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高三数学∙2017秋季

演练方阵
第4讲 导数的分类讨论

一次型导数的分类讨论

类型一:形如
☞考点说明：令，解的，讨论与定义域边界值的关系.
【易】1. 已知函数f(x)= lnx －，当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性.
【答案】f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.
【解析】由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且f ′(x)＝＋＝.
∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.
【易】2.已知函数，求函数的单调区间和极值.
【答案】当时，在上增,无极值；当时，在上减，在上增,有极小值，无极大值.
【解析】.当时，，在上递增,无极值；当时，，在上减，在上增,∴有极小值，无极大值.
【中】3. 已知函数，求函数的单调区间.
【答案】当时，，在上递减；函数在上递增，在上递减.
【解析】.当时，，在上递减；当时，令，解得，所以函数在上递增，在上递减.
【难】4.已知函数，求函数的单调性.
【答案】，函数在单调递减，函数在单调递增；，函数在单调递增，函数在单调递减.
【解析】由得，，若，则当时，函数单调递减，则当时，函数单调递增；若，则当时，函数单调递增，则当时，函数单调递减.综上可得：，函数在单调递减，函数在单调递增；，函数在单调递增，函数在单调递减.
类型二:形如“”
☞考点说明：讨论根与定义域边界值的关系.
【易】1. 已知函数，讨论的单调性.
【答案】当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，在上恒成立，所以的单调递减区间为，当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为.综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【易】2.已知函数，讨论的单调性.
【答案】当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，在上恒成立，所以的单调递增区间为，当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为.综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【易】3.已知函数，，讨论的单调性.
【答案】当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，，所以的单调递减区间为；当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为；
当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为；综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【中】4.已知函数，讨论函数在区间的单调区间.
【答案】，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在单调递增.
【解析】函数的定义域为，
.当时，，在上，所以函数在单调递减；当时，在上，函数在单调递减，在上，所以函数在单调递增；当时，在上，函数在单调递增；综上可得：，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在单调递增.
【难】5. 已知函数，试讨论在定义域内的单调性.
【答案】当时，增区间为，减区间为；当≤≤0时，增区间为；当时，增区间为，减区间为．
【解析】函数的定义域为，，当时，令，解得，当，当，所以函数的增区间为，减区间为；当≤≤0时，恒成立，所以增区间为；当时，，，所以增区间为，减区间为.
二次型导数的分类讨论

类型一:形如“”
☞考点说明：注意根的个数、根与根的大小及根与边界值的关系.
【易】1. 已知函数，讨论的单调性.
【答案】若在单调增加；若，单调增加，在单调减少.
【解析】
若单调增加；若且当所以单调增加，在单调减少.
【易】2. 设函数（），其中，当时，求函数的极大值和极小值.
【答案】，函数在处取得极小值，在处取得极大值；，函数在处取得极小值，在处取得极大值.
【解析】．令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论:
（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．
（2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．综上可得：，函数在处取得极小值，在处取得极大值；，函数在处取得极小值，在处取得极大值.
【易】3. 已知函数，其中，讨论函数的单调性.
【答案】，在，内是增函数，在，内是减函数；，在，上内是增函数.
【解析】由题意可知函数定义域为，．
当时，显然(),这时在，上内是增函数．
当时，令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：

＋
0
－
－
0
＋

↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
∴在，内是增函数，在，内是减函数．
【易】4.已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，上单调递增.
【解析】定义域为，
，令，得或，∵，则，且，当时，，，此时在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，上单调递增.
【易】5.已知，函数，．(的图象连续)，求的单调区间.
【答案】的单调增区间是，单调减区间是.
【解析】，．令，则．
当变化时，，的变化情况如下表：

单调递增
极大值
单调递减
所以的单调增区间是，单调减区间是．
【易】6.已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R．当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性.
【答案】当a≤0时，x∈(0，1)时， f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．当0＜a＜时， f(x)在区间(0，1)和区间(，＋∞)上单调递增，在区间(1，)上单调递减；当a＝时， f(x)在区间 (0，＋∞)上单调递增；当a＞时， f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减.
【解析】因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，从而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0．当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．当0＜a＜时，由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f ′(x)＜0得1＜x＜，所以f(x)在区间(0，1)和区间(，＋∞)上单调递增，在区间(1，)上单调递减；当a＝时，因为f ′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号），所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＞时，由f ′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f ′(x)＜0得＜x＜1，所以f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减.综上，当a≤0时，x∈(0，1)时， f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．当0＜a＜时， f(x)在区间(0，1)和区间(，＋∞)上单调递增，在区间(1，)上单调递减；当a＝时， f(x)在区间 (0，＋∞)上单调递增；当a＞时， f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减.
【中】7.设函数，其中，求函数的单调区间及极值.
【答案】在和内减函数，在内增函数.函数在处取得极大值，且=；函数在处取得极小值，且=.
【解析】，令，得到，因为，当x变化时，的变化情况如下表：

