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高三数学2017秋季演练方阵第4讲 导数的分类讨论一次型导数的分类讨论类型一:形如考点说明：令，解的，讨论与定义域边界值的关系.【易】1. 已知函数f(x)= lnx ，当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性.【答案】f(x)在(0,)上是单调递增函数.【解析】由题得f(x)的定义域为(0,)，且f (x).a0，f (x)0，故f(x)在(0,)上是单调递增函数.【易】2.已知函数，求函数的单调区间和极值.【答案】当时，在上增,无极值；当时，在上减，在上增,有极小值，无极大值.【解析】.当时，在上递增,无极值；当时，在上减，在上增,有极小值，无极大值.【中】3. 已知函数，求函数的单调区间.【答案】当时，在上递减；函数在上递增，在上递减.【解析】.当时，在上递减；当时，令，解得，所以函数在上递增，在上递减.【难】4.已知函数，求函数的单调性.【答案】，函数在单调递减，函数在单调递增；，函数在单调递增，函数在单调递减.【解析】由得，若，则当时，函数单调递减，则当时，函数单调递增；若，则当时，函数单调递增，则当时，函数单调递减.综上可得：，函数在单调递减，函数在单调递增；，函数在单调递增，函数在单调递减.类型二:形如“”考点说明：讨论根与定义域边界值的关系.【易】1. 已知函数，讨论的单调性.【答案】当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，在上恒成立，所以的单调递减区间为，当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为.综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【易】2.已知函数，讨论的单调性.【答案】当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，在上恒成立，所以的单调递增区间为，当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为.综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【易】3.已知函数，讨论的单调性.【答案】当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，所以的单调递减区间为；当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为；当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为；综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【中】4.已知函数，讨论函数在区间的单调区间.【答案】，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在单调递增.【解析】函数的定义域为，.当时，在上，所以函数在单调递减；当时，在上，函数在单调递减，在上，所以函数在单调递增；当时，在上，函数在单调递增；综上可得：，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在单调递增.【难】5. 已知函数，试讨论在定义域内的单调性.【答案】当时，增区间为，减区间为；当0时，增区间为；当时，增区间为，减区间为【解析】函数的定义域为，当时，令，解得，当，当，所以函数的增区间为，减区间为；当0时，恒成立，所以增区间为；当时，所以增区间为，减区间为.二次型导数的分类讨论类型一:形如“”考点说明：注意根的个数、根与根的大小及根与边界值的关系.【易】1. 已知函数，讨论的单调性.【答案】若在单调增加；若，单调增加，在单调减少.【解析】若单调增加；若且当所以单调增加，在单调减少.【易】2. 设函数（），其中，当时，求函数的极大值和极小值.【答案】，函数在处取得极小值，在处取得极大值；，函数在处取得极小值，在处取得极大值.【解析】令，解得或由于，以下分两种情况讨论:（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且综上可得：，函数在处取得极小值，在处取得极大值；，函数在处取得极小值，在处取得极大值.【易】3. 已知函数，其中，讨论函数的单调性.【答案】，在，内是增函数，在，内是减函数；，在，上内是增函数.【解析】由题意可知函数定义域为，当时，显然(),这时在，上内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值在，内是增函数，在，内是减函数【易】4.已知函数，讨论函数的单调性.【答案】当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，上单调递增.【解析】定义域为，令，得或，则，且，当时，此时在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，上单调递增.【易】5.已知，函数，(的图象连续)，求的单调区间.【答案】的单调增区间是，单调减区间是.【解析】，令，则当变化时，的变化情况如下表：单调递增极大值单调递减所以的单调增区间是，单调减区间是【易】6.