高中数学知识点精讲——极限和导数.doc

第十二章 极限和导数第十四章 极限与导数一、 基础知识1极限定义：（1）若数列un满足，对任意给定的正数，总存在正数m，当nm且nN时，恒有|un-A|f(a)且f(c)=m，则c(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在(a,b)，使证明 令F(x)=f(x)-,则F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)使=0，即15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意xI,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意xI,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函数，则x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、极限1、数列极限：（1）公式：（C为常数）；（p0）；.（2）运算法则：若数列和的极限都存在，则和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.例题： 将直线、（，）围成的三角形面积记为，则 . 已知和是两个不相等的正整数，且，则 习题： . 设0a0）；.（2）运算法则：若函数和的极限都存在，则函数和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.习题： ； . 已知，且，则 . .3、函数的连续性：函数在处连续的充要条件是.习题： 已知函数在x=0处连续，则 . 已知，下面结论正确的是 （ ）（A）在处连续 （B） （C） （D） 若，则常数的值分别为 .三、导数1、导数的概念：（1）导数的定义：函数在处的导数.（2）导数的几何意义：曲线上点处的切线的斜率为.因此曲线在点（）处的切线方程为.（3）导数的物理意义：若质点运动的位移函数为S=s(t),则时质点运动的瞬时速度是.例题： 若，则等于 . 若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 . 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为 已知曲线.(1) 求曲线在点处的切线方程； (2) 求曲线过点的切线方程. 求抛物线上的点到直线距离的最小值.习题： 若，则等于 . 运动曲线方程为，则t=3时的速度是 . 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 曲线在点（1，1）处的切线方程是 . 已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 .2、导数的运算： （1）常见函数的导数：；.；.（2）导数的四则运算法则： ；, ；. （3）复合函数的求导法则：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f()，=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数习题： 若满足，则 . 等比数列中，则 . 求下列函数的导数：（1） （2）. 3、导数的应用：（1）求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求；0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是 . 求函数（）的单调性. 是否存在这样的k值，使函数在（1，2）上递减，在（2，+）上递增（2）求函数的极值：求导数；求方程=0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则在这个根处无极值.例题： 已知函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值，求f（x）的极大值和极小值. 函数f（x）=x36bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围为 . 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围.习题： 已知函数=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则=_ 设为实数，函数，求的极值. 设函数，求函数的极值.（3）求函数的最值：利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值.例题： 函数在区间上的最大值是 . 求抛物线上与点距离最近的点. 设函数，其中常数.（1）讨论的单调性；（2）若当时，恒成立，求的取值范围. 7