版).doc

2017-2018学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）方程x2=3x的解为（　　）
A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3
2．（3分）下面左侧几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如果=2，则的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
4．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
5．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
6．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950
C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950
7．（3分）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（　　）
A．y=+2000 B．y=﹣2000 C．y= D．y=
8．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（　　）

A．19° B．18° C．20° D．21°
9．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．二次函数y=（x+1）2﹣3的顶点坐标是（1，3）
B．将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（x+2）2的图象
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．平面内，两条平行线间的距离处处相等
10．（3分）如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（　　）

A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m
11．（3分）一次函数y=ax+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+x+c的图象可能大致是（　　）

A．B． C． D．
12．（3分）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为　 　．
14．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴方程是　 　．
15．（3分）如图，点A在曲线y=（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB=1时，△ABC的周长为　 　．

16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE，若AD=6，则GE的长是　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17．（5分）计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．

18．（5分）x2﹣8x+12=0．

19．（8分）在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同．
（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；
（2）若在布袋中再添加a个红球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为，试求a的值．

20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．
（1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．

21．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书　 　本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA=4，OC=2，∠COA=45°．反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接AC，CD．
（1）试求反比例函数的解析式；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）如图2，连接OD，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC=S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

2017-2018学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）方程x2=3x的解为（　　）
A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3
【解答】解：∵x2﹣3x=0，
∴x（x﹣3）=0，
则x=0或x﹣3=0，
解得：x=0或x=3，
故选：D．
2．（3分）下面左侧几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从左面看，是一个长方形．
故选：C．
3．（3分）如果=2，则的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【解答】解：∵=2，
∴a=2b，
∴==3．
故选：A．
4．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
【解答】解：根据题意得=0.4，
解得：n=30，
故选：B．
5．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1且a≠0，
故选：B．
6．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950
C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950
【解答】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，
列出方程为：300（1+x）2=950．
故选：D．
7．（3分）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（　　）
A．y=+2000 B．y=﹣2000
C．y= D．y=
【解答】解：由题意可得：y==．
故选：C．
8．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（　　）

A．19° B．18° C．20° D．21°
【解答】解：连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=38°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°．
故选：A．
9．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．二次函数y=（x+1）2﹣3的顶点坐标是（1，3）
B．将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（x+2）2的图象
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．平面内，两条平行线间的距离处处相等
【解答】解：A、二次函数y=（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3），错误；
B、将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=x2+2的图象，错误；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，错误；
D、平面内，两条平行线间的距离处处相等，正确；
故选：D．
10．（3分）如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（　　）

A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m
【解答】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，
∴=、=，即=、=，
解得：DE=1.5、HG=2.5，
∵HG﹣DE=2.5﹣1.5=1，
∴影长边长1m．
故选：A．
11．（3分）一次函数y=ax+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+x+c的图象可能大致是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数y=ax+c的图象经过一三四象限，
∴a＞0，c＜0，
故二次函数y=ax2+x+c的图象开口向上，对称轴在y轴左边，交y轴于负半轴，
故选：C．
12．（3分）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；
②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF=OC，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠OFC=∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD=90°，
∴∠GFM+∠AMD=90°，
∴∠FGM=90°，
∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH，
∴∠DAP=∠H，
∵∠DAP=∠PCM，
∴∠PCM=∠H，
∵∠CPM=∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴=，
∴PC2=PM•PH，
根据对称性可知：PA=PC，
∴PA2=PM•PH．
④错误．∵四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC=2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1；
故选：B．

二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为　　．
【解答】解：∵共有3张卡片，卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，卡片上的数字为负数的有2张，
∴卡片上的数字为负数的概率为；
故答案为：．
14．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴方程是　x=﹣　．
【解答】解：y=﹣（x﹣1）（x+2）
=﹣（x2+x﹣2）
=﹣（x+）2+，
∴二次函数y=﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴为x=﹣，
故答案为：x=﹣．
15．（3分）如图，点A在曲线y=（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB=1时，△ABC的周长为　4　．

【解答】解：∵点A在曲线y=（x＞0）上，AB⊥x轴，AB=1，
∴AB×OB=3，
∴OB=3，
∵CD垂直平分AO，
∴OC=AC，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4，
故答案为：4．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE，若AD=6，则GE的长是　　．