已知函数f(x)ax2bxlnx，a，bR当b2a1时，讨论函数f(x)的单调性.【答案】当a0时，x(0，1)时， f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当0a时， f(x)在区间(0，1)和区间(，)上单调递增，在区间(1，)上单调递减；当a时， f(x)在区间 (0，)上单调递增；当a时， f(x)在区间(0，)和区间(1，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减.【解析】因为b2a1，所以f(x)ax2(2a1)xlnx，从而f (x)2ax(2a1)，x0当a0时，x(0，1)时，f (x)0，x(1，)时，f (x)0，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当0a时，由f (x)0得0x1或x，由f (x)0得1x，所以f(x)在区间(0，1)和区间(，)上单调递增，在区间(1，)上单调递减；当a时，因为f (x)0（当且仅当x1时取等号），所以f(x)在区间(0，)上单调递增；当a时，由f (x)0得0x或x1，由f (x)0得x1，所以f(x)在区间(0，)和区间(1，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减.综上，当a0时，x(0，1)时， f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当0a时， f(x)在区间(0，1)和区间(，)上单调递增，在区间(1，)上单调递减；当a时， f(x)在区间 (0，)上单调递增；当a时， f(x)在区间(0，)和区间(1，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减.【中】7.设函数，其中，求函数的单调区间及极值.【答案】在和内减函数，在内增函数.函数在处取得极大值，且=；函数在处取得极小值，且=.【解析】，令，得到，因为，当x变化时，的变化情况如下表：+00+极小值极大值在和内减函数，在内增函数.函数在处取得极大值，且=；函数在处取得极小值，且=.【中】8.已知函数，其中，求的单调区间.【答案】当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和.【解析】由题意可得：. 当时，.故的单调增区间是；单调减区间是.当时，令，得，或.当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和；当时，的单调减区间是；当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和.当时，的单调增区间是；单调减区间是.综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和.【中】9.设函数，讨论函数在定义域内的单调性.【答案】当时，增区间为，减区间为，当时，减区间为当时，增区间为，减区间为，.【解析】由题意可知函数定义域为，令，解得，当时，所以函数增区间为，减区间为，；当时，在恒成立，所以减区间为；当时，所以函数增区间为，减区间为，.【中】10.已知函数，讨论函数的单调区间.【答案】，在，是增函数，在是减函数；，在是增函数；，在,是增函数，在是减函数.【解析】因为的定义域是，.当时，列表增减增在，是增函数；在是减函数.当时，在是增函数.当时，列表增减增在,是增函数；在是减函数.综上：，在，是增函数，在是减函数；，在是增函数；，在,是增函数，在是减函数.【难】11.已知函数，求函数在上的最大值【答案】当时，函数在上的最大值是； 当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是.【解析】 ， x， ，在上单调递增；在上单调递减，当时， 在单调递增，； 当，即时，在单调递增，在单调递减，；当，即时，在单调递减， 综上所述，当时，函数在上的最大值是； 当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是【难】12.已知函数，斜率为的直线与相切于点，当实数时，讨论的极值点.【答案】当时，的极小值点为，极大值点；当时，无极值点；当时，的极大值点为，极小值点.【解析】=得：.若即，+-+极大值极小值此时的极小值点为，极大值点；若即，则， 在上单调递增，无极值点.若即，+-+极大值极小值此时的极大值点为，极小值点.综上可得：当时，的极小值点为，极大值点；当时，无极值点；当时，的极大值点为，极小值点.【难】13.已知函数=ln(1+)-+(0)，求的单调区间.【答案】当时，得单调递增区间是，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.【解析】，.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是；当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，故得单调递增区间是；当时，得，.所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.综上可得：当时，得单调递增区间是，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.类型二:形如“”，函数不能因式分解考点说明：讨论与0之间的关系.