+
0
－
0
+

↓
极小值
↑
极大值
↓
在和内减函数，在内增函数.函数在处取得极大值，且=；函数在处取得极小值，且=.
【中】8.已知函数，其中，求的单调区间.
【答案】当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和.
【解析】由题意可得：.
⑴当时，.故的单调增区间是；单调减区间是.
⑵当时，令，得，或.当时，与的情况如下：

↘

↗

↘
所以，的单调增区间是；单调减区间是和；当时，的单调减区间是；当时，，与的情况如下：

↘

↗

↘
所以，的单调增区间是；单调减区间是和.
⑶当时，的单调增区间是；单调减区间是.综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和.

【中】9.设函数，讨论函数在定义域内的单调性.
【答案】当时，，增区间为，减区间为，．当时，，减区间为．当时，，增区间为，减区间为，.
【解析】由题意可知函数定义域为，．令，解得，当时，，，，，所以函数增区间为，减区间为，；当时，，在恒成立，所以减区间为；当时，，，，所以函数增区间为，减区间为，.
【中】10.已知函数，讨论函数的单调区间.
【答案】，在，是增函数，在是减函数；，在是增函数；，在,是增函数，在是减函数.
【解析】因为的定义域是，.
⑴当时，列表

＋
－
＋

增
减
增
在，是增函数；在是减函数.
⑵当时，，在是增函数.
⑶当时，列表

＋
－
＋

增
减
增
在,是增函数；在是减函数.综上：，在，是增函数，在是减函数；，在是增函数；，在,是增函数，在是减函数.
【难】11.已知函数，求函数在上的最大值．
【答案】当时，函数在上的最大值是； 当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是.
【解析】∵ ，∴．
∵ x∈， ∴，∴在上单调递增；在上单调递减，⑴当时， 在单调递增，∴；
⑵当，即时，在单调递增，在单调递减，∴；⑶当，即时，在单调递减，∴．
综上所述，当时，函数在上的最大值是；
当时，函数在上的最大值是；
当时，函数在上的最大值是．

【难】12.已知函数，斜率为的直线与相切于点，当实数时，讨论的极值点.
【答案】当时，的极小值点为，极大值点；当时，
无极值点；当时，的极大值点为，极小值点.
【解析】=

