中考几何初步与三角形必考知识点解题技巧.docx

§5　几何初步与三角形
教学目标

板块
教学目标
A级目标
B级目标
C级目标
线段、射线、直线
会表示点、线段、射线、直线，知道它们之间的联系和区别；结合图形理解两点之间的距离的概念；会比较两条线段的大小，并能进行与线段有关的简单计算
会用尺规作图：做一条线段等于已知线段，做已知线段的垂直平分线；会用线段中点的知识解决简单问题；结合图形认识线段间的数量关系
会运用两点间的距离解决有关问题
相交线 平行线
了解余角、补角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相同；了解垂线、垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，了解点到直线的距离的意义；了解线段垂直平分线及其性质；知道过直线外一点有且只有一条直线平行与已知直线；知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解两平行线之间距离的意义，会度量两平行线间的距离
会用三角尺和直尺过直线外一点做这条直线的平行线；会用直尺或量角器过一点做已知直线的垂线；会用线段垂直平分线的性质解决简单问题；掌握平行线的性质，会判断两条直线是否平行

角、角分线
会识别角并会表示；认识角、分、秒，并会进行简单换算；会度量角的大小并进行简单计算；会比较两个角的大小；了解角平分线的概念并会表示
会尺规作图：作一个角等于已知角，做已知角的角平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；会结合图形认识角与角之间的数量关系

三角形
了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心
会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题

学习内容

知识梳理

一、 点、线、面和角
1、 线段、射线、直线

直线、射线、线段的概念：
① 在直线的基础上定义射线、线段：
直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．
直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．
② 在线段的基础上定义直线、射线：
把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线，
把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．
点与直线的关系：点在直线上；点在直线外．
两个重要公理：
① 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．
② 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．
两点之间的距离：两点确定的线段的长度．
⑴ 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：，，，，……
⑵ 直线的表示方法：
① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB，如下图⑴
也可以写作直线BA．

② 用一个小写字母来表示，如直线，如上图⑵．
注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序．
⑶ 射线的表示方法：
① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA，如图⑶，但不能写作射线AO．
② 用一个小写字母来表示，如射线，如图⑷．

注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的端点在前．
⑷ 线段的表示方法：
① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB，如图⑸，也可以写作线段BA．
② 也可以用一个小写字母来表示：如线段，如图⑹．

注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．
直线、射线、线段的主要区别：
类型
端点
延长线及反向延长线
用两个大写字母表示
直线
个
无
无顺序
射线
个
有反向延长线
第一个表示端点
线段
个
两者都有
无顺序
中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．

2、 角
板块一 基本概念
知识点 角的定义
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2） 顶点是这两条边的交点；
（3） 角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4） 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.

知识点 角的表示方法
① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．
注意 顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．
注意 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．

③ 用数字来表示角，如图2.1．

④ 用希腊字母来表示角，如图2.2．

知识点 单位换算
1度＝60分() 1分=60秒()

板块二 角度求解
知识点 角的度量
（1） 度量角的工具常用量角器
用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）
（2） 角的度量单位及其换算
角的度量单位是度、分、秒．把平角分成等份，每一份就是一度的角，记做．把一度的角等分，每一份叫做分的角，记做．把一分的角等分，每一份叫做秒的角，记做．
角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
角的分类：
锐角（），直角（），钝角（）．

知识点 两角的和、差、倍、分
（1） 两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.
（2） 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.
（3） 角平分线的画法：①用量角器②用折叠法
在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q
为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？

用尺规做已知角的平分线方法
作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于两点；
（2）分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，画弧交于点；
（3）过C点作射线OC。
所以，射线OC就是所求作的。

知识点 余角、补角
（1） 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.
（2） 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.
（3） 补角、余角的性质
同角或等角的补角相等.
同角或等角的余角相等.

知识点 方位角
方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东度”、“北偏西度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.