【易】1. 设函数 (kN*，aR)，若是偶数，求函数的单调区间【答案】当时，的增区间为；当时，的减区间为，增区间为.【解析】当是偶数时， 所以当时，在上是增函数；当时，由得，且当时，当时，所以在上是减函数，在上是增函数综上可得：当时，的增区间为；当时，的减区间为，增区间为.【易】2.已知函数，记，求的单调区间.【答案】时，增区间为；时，增区间为，减区间为（0，）.【解析】的定义域为（0，+）， 又， 当时，0恒成立在（0，+）上单调递增；令得，当时，若，在 （0，）上单调递减；若，在（，+）上单调递增，故时，增区间为；时，增区间为，减区间为（0，）.【易】3. 已知函数，讨论函数的单调性.【答案】当时，在（0，+）单调增加；当时，故在（0，+）单调减少；当10时，在单调增加，在单调减少.【解析】的定义域为（0，+）. ，当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.综上可得：当时，在（0，+）单调增加；当时，故在（0，+）单调减少；当10时，在单调增加，在单调减少.【中】4.设函数，求的单调区间.【答案】，在内单调递增；，在区间及内单调递增，在内单调递减.【解析】的定义域为，.令，得，当，即时，在内单调递增；当，即时，由解得，且，在区间及内，在内，在区间及内单调递增，在内单调递减.【中】5.知函数，求单调区间.【答案】，在单调递增，时，所以的递增区间为和，递减区间为.【解析】定义域是，设，当时，函数对称轴，所以当时，有，故在恒成立，在单调递增；当时，由，得，故在恒成立，在单调递增；当时，令得，所以的递增区间为和，递减区间为.【中】6. 已知函数，求的单调递增区间.【答案】，的递增区间是；，的递增区间是；，的递增区间为和；，的递增区间为.【解析】，令，若，则，的递增区间是；若，则，方程的两根，当时，的递增区间是；若且，即时，方程的两根，此时的递增区间为和；若且即时，此时的递增区间为.综上可得：，的递增区间是；，的递增区间是；，的递增区间为和；，的递增区间为.【难】7. 已知函数，讨论的单调性.【答案】若时，在上单调递减；若时, 在上单调递增，和上单调递减；若时,在上单调递增,在上单调递减.【解析】.若时，在单调递增，在单调递减；若得,当时,对恒成立, 在上单调递减 ,若时,由得,再令 ,可得或,在上单调递增,在和上单调递减 , 综上所述，若时，在上单调递减；若时, 在上单调递增，和上单调递减；若时,在上单调递增,在上单调递减.【难】8.设函数有两个极值点，且，求的取值范围，并讨论的单调性.【答案】；当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数.【解析】，令，其对称轴为.由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得，当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数.类一、二次型导数的讨论类型一:形如的类型考点说明：讨论的取值范围，确定有无根及有根情况下根与定义域边界值的关系.【易】1. 已知函数，若，求的极大值；【答案】F(x)的极大值【解析】定义域为，令由，由，即上单调递增，在上单调递减，时，F(x)取得极大值【易】2. 设函数，求的单调区间；来【答案】时，在（1，+）上是增函数当时，在上递增，在单调递减.【解析】，时，在（1，+）上是增函数当时，令，解得，当，当，所以，函数在上递增，在单调递减.【易】3.已知函数讨论函数的单调性.【答案】当时，在上单调递增；当时，在单调递增；当时，单调递减.【解析】，当时，所以在上单调递增；当时，由，得此时，当时，单调递增；当时，单调递减.【易】4. 已知函数，求的极值.【答案】极大值【解析】，令得，为增函数，为减函数，有极大值.【易】5.已知函数，试判断函数的单调性.【答案】在上单调递增，在上单调递减【解析】函数的定义域是由已知令，得因为当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减【中】6.已知函数求函数的极值点.【答案】当时，无极值点；当时，有唯一极值点.【解析】的定义域为（1，+），.当时，则在（1，+）上是增函数.在（1，+）上无极值点.当时，令，则.所以当时，在上是增函数，当时，在上是减函数.时，取得极大值.综上可知，当时，无极值点；当时，有唯一极值点.【中】7.已知函数,求函数的最小值.【答案】最小值为【解析】由题意，由得.当时, ；当时，.在单调递减，在单调递增.即在处取得极小值，且为最小值，其最小值为【中】8.设,函数，求函数的的单调递增区间.【答案】当时, 的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为.【解析】在区间上，.当时,恒成立,的单调递增区间为；当时,令,即,得的单调递增区间为.综上所述: 当时, 的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为.【难】9. 已知函数(1)求函数的定义域；(2)求函数的单调区间.【答案】当时函数的定义域为，当时函数的定义域为；当时，的单调递增区间为;单调递减区间为；当时，的单调递增区间为;当时，的单调递增区间为;单调递减区间为.