得：.⑴若即，

+

-

+

极大值

极小值

此时的极小值点为，极大值点；
⑵若即，，则， 在上单调递增，无极值点.⑶若即，，

+

-

+

极大值

极小值

此时的极大值点为，极小值点.
综上可得：当时，的极小值点为，极大值点；当时，
无极值点；当时，的极大值点为，极小值点.
【难】13.已知函数=ln(1+)-+(≥0)，求的单调区间.
【答案】当时，得单调递增区间是，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.
【解析】，.⑴当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是；⑵当时，由，得，，所以，在区间和上，；在区间上，，故得单调递增区间是和，单调递减区间是；⑶当时，故得单调递增区间是；⑷当时，，得，.所以，在区间和上，；在区间上，，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.综上可得：当时，得单调递增区间是，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.
类型二:形如“”，函数不能因式分解
☞考点说明：讨论与0之间的关系.
【易】1. 设函数 (k∈N*，a∈R)，若是偶数，求函数的单调区间．
【答案】当时，的增区间为；当时，的减区间为，增区间为.
【解析】当是偶数时，，． 所以当时，，在上是增函数；当时，由得，且当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数．综上可得：当时，的增区间为；
当时，的减区间为，增区间为.
【易】2.已知函数，，记，求的单调
区间.
【答案】时，增区间为；时，增区间为，减区间为（0，）.
【解析】的定义域为（0，+∞）， 又
， 当时，>0恒成立∴在（0，+∞）上单调递增；令得，当时，若，∴在 （0，）上单调递减；若，，∴在（，+∞）上单调递增，故时，增区间为；时，增区间为，减区间为（0，）.
【易】3. 已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】当时，在（0，+∞）单调增加；当时，故在（0，+∞）单调减少；当－1＜＜0时，在单调增加，在单调减少.
【解析】的定义域为（0，+∞）. ，当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当－1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.综上可得：当时，在（0，+∞）单调增加；当时，故在（0，+∞）单调减少；当－1＜＜0时，在单调增加，在单调减少.
【中】4.设函数，求的单调区间.
【答案】，在内单调递增；，在区间及内单调递增，在内单调递减.
【解析】的定义域为，.令，得，当，即时，，∴在内单调递增；当，即时，由解得，，，且，在区间及内，，在内，，∴在区间及内单调递增，在内单调递减.
【中】5.知函数，求单调区间.
【答案】，在单调递增，时，，所以的递增区间为和，递减区间为.
【解析】定义域是，，设，，当时，函数对称轴，所以当时，有，故在恒成立，在单调递增；当时，由，得，故在恒成立，在单调递增；当时，令得，，所以的递增区间为和，递减区间为.
【中】6. 已知函数，求的单调递增区间.
【答案】，的递增区间是；，的递增区间是；，的递增区间为和；，的递增区间为.
【解析】，令，⑴若，则，的递增区间是；⑵若，则，方程的两根，，当时，∴的递增区间是；⑶若且，即时，方程的两根，，此时的递增区间为和；⑷若且即时，此时的递增区间为.综上可得：，的递增区间是；，的递增区间是；，的递增区间为和；，的递增区间为.
【难】7. 已知函数，讨论的单调性.
【答案】若时，在上单调递减；若时, 在上单调递增，和上单调递减；若时,在上单调递增,在上单调递减.
【解析】.⑴若时，在单调递增，在单调递减；⑵若得,当时,对恒成立, 在上单调递减 ,⑶若时,由得,,再令 ,可得或,在上单调递增,在和上单调递减 , 综上所述，若时，在上单调递减；若时, 在上单调递增，和上单调递减；若时,在上单调递增,在上单调递减.
【难】8.设函数有两个极值点，且，求的取值范围，并讨论的单调性.
【答案】；当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数.
【解析】，令，其对称轴为.由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得，当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数.
类一、二次型导数的讨论
类型一:形如的类型
☞考点说明：讨论的取值范围，确定有无根及有根情况下根与定义域边界值的关系.
【易】1. 已知函数，若，求的极大值；
【答案】F(x)的极大值
【解析】定义域为，令由，由，即上单调递增，在上单调递减，时，F(x)取得极大值
【易】2. 设函数，求的单调区间；[来
【答案】⑴时，在（—1，+）上是增函数⑵当时，在上递增，在单调递减.
【解析】，⑴时，∴在（—1，+）上是增函数⑵当时，令，解得，当，当，所以，函数在上递增，在单调递减.
【易】3.已知函数讨论函数的单调性.
【答案】当时，在上单调递增；当时，在单调递增；当时，单调递减.
【解析】，当时，，所以在上单调递增；当时，由，得．此时，当时，，单调递增；当时，，单调递减.
【易】4. 已知函数，求的极值.
【答案】极大值
【解析】∵，令得，，，为增函数，，，为减函数，∴有极大值.
【易】5.已知函数，试判断函数的单调性.
【答案】在上单调递增，在上单调递减．
【解析】函数的定义域是．由已知．令，得．因为当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．
【中】6.已知函数求函数的极值点.
【答案】当时，无极值点；当时，有唯一极值点.
【解析】的定义域为（1，+∞），.当时，，则在（1，+∞）上是增函数.在（1，+∞）上无极值点.当时，令，则.所以当时，，∴在上是增函数，当时，，∴在上是减函数.∴时，取得极大值.综上可知，当时，无极值点；当时，有唯一极值点.
【中】7.已知函数,求函数的最小值.
【答案】最小值为
【解析】由题意，由得.当时, ；当时，.∴在单调递减，在单调递增.即在处取得极小值，且为最小值，其最小值为
【中】8.设,函数，求函数的的单调递增区间.
【答案】当时, 的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为.
【解析】在区间上，..当时,恒成立,的单调递增区间为；当时,令,即,得的单调递增区间为.综上所述: 当时, 的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为.
【难】9. 已知函数．(1)求函数的定义域；(2)求函数的单调区间.
【答案】⑴当时函数的定义域为，当时函数的定义域为；⑵当时，的单调递增区间为;单调递减区间为；当时，的单调递增区间为;当时，的单调递增区间为;单调递减区间为.
【解析】（1）当时,由得；当时由得
综上：当时函数的定义域为；当时函数的定义域为（2），令时，得即，
①当时，时，当时，，故当时，函数的递增区间为，递减区间为；②当时，，所以，故当时，在上单调递增；③当时，若，;若，，故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为．综上：当时，的单调递增区间为;单调递减区间为；当时，的单调递增区间为;当时，的单调递增区间为;单调递减区间为.
类型二:形如“”或“”的类型
☞考点说明：从根的个数、根与根的大小关系、图像的开口方向及斜率角度进行讨论.
【易】1.已知函数，求函数的单调区间和极值.
【答案】当，函数的单调递增区间为，单调减区间为，的极小值为.
【解析】因为，所以，因为，所以当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，单调减区间为，当时，取得极小值.
【易】2. 已知函数，讨论的单调性.
【答案】当，在单调递减；当，在单调递减，在单调递增.
【解析】的定义域为，，⑴若，则，所以在单调递减；⑵若，则由得，当；当，所以在单调递减，在单调递增.