【解答】解：作EH⊥AB于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，
∴OA=OB=6，
∵OB=3OE，
∴OE=2，EB=4，
∵∠EBH=∠BEH=45°，
∴EH=BH=2，
∴AH=AB﹣BH=4，
∵∠ADG+∠DAF=90°，∠DAF+∠EAH=90°，
∴∠ADG=∠EAH，∵∠DAG=∠AHE，
∴△DAG∽△AHE，
∴=，
∴=，
∴AG=3，
∴GH=AH﹣AG=，
在Rt△EGH中，EG==．
故答案为．
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17．（5分）计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．
【解答】解：原式=1﹣3+2+3
=3．
18．（5分）x2﹣8x+12=0．
【解答】解：x2﹣8x+12=0，
分解因式得（x﹣6）（x﹣2）=0，
∴x﹣6=0，x﹣2=0，
解方程得：x1=6，x2=2，
∴方程的解是x1=6，x2=2．
19．（8分）在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同．
（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；
（2）若在布袋中再添加a个红球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为，试求a的值．
【解答】解：（1）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白色的有2种情况，
∴随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是：=．

（2）根据题意，得：=，
解得：a=5，
经检验a=5是原方程的根，
故a=5．
20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．
（1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．

【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，
∴DE=EC，DF=CF，∠EGC=∠FGC=90°，DG=CG
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECG=∠FCG，
∵CG=CG，
∴△CGE≌△FCG（ASA），
∴GE=GF，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∵DE=CE，
∴四边形DFCE是菱形；
（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF=∠DHB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=BD=1，
在Rt△DHB中，DH==，
∵四边形DFCE是菱形，
∴DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴DH=FH=，
∴BF=BH+FH=1+．

21．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书　（300﹣10x）　本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
【解答】解：（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为：（300﹣10x）．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA=4，OC=2，∠COA=45°．反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接AC，CD．
（1）试求反比例函数的解析式；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）如图2，连接OD，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC=S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥x轴于E，
∴∠CEO=90°，
∵∠COA=45°，
∴∠OCE=45°，
∵OC=2，
∴OE=CE=2，
∴C（2，2），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数解析式为y=，

（2）如图2，过点D作DG⊥x轴于G，交BC于F，
∵CB∥x轴，
∴GF⊥CB，
∵OA=4，
由（1）知，OC=CE=2，
∴AE=EC=2，
∴∠ECA=45°，∠OCA=90°，
∵OC∥AB，
∴∠BAC=∠OCA=90°，
∴AD⊥AC，
∵A（4，0），AB∥OC，
∴直线AB的解析式为y=x﹣4①，
∵反比例函数解析式为y=②，
联立①②解得，或（舍），
∴D（2+2，2﹣2），
∴AG=DG=2﹣2，
∴AD=DG=4﹣2，
∴DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，
∴AD=DF，
∵AD⊥AC，DF⊥CB，
∴点D是∠ACB的角平分线上，
即：CD平分∠ACB；

（3）存在，∵点C（2，2），
∴直线OC的解析式为y=x，OC=2，
∵D（2+2，2﹣2），
∴CD=2﹣2
Ⅰ、如图3，当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2，
∵S△POC=S△COD，
∴设CD的中点为M，
∴M（+2，），
过点M作MP∥OC交双曲线于P，
∴直线PM的解析式为y=x﹣2③，
∵反比例函数解析式为y=④，
联立③④解得，
或（舍），
∴P（+1，﹣1）；
Ⅱ、当点P'在点C左侧时，即：点P'的横坐标大于0而小于2，
设点M关于OC的对称点为M'，M'（m，n），
∴=2，=2，
∴m=2﹣，n=4﹣，
∴M'（2﹣，4﹣），
∵P'M'∥OC，
∴直线P'M'的解析式为y=x+2⑤，
联立④⑤解得，或（舍），
∴P'（﹣1，+1）．
即：点P的坐标为（﹣1，+1）或P（+1，﹣1）．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
所以可以假设y=a（x+2）（x﹣4），
∵OC=2OA，OA=2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣，
∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．

（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F．

∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m==，
∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y=﹣x+4，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，
∴m==﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．

（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，

有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=，
∴直线DP的解析式为y=x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），
由△DOE∽△QOD可得=，
∴OD2=OE•OQ，
∴1=•OQ，
∴OQ=，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，

∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2=PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16=13，
整理得x2﹣2x+4=0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
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