高中数学知识点精讲——极限和导数.doc

第十二章 极限和导数
第十四章 极限与导数

一、 基础知识
1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|un-A|<ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
2 极限的四则运算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)•g(x)]=ab,
3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作(x0)或或，即。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
6．几个常用函数的导数：（1）=0（c为常数）；（2）（a为任意常数）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）
7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则
（1）；（2）；（3）（c为常数）；（4）；（5）。
8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x))处可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且（f[(x)]=.
9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则
11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时，当x∈(x0,x0+δ)时，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时，当x∈(x0,x0+δ)时，则f(x)在x0处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。（1）若，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若，则f(x)在x0处取得极大值。
13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使
[证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，.若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。
14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使
[证明] 令F(x)=f(x)-,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即
15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。
16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).

二、极限
1、数列极限：
（1）公式：（C为常数）；（p>0）；.
（2）运算法则：
若数列和的极限都存在，则和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.
例题：① 将直线、、（，）围成的三角形面积记为，则 .
② 已知和是两个不相等的正整数，且，则 ．
习题：① .
② 设0<a<b，则=_ ____.
③ 若，则 ．
④ 等于 ．
⑤ 数列的前n项和为Sn，则＝________.
⑥ 已知数列的首项，其前项的和为，且，则= .

2、函数极限：
（1）公式： （C为常数）； （p>0）；
；.
（2）运算法则：
若函数和的极限都存在，则函数和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.
习题：① ； .
② 已知，，且，则 .
③ .
3、函数的连续性：
函数在处连续的充要条件是.
习题：① 已知函数在x=0处连续，则 .
② 已知，下面结论正确的是 （ ）
（A）在处连续 （B）
（C） （D）
③ 若，则常数的值分别为 .

三、导数
1、导数的概念：
（1）导数的定义：函数在处的导数.
（2）导数的几何意义：曲线上点处的切线的斜率为.因此曲线在点（）处的切线方程为.
（3）导数的物理意义：
若质点运动的位移函数为S=s(t),则时质点运动的瞬时速度是.
例题：① 若，则等于 .
② 若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 .
③ 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为

④ 已知曲线.
(1) 求曲线在点处的切线方程； (2) 求曲线过点的切线方程.
⑤ 求抛物线上的点到直线距离的最小值.
习题：① 若，则等于 .
② 运动曲线方程为，则t=3时的速度是 .
③ 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是

④ 曲线在点（1，1）处的切线方程是 .
⑤ 已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 .

2、导数的运算：
（1）常见函数的导数：
；；；.
；；；.
（2）导数的四则运算法则：
；
, ；
.
（3）复合函数的求导法则：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数
习题：① 若满足，则 .
② 等比数列中，，，，则 .
③ 求下列函数的导数：
（1） （2）.
3、导数的应用：
（1）求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求；>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
例题：① 函数的单调递增区间为 .
② 已知函数，求()的单调区间.
③ 若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.
④已知函数在上是增函数，求的取值范围.
习题：① 函数的单调减区间为 .
② 若恰有三个单调区间，则的取值范围是 .
③ 已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是 .
④ 求函数（）的单调性.
⑤ 是否存在这样的k值，使函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增
（2）求函数的极值：求导数；求方程=0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则在这个根处无极值.
例题：① 已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值，求f（x）的极大值和极小值.
② 函数f（x）=x3－6bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围为 .
③ 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围.
习题：① 已知函数=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则=______
② 设为实数，函数，求的极值.
③ 设函数，，求函数的极值.

（3）求函数的最值：利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值.
例题：① 函数在区间上的最大值是 .
② 求抛物线上与点距离最近的点.
③ 设函数，其中常数.
（1）讨论的单调性；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.

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