【易】3.设是函数的一个极值点，求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
【答案】；单增区间为：；单减区间为：和.
【解析】∵∴，由题意得：，即，∴且，令得，，∵是函数的一个极值点∴，即，故与的关系式为.当时，，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；当时，，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；
【中】4.，若是函数的一个极值点，试求出关
于的关系式（用表示），并确定的单调区间.
【答案】；当时，单调递增区间为和，递减区间为；当时，单调递增区间为和，递减区间为.
【解析】由题意可知：，∵是函数的一个极值点∴，即，解得，则＝，令，得或，∵是极值点，∴，即.当即时，由得或，由得；当即时，由得或由得.综上可知：当时，单调递增区间为和，递减区间为；当时，单调递增区间为和，递减区间为.
【中】5. 设a∈R，函数，其中是自然对数的底数， 判断函
数在R上的单调性.
【答案】当a≥0时，函数在R上是减函数；当a<0时, 函数在区间上是增函数；在区上是减函数；在区间上是增函数.
【解析】，由于，
只需讨论函数的符号:当a = 0时, ，即，函数
在R上是减函数；当a>0时, 由于，可知，
函数在R上是减函数；在区间和区间上，
，函数是增函数；在区上，，
函数是减函数.综上可知：当a≥0时，函数在R上是减函数；当a<0时, 函数
在区间上是增函数；在区上是减函数；在区间
上是增函数.

【中】6.设，函数为自然对数的底数），判断的单
调.
【答案】当时，在R上为减函数；⑶当时，在上为增函数；在上为减函数。【解析】⑴∵
令⑴当时，在R上为减函数；⑵当时，的判别式，，即，在R上为减函数；⑶当时，由得或，由得在上为增函数；在上为减函数.综上可得：当时，在R上为减函数；⑶当时，在上为增函数；在上为减函数。
【中】7. 已知函数其中，当时，求函数的单调区间与极值.
【答案】当时，函数在内是增函数，在内是减函数.函数在处取得极大值，函数在处取得极小值，当时，函数在内是增函数，在内是减函数，函数在处取得极大值，函数在处取得极小值。
【解析】 令，解得，由知，，以下分两种情况讨论：
⑴若，则＜.当变化时，的变化情况如下表：

+
0
—
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以，函数在内是增函数，在内是减函数.函数在处取得极大值，函数在处取得极小值
⑵若，则＞，当变化时，的变化情况如下表：

+
0
—
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以，函数在内是增函数，在内是减函数，函数在处取得极大值，函数在处取得极小值。综上可得：当时，函数在内是增函数，在内是减函数.函数在处取得极大值，函数在处取得极小值，当时，函数在内是增函数，在内是减函数，函数在处取得极大值，函数在处取得极小。
【中】8. 设函数，讨论的单调性.
【答案】，在上递减； ，在上递减；在上递增，在上递减；，在上递减，上递增，在上递减。
【解析】，令，的。⑴当时，，在上递减；⑵当时，，在上递减；在上递增，在上递减； ⑶当时，， 在上递减；在上递增，在上递减。综上可得：，在上递减； ，在上递减；在上递增，在上递减；，在上递减，上递增，在上递减。
【中】9.已知，讨论的单调性.
【答案】当时,在内单调递增,在内单调递减, 当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增, 当时,在内单调递增, 当时, 在内单调递增,在内单调递减, 在单调递增.
【解析】的定义域为,当时，时,单调递增, 时, 单调递减, 当时,.⑴时,,当或时, 单调递增,当时, 单调递减；⑵时,,在内, 单调递增；⑶当时,, 当或时, 单调递增, 当时, 单调递减.综上所述, 当时,在内单调递增,在内单调递减, 当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增, 当时,在内单调递增, 当时, 在内单调递增,在内单调递减, 在单调递增.
【难】10.设，函数为自然对数的底数），判断的单调性.
【答案】，在R上为减函数；，在上为增函数，在上为减函数.
【解析】∵
令⑴当时，在R上为减函数；⑵当时，d的判别式在R上为减函数；⑶当时，由得或，由得在上为增函数，在上为减函数。综上，，在R上为减函数；，在上为增函数，在上为减函数。
【难】11. 已知函数，求的单调区间.
【答案】，的单调递增区间是和，单调递减区间是；
，单调递减区间是和，单调递减区间是.
【解析】⑴，令，
当时，与的情况如下：

+
0

0
+

0

所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，
当时，与的情况如下：

0
+
0

0

所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是.综上可得：，的单调递增区间是和，单调递减区间是；，单调递减区间是和，单调递减区间是.

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