高等数学-导数习题答案.pptx

导数习题导数习题 2014.12.11例例 1.设设求求若若因此，因此，解：解：而而思考：思考：是否存在？是否存在？导函数的单侧极限导函数的单侧极限与与单侧导数单侧导数不是同一概念。不是同一概念。则则例例 2.设设求求解：解：上式两边同时求导得上式两边同时求导得例例 3.设设且在某且在某解：解：内内单调，单调，求求例例 4.设设解：解：求求在在可导，可导，练练 1.设设求求若若因此，因此，解：解：而而则则若若则则设设设设可导可导,求求解：解：例例 5.例例 6.设设求求解：解：记记而而故故例例 7.曲线曲线解：解：求求由方程由方程确定，确定，在点在点的切线方程。的切线方程。方程两边对方程两边对 x 求导得求导得令令 x=0 得得即即所求切线方程为所求切线方程为练练 2.函数函数答：答：求求由方程由方程确定，确定，设设求求解：解：例例 8.设设求求解：解：练练 3.练练 4.设设是是内具有任意阶导数的奇函数，内具有任意阶导数的奇函数，求求解：解：故故也是奇函数。也是奇函数。其中其中是奇函数，是奇函数，因此因此奇函数的麦克劳林公式没有偶次幂项。奇函数的麦克劳林公式没有偶次幂项。偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。例例 9.函数函数在在内零点的个内零点的个数为？数为？解：解：令令得得当当时时当当时时而而因此零点个数为因此零点个数为 2.练练 5.设设则则解：解：共有几共有几个零点？个零点？根据罗尔定理，根据罗尔定理，至少有至少有 4 个零点，个零点，分别在区间分别在区间内。内。是是 4 次多项式，次多项式，零点不超过零点不超过 4 个，个，因此其零点共有因此其零点共有 4 个。个。例例 10.求求解：解：而而故故练练 6.求求解：解：故故而而例例 11.设设解：解：存在，且有存在，且有求求设设则则另附若干基本计算与证明（答案后附）另附若干基本计算与证明（答案后附）练练 1.讨论讨论的单调性、极值、凹凸性、拐的单调性、极值、凹凸性、拐点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。练练 2.求求在在上的最值。上的最值。练练 3.求数列求数列的最大项。的最大项。练练 4.取何值时取何值时在在取得极值？取得极值？是极大值还是极小值？是极大值还是极小值？练练 5.求下列极限求下列极限练练 6.设设可导，证明在可导，证明在的两个零点之间必有的两个零点之间必有的零点。的零点。练练 7.设设在在上具有三阶连续导数，且上具有三阶连续导数，且证明存在证明存在使得使得练练 8.若若在开区间在开区间 I 内连续内连续,且有唯一的极值点，且有唯一的极值点，则该极值点必是最值点。则该极值点必是最值点。练练 1.讨论讨论的单调性、极值、凹凸性、拐的单调性、极值、凹凸性、拐点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。极大极大值值非极非极值值练练 2.求求在在上的最值。上的最值。解解:练练 3.求数列求数列的最大项。的最大项。解解:练练 4.取何值时取何值时在在取得极值？取得极值？是极大值还是极小值？是极大值还是极小值？解解:练练 5 答案答案.练练 6.提示：令提示：令后证有后证有 x x 使得使得练练 7.证：证：练练 8.关于泰勒公式的说明：关于泰勒公式的说明：带皮亚诺余项的泰勒公式带皮亚诺余项的泰勒公式一般用于考虑一般用于考虑时的某些极限。时的某些极限。带拉格朗日余项的泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式一般用于误差分析或理论推导。一般用于误差分析或理论推导。依赖于依赖于 x.关于泰勒公式的说明：关于泰勒公式的说明：则必然有则必然有且经某些已知条件可得且经某些已知条件可得如果如果在在有直到有直到阶导数，阶导数，这使得我们可以通过一些间接手段得到这使得我们可以通过一些间接手段得到的泰勒公式。的泰勒公式。例例.求求的带皮亚诺余项的的带皮亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式。阶麦克劳林公式。解：解：因此所求麦克劳林公式为：因此所求麦克劳林公式为：考虑：考虑：的带拉格朗日余项的的带拉格朗日余项的 2 阶麦克劳林公式为阶麦克劳林公式为那么等式那么等式成立吗？成立吗？它是它是 f(x)的带拉格朗日余项的的带拉格朗日余项的 3 阶麦克劳林公式吗？阶麦克劳林公式吗？（否）（否）（是）（是）上式才是上式才是 f(x)的带拉格朗日余项的的带拉格朗日余项的 3 阶麦克劳林公式。阶麦克劳林公式。关于泰勒公式的说明：关于泰勒公式的说明：多项式的泰勒公式仍然是多项式。多项式的泰勒公式仍然是多项式。例例.求求在在的泰勒公式。的泰勒公式。解：解：因此所求泰勒公式为因此所求泰勒公式为注意注意:此时此时 皮亚诺余项皮亚诺余项 和和 拉格朗日余项拉格朗日余项 都是都是 0.