高等数学导数和微分.pptx

第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 导数与微分是微分学的两个基本概念。给定函数y=f(x)，导数表达的是y随x变化的变化率；而微分则是用来近似函数改变量y的一个线性函数：dy=A dx。导数与微分的关系是：微分的系数A就是导数。由于这一点，人们把微分法和求导法统称为微分法。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 导数的概念导数的概念导数的概念导数的概念 4.2 4.2 导数的基本公式与求导法则导数的基本公式与求导法则导数的基本公式与求导法则导数的基本公式与求导法则 本章的重点是：理解导数和微分的概念，熟记求导法则和微分法则，熟练的运用这些法则进行导数与微分的计算。4.3 4.3 复合函数、反函数的求导法则复合函数、反函数的求导法则复合函数、反函数的求导法则复合函数、反函数的求导法则 4.4 4.4 隐函数求导法，高阶导数隐函数求导法，高阶导数隐函数求导法，高阶导数隐函数求导法，高阶导数 4.5 4.5 函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分 4.6 4.6 泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 4.1 4.1 导数的概念导数的概念导数的概念导数的概念 4.1.1 4.1.1 引例引例引例引例 引例引例引例引例1.1.求由y=f(x)表示的曲线，在点(x0,y0)处的切线斜率。见图4.1-1。图4.1-1第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 解：解：解：解：用极限的方法 .先求近似：考虑过M0的割线的斜率。如图4.1-2，在曲线上M0附近，取一点M1(x0+x,y0+y)，则过M0,M1两点的割线斜率为 图4.1-2显然，k割可作为M0处切线的斜率k切的近似。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 再取限：显然，x越小，割线 M0 M1 越近似于切线，k割 越近似于k切。令 x0，则割线切线，k割k切。这里“”读作“趋于”。于是有 由此可见：为求曲线y=f(x)在一点处的切线斜率，需要计算：函数改变量y与自变量的改变量x的比，当自变量的改变量趋于0时的极限。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 引例引例2.设一质点沿直线运动，运动方程为S=f(t)，求质点在t0时刻的瞬时速度，见图4.1-3。解：解：解：解：.先求近似：图4.1-3考虑在t0,t0+t这段时间上的平均速度 当t较小，可作为t0处瞬时速度的近似。再取极限：按照物理学中瞬时速度的定义，第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 于是，为求瞬时速度，也需要计算：函数改变量y与自变量的改变量x的比，上述两个问题的意义不同，但其求解的数学结构却一样，都是求一个形如 当自变量的改变量趋于0时的极限。的极限。还有许多问题的求解，都可以归结为这样一个极限的计算。我们把这种类型的极限，叫做导数。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 4.1.2 4.1.2 在一点处的导数在一点处的导数在一点处的导数在一点处的导数 定义定义定义定义 4.1.14.1.1：若极限 存在，称 f 在x0 处可导，并称此极限值为 f 在x0 处的导数值，记为 f(x0)，即(1)易见(1)式也可写为(1)第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 例例4.1.1计算 f(x)=x2在x=2处的导数值。解：解：解：解：由导数定义 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 4.1.3 4.1.3 导函数导函数导函数导函数 定义定义定义定义 4.1.24.1.2：若极限 存在，此极限值将随x而变，是x的函数，记为f(x)，称为f(x)的导函数，即 通常，导函数就简称为导数。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 例例4.1.2计算 f(x)=x2的导数。解：解：解：解：由定义 记住：f(x)表示导函数，f(x0)表示导函数在一点x0处的值。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 4.1.4 4.1.4 导函数、导数值的其它记号导函数、导数值的其它记号导函数、导数值的其它记号导函数、导数值的其它记号 导函数除了记为f(x)外，还常记为 导函数在一点处的导数值，除了记为f(x0)外，还常记为 称“”为“导算子”，又叫“导数算符”，也就是导数运算符号。导算子写在一个函数的左边，表示对这个函数进行求导运算。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.1 4.1 4.1.5 4.1.5 导数的意义导数的意义导数的意义导数的意义 从引例可知：在几何上，导数表示y=f(x)的切线斜率；在物理上，导数表示质点作直线运动时的瞬时速度。在x处，x变化一单位，y将变化几单位。一般地，x是x的改变量，f(x+x)-f(x)是因变量 y 的改变量，于是比值 表示在区间x,x+x上，x每变化一单位，y将平均变化几单位，是y对x的平均变化率。因而，导数作为平均变化率的极限，表示：它是在x处，y随x变化的变化率。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.24.24.2 4.2 导数的基本公式与求导法则导数的基本公式与求导法则导数的基本公式与求导法则导数的基本公式与求导法则 4.2.1 4.2.1 基本初等函数的导数基本初等函数的导数基本初等函数的导数基本初等函数的导数 求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数的导数，是很麻烦的事情。本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则。然后，借助这些公式与法则来求导数，就方便多了。