二、 相交线与平行线
1、相交线
板块一 基本概念
1.相交直线的概念及性质
如果直线与直线只有一个公共点，则称直线与直线相交，为交点，其中一条是另一条的相交线．
相交线的性质：两直线相交只有一个交点．

板块二 对顶角和邻补角
2.邻补角的概念：
两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.
如图中，和，和，和，和互为邻补角.
互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。
3.对顶角的概念及性质：
（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，和，和是对顶角.
（2）对顶角的性质：对顶角相等。

板块三 垂直和垂线段
4.垂线的概念及性质：
（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
如图所示，可以记作“于”

（2）垂线的性质：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.

板块四 三线八角
5.同位角、内错角、同旁内角的概念：
①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.
②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角
③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.

看图识角：
（1）“”型中的同位角.如图.

（2）“”字型中的内错角，如图.

（3）“U”字型中的同旁内角.如图.

2、 平行线
板块一 基本概念
平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。
平行线的性质：平行线之间的距离处处相等.
两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
平行线的画法：
平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：
一“落”（三角板的一边落在已知直线上），
二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），
三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），
四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．

板块二 性质与判定
平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
平行线的判定
两直线平行的判定方法
方法一　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同位角相等，两直线平行
方法二　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：内错角相等，两直线平行
方法三　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行
方法四 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
方法五 （平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
方法六 （平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行
平行线的性质：
性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等
简称：两条直线平行，同位角相等
性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
简称：两条直线平行，内错角相等
性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
简称：两条直线平行，同旁内角互补
两条平行线间的距离：
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两
条平行线的距离。平行线间的距离处处相等

三、三角形
1、边与角
板块一　与三角形有关的边

与三角形相关的边
⑴三角形中的三种重要线段
①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．
②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部．
③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．
注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．
锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；
钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，
直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．
画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．
⑵三角形三条边的关系
①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．
②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即、、三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段．
注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．

板块二　与三角形有关的角
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于．
三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的．
三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非个外角之和)．
三角形的外角和等于．
三角形内角和定理的三个推论：
推论1： 直角三角形的两个锐角互余．
推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
三角形内角和的几种证明方法：
①添加平行线法：

②帕斯卡(法国数学家)折纸法：

③更具动手可行性的剪角法：(不严密)把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．
三角形外角和的证明法：

三角形按最大角的大小来分类：

三角形的角与不等式：
⒈若为锐角三角形，则，，；
⒉若为直角三角形，且，则，，
，，．
⒊若为钝角三角形，且，则，，．

多边形及其内角和

１ 基本概念
⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．
⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．
⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．
⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．

２ 基本性质
⑴ 稳定性．
⑵ 内角和与外角和定理．
如下图，边形的内角和为，多边形的外角和都是．

⑶ 边形的对角线：一个顶点有条对角线，共有条对角线．
⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于．

2、 全等
板块一 全等的概念

全等图形：
能够完全重合的两个图形就是全等图形．

全等多边形：
能够完全重合的多边形就是全等多边形．
相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
全等多边形的对应边、对应角分别相等．
如下图，两个全等的五边形，记作：五边形≌五边形．
这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．

全等三角形：
能够完全重合的三角形就是全等三角形．
全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；
反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．
全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

板块二 全等的性质和判定

全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

判定三角形全等的基本思路：

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

由全等可得到的相关定理：
⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．
⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)．
⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．
⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．
⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
3、三角形的中位线
中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．
也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．
以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中
位线，再用中位线的性质．

定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．
例题讲解

板块一：图形初步及相交线、平行线
考点一：几何体的展开图
例1 （2013•南京）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（　　）

A． B．
C． D．
思路分析：由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项B能折叠成原几何体的形式；
选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选B．
点评：本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
对应训练
1．（2013•绵阳）把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（　　）

A． B． C． D．
1．B
考点二：余角和补角
例2 （2013•福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（　　）
A．20° B．40° C．50° D．60°

思路分析：根据互余两角之和为90°即可求解．
解：∵OA⊥OB，∠1=40°，
∴∠2=90°-∠1=90°-40°=50°．
故选C．
点评：本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．
对应训练
2．（2013•厦门）∠A=60°，则∠A的补角是（　　）
A．160° B．120° C．60° D．30°
2．B
考点三：相交线与垂线
例3 （2013•曲靖）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE= 40°
．

思路分析：根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义解答．
解：∵∠BOD=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠AOC=40°．
故答案为：40°．
点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
对应训练
3．（2013•德宏州）如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于（　　）
A．30° B．34° C．45° D．56°