【解析】（1）当时,由得；当时由得综上：当时函数的定义域为；当时函数的定义域为（2），令时，得即，当时，时，当时，故当时，函数的递增区间为，递减区间为；当时，所以，故当时，在上单调递增；当时，若，;若，故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为综上：当时，的单调递增区间为;单调递减区间为；当时，的单调递增区间为;当时，的单调递增区间为;单调递减区间为.类型二:形如“”或“”的类型考点说明：从根的个数、根与根的大小关系、图像的开口方向及斜率角度进行讨论.【易】1.已知函数，求函数的单调区间和极值.【答案】当，函数的单调递增区间为，单调减区间为，的极小值为.【解析】因为，所以，因为，所以当时，当时，所以函数的单调递增区间为，单调减区间为，当时，取得极小值.【易】2. 已知函数，讨论的单调性.【答案】当，在单调递减；当，在单调递减，在单调递增.【解析】的定义域为，若，则，所以在单调递减；若，则由得，当；当，所以在单调递减，在单调递增.【易】3.设是函数的一个极值点，求与的关系式（用表示），并求的单调区间；【答案】；单增区间为：；单减区间为：和.【解析】，由题意得：，即，且，令得，是函数的一个极值点，即，故与的关系式为.当时，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；当时，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；【中】4.，若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示），并确定的单调区间.【答案】；当时，单调递增区间为和，递减区间为；当时，单调递增区间为和，递减区间为.【解析】由题意可知：，是函数的一个极值点，即，解得，则，令，得或，是极值点，即.当即时，由得或，由得；当即时，由得或由得.综上可知：当时，单调递增区间为和，递减区间为；当时，单调递增区间为和，递减区间为.【中】5. 设aR，函数，其中是自然对数的底数， 判断函数在R上的单调性.【答案】当a0时，函数在R上是减函数；当a0时, 由于，可知，函数在R上是减函数；在区间和区间上，函数是增函数；在区上，函数是减函数.综上可知：当a0时，函数在R上是减函数；当a0时, 函数在区间上是增函数；在区上是减函数；在区间上是增函数.【中】6.设，函数为自然对数的底数），判断的单调.【答案】当时，在R上为减函数；当时，在上为增函数；在上为减函数。【解析】令当时，在R上为减函数；当时，的判别式，即，在R上为减函数；当时，由得或，由得在上为增函数；在上为减函数.综上可得：当时，在R上为减函数；当时，在上为增函数；在上为减函数。【中】7. 已知函数其中，当时，求函数的单调区间与极值.【答案】当时，函数在内是增函数，在内是减函数.函数在处取得极大值，函数在处取得极小值，当时，函数在内是增函数，在内是减函数，函数在处取得极大值，函数在处取得极小值。【解析】 令，解得，由知，以下分两种情况讨论：若，则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值所以，函数在内是增函数，在内是减函数.函数在处取得极大值，函数在处取得极小值若，则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值所以，函数在内是增函数，在内是减函数，函数在处取得极大值，函数在处取得极小值。综上可得：当时，函数在内是增函数，在内是减函数.函数在处取得极大值，函数在处取得极小值，当时，函数在内是增函数，在内是减函数，函数在处取得极大值，函数在处取得极小。【中】8. 设函数，讨论的单调性.【答案】，在上递减； ，在上递减；在上递增，在上递减；，在上递减，上递增，在上递减。【解析】，令，的。当时，在上递减；当时，在上递减；在上递增，在上递减； 当时， 在上递减；在上递增，在上递减。综上可得：，在上递减； ，在上递减；在上递增，在上递减；，在上递减，上递增，在上递减。【中】9.已知，讨论的单调性.【答案】当时,在内单调递增,在内单调递减, 当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增, 当时,在内单调递增, 当时, 在内单调递增,在内单调递减, 在单调递增.【解析】的定义域为,当时，时,单调递增, 时, 单调递减, 当时,.时,当或时, 单调递增,当时, 单调递减；时,在内, 单调递增；当时, 当或时, 单调递增, 当时, 单调递减.综上所述, 当时,在内单调递增,在内单调递减, 当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增, 当时,在内单调递增, 当时, 在内单调递增,在内单调递减, 在单调递增.【难】10.设，函数为自然对数的底数），判断的单调性.【答案】，在R上为减函数；，在上为增函数，在上为减函数.【解析】令当时，在R上为减函数；当时，d的判别式在R上为减函数；当时，由得或，由得在上为增函数，在上为减函数。综上，在R上为减函数；，在上为增函数，在上为减函数。【难】11. 已知函数，求的单调区间.【答案】，的单调递增区间是和，单调递减区间是；，单调递减区间是和，单调递减区间是.【解析】，令，当时，与的情况如下：+00+0所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：0+00所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是.综上可得：，的单调递增区间是和，单调递减区间是；，单调递减区间是和，单调递减区间是.第39页