例例4.2.1f(x)=c，即常值函数，求f(x)解：解：解：解：由定义 所以，常数的导数为0，即 c=0 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.24.2例例4.2.2f(x)=sinx，求f(x)解：解：解：解：由定义 所以，(sinx)=cosx 注意，上面的计算中，第二步用了三角函数的和差化积公式；第四步用了重要极限 。类似地可得(cosx)=-sinx 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.24.2例例4.2.3f(x)=lnx，求f(x)。解：解：解：解：由定义 所以有 为了提高效率，其它基本初等函数的导数将用其它方法给出。所有初等函数的导数公式与求导法则，见4.3.3、4.3.4、4.3.5。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.24.24.2.2 4.2.2 函数的和、差、积、商的导数函数的和、差、积、商的导数函数的和、差、积、商的导数函数的和、差、积、商的导数 设函数f,g在x处可导，则f与g的和、差、积、商在x处也可导，且有公式：(1).(2).(3).(4).(5).第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.24.2下面证一下(2)式和(4)式，以便使你确信这些公式的正确性。(注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧)证明(2)式：第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.24.2 有了对(2)式和(4)式的证明，(1)、(3)、(5)式的证明也就容易了。请读者自己给出。证明(4)式：第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.24.2类似地，例例4.2.4求tanx的导数公式。解：解：解：解：(利用公式(5)第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.34.3 4.3 复合函数、反函数的求导法则复合函数、反函数的求导法则复合函数、反函数的求导法则复合函数、反函数的求导法则 4.3.1 4.3.1 复合函数的求导公式复合函数的求导公式复合函数的求导公式复合函数的求导公式 定理定理定理定理 4.3.14.3.1：复合函数、反函数、隐函数的求导，是导数计算的重点,也是难点。可以说,导数计算技巧,主要体现在对这三种函数的求导中。本节介绍复合函数、反函数的求导法则。隐函数的求导法则将在下节介绍。设y=f (x)由y=f(u)和u=(x)复合而成，u=(x)在x处可导，y=f(u)在对应的u处可导，则复合函数y=f (x)在x处可导，且 f (x)=f(u)(x)(1)第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.3证：由导数定义 f (x)=f(u)(x)证毕 注意：注意：第三步用了 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.3若将导数看作变化率，定理4.3.1的结论是显然的：当y随u的变化而变化，u随x的变化而变化，则y随x的变化而变化，y对x的变化率，就是y对u的变化率与u对x的变化率的积。见图4.3-1。例如：yxu图4.3-1当x变化1单位，u变化3单位，当u变化1单位，y变化4单位，则当x变化1单位，y将变化12单位，第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.3注注注注1.1.式 f (x)=f(u)(x)还可表示为：第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.3 注注注注2.2.f (x)表示f对(x)的导数，(f (x)则表示f(x)对于x的导数。当函数F(x)由f(u)和u=(x)复合而成：F(x)=f(x)我们也形象地说，在f(x)中，f 是外层，是内层。这样函数的链式法则就可说成是：外层对内层求导(内层看作一个变量)，内层再对x求导：f (x)=f (x)(x)外层内层外层对内层导内层对x导第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.3 注注注注3.3.复合函数的求导法则，又叫链式法则，它可以推广到多层函数复合的情况。使用链式法则的第一步，是搞清复合关系。例例4.3.1求y=lncosx的导数。解：解：解：解：y=lncosx是由y=lnu 与u=cosx 复合而成的。lncosx 解：解：解：解：例例4.3.2对复合函数求导法则熟练以后，可以不必写出复合关系。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.3解：解：解：解：解：解：解：解：例例4.3.3(幂函数复合sin函数，sin函数又复合幂函数)例例4.3.2(指数函数复合sin函数，sin函数又复合幂函数)第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.34.3.2 4.3.2 反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则 设 f:XY的反函数为 f-1：Y X，f 1(y)=x 则有 将式两边对x导，注意到左边的复合关系，有(2)所以(3)即：函数y=f(x)的导数，等于反函数x=f-1(y)的导数的倒数。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.3 注：注：f-1(y)是x对y的导数，y是自变量；f(x)是y对x的导数，x是自变量。上式说明：y对x的导数，是x对y的导数的倒数。若用变化率来表述，则是一个简单的事实：甲对乙的变化率，与乙对甲的变化率，互为倒数。例如，甲对乙的变化率为4，即乙变化1单位，甲变化4单位；则乙对甲的变化率为，即甲变化1单位，乙变化 单位。反函数求导法是通过反函数的导数求导的方法，下面用例子说明这一方法。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.3例例4.3.5求 y=arcsinx 的导数 解：解：解：解：y=arcsinx的反函数为 由反函数求导法(式(3)，得 即 类似地可得 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.3例例4.3.7求y=ax(a 0，1)的导数。