3．B
考点四：平行线的判定与性质
例4 （2013•随州）如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是（　　）
A．35° B．70° C．90° D．110°

思路分析：首先根据∠1=∠2，可根据同位角相等，两直线平行判断出a∥b，可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．
解：如图，

∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠3=∠5，
∵∠3=70°，
∴∠5=70°，
∴∠4=180°-70°=110°，
故选：D．
点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系
对应训练
4．（2013•孝感）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（　　）
A．120° B．130° C．140° D．40°

4．C
考点五：真假命题的识别
例5 （2013•深圳）下列命题是真命题的有（　　）
①对顶角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④有三个角是直角的四边形是矩形；
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．.1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路分析：根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．
解：①对顶角相等正确，是真命题；
②两直线平行，内错角相等正确，是真命题；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形相似，原命题错误，是假命题；
④有三个角是直角的四边形是矩形，正确，是真命题；
⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原命题错误，是假命题，
故选C．
点评：此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
对应训练
5．（2013•漳州）下列命题中假命题是（　　）
A．平行四边形的对边相等 B．等腰梯形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线互相垂直
5．D
板块二：三角形与全等三角形
考点一：三角形三边关系
例1 （2013•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11
思路分析：看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．
解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
C、因为9-4＜5＜8+4，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；
D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
故选C．
点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
对应训练
1．（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
1．B
考点二：三角形内角、外角的应用
例2 （2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（　　）
A．15° B．25° C．30° D．10°

思路分析：先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，
∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，
∴∠BFD=180°-45°-120°=15°．
故选A．
点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
对应训练
2．（2013•鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）
A．165° B．120° C．150° D．135°

2．A

考点三：三角形全等的判定和性质
例3 （2013•天门）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．

思路分析：找到两三角形全等的条件，三角形全等就写出来，选择一组证明即可．
解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．
选择△AEM≌△ACN，
理由如下：
∵△ADE≌△ABC，
∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，
∴∠EAM=∠CAN，
∵在△AEM和△ACN中，
，
∴△AEM≌△CAN（ASA）．
点评：本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例4 （2013•宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．

思路分析：要证明BE=CD，把BE与CD分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用AAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．
证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用．

对应训练
3．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．

3．解：△ACE≌△BCD．
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角），
在△ACE和△BCD中，
∵，
∴△ACE≌△BCD．
4．（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．

4．证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD与△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE．
考点四：全等三角形开放性问题
例5 （2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是 ∠C=∠E
．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．

思路分析：（1）可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件；
（2）根据全等三角形的判定方法证明即可．
解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，
∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，
若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，
若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，
综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）；
故答案为：∠C=∠E；

（2）选∠C=∠E为条件．
理由如下：在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．

对应训练
5．（2013•昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 BC=EF
，就得△ABC≌△DEF．

5．BC=EF
板块三：等腰三角形与直角三角形
考点一：角的平分线
例1 （2013•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 15
．

思路分析：过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
解：如图，过D作DE⊥BC于E，

∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，
故答案为：15．
点评：本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
对应训练
1．（2013•泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= 35
°．

1．35
考点二：线段垂直平分线
例2 （2013•义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= 70°
．

思路分析：先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．
解：∵AD⊥BC，∠AOC=125°，
∴∠C=∠AOC-∠ADC=125°-90°=35°，
∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠C=35°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°．
故答案为：70°．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键．
对应训练
2．（2013•天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm

2．C
考点三：等腰三角形性质的运用
例3 （2013•武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（　　）
A．18° B．24° C．30° D．36°
思路分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=7，2°
∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC=90°-72°=18°．
故选A．
点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
对应训练
3．（2013•云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= 44°
．

3．44°
考点四：等边三角形的判定与性质
例4 （2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15
度．

思路分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为：15．
点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
对应训练
4．（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．

4．
考点五：三角形中位线定理
例5 （2013•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°

思路分析：在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C．
解：由题意得，∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠C=∠AED=70°．
故选C．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
对应训练
5．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 3
厘米．

5．3
考点六：直角三角形
例6 （2013•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm

思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的