解：解：解：解：y=ax 的反函数为x=logay(0 y +)，由反函数的求导法(式(3)，得：即 特别地，当a=e 时，有(e x)=e x 至此，我们已经推出了全部基本初等函数的导数公式，函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导公式，以及反函数求导公式。为方便读者查找使用，将其总结如下：第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.34.3.3 4.3.3 导数基本公式与法则导数基本公式与法则导数基本公式与法则导数基本公式与法则 (1).(1).基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：.11 1213141516第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.34.3(2).(2).函数的和、差、积、商的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则：(3).(3).复合函数的求导公式复合函数的求导公式复合函数的求导公式复合函数的求导公式 (4).(4).反函数的求导公式反函数的求导公式反函数的求导公式反函数的求导公式 .y=f(x)的反函数为x=f-1(y)，f(x)0，则 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.44.4 4.4 隐函数求导法，高阶导数隐函数求导法，高阶导数隐函数求导法，高阶导数隐函数求导法，高阶导数 4.4.1 4.4.1 隐函数的导数隐函数的导数隐函数的导数隐函数的导数 前面已指出，给定方程 F(x,y)=0 在一定的条件下，方程可确定函数y=y(x)，称为由方程确定的隐函数。虽然我们知道,方程在一定条件下,可确定y是x的函数，但在技术上，一般不能解成显式形式。隐函数的求导法则，就是研究在不解成显式的情况下，直接由方程F(x,y)=0，求出函数y=y(x)的导数。方法就是：心中记住y 是x的导数，然后 方程两边对x求导 解出y(x)第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.4例例4.4.1求方程y-sinx=0所确定的隐函数y=y(x)的导数。解：解：解：解：本题用两种方法求解，以便使你确信上述方法的正确性。解法1.方程两边对x求导(记住y是x的函数).解出y 解法2.先写成显函数.求导 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.4例例4.4.2求方程e y+x y=e 所确定的隐函数y=y(x)的导数。解：解：解：解：.方程两边对x求导(记住y是x的函数).解出y 解：解：解：解：设方程xy-e x+e y=0的隐函数为y=y(x)，方程两边对x求导，得 例例4.4.3设xy-e x+e y=0，确定隐函数y=y(x)，求 。.解出y，为 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.44.4.24.4.2 高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数 函数y=f(x)的导数f(x)，称为f(x)的一阶导数，是 对f(x)作用一次的结果。一阶导数f(x)的导数，称为f(x)的二阶导数，记为f”(x)；二阶导数是 对f(x)作用二次的结果：即，对f(x)导了再导的结果。类似地,二阶导数f”(x)的导数,称为f(x)的三阶导数,记为 。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.4即，对f(x)导了再导、再导的结果。三阶导数是 对f(x)作用三次的结果：我想，现在你可以自己可以说出四阶、直到n阶导数是怎么回事了。但有两点要注意：三阶以上的导数，就不再用“撇”表示了，而是用一个加括号的数字表示。例如，f 的五阶导数，用“f(5)(x)”表示，为5加上括号是为了区别于五次方。只有当n阶导数仍可导时，才能谈及n+1阶导数。一个函数，一般说来并不是总可以导下去的，导到一定阶数，更高阶的导数有可能就不存在了。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.4例例4.4.4求f(x)=x3 的四阶导数。解：解：解：解：f(x)=3x2 f”(x)=3 2x f(4)(x)=0 (因为3!为常数)注意,f(x)=x3有任意阶的导数,只不过三阶以上的导数都是0。例例4.4.5求f(x)=xn的n阶导、n+1阶导。解：解：解：解：f(x)=n xn-1 f”(x)=n (n-1)xn-2 f(n)(x)=n (n-1)21=n！f(n+1)(x)=0 注意,f(x)=xn有任意阶的导数,只不过n阶以上的导数都是0。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.4解：解：解：解：由例4.4.4、例4.4.5可知f(n+1)(x)=0。例例4.4.7f(x)=sinx，求f(n)(x)。解：解：解：解：f(x)=n xn-1 例例4.4.6 ，求f(n+1)(x)。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.4解：解：解：解：f(x)=ex，f”(x)=ex，例例4.4.8f(x)=ex，求f(n)(x)。f(n)(x)=ex，(这就是人们常说的，指数函数ex“导不动”)第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.54.54.5 函数的微分函数的微分 4.5.1 4.5.1 函数改变量函数改变量函数改变量函数改变量 函数的微分，是函数改变量的线性函数部分。将一个函数微分就是求函数改变量的线性近似。微分与函数改变量密切相关，因此，我们先熟悉一下函数改变量的概念。当x由x0 变到x0+x，y就由f(x0)变到f(x0+x)，函数改变量为 y=f(x0+x)-f(x0)函数的改变量 y是 x的函数。例例4.5.1考虑y=x2在x=2处的改变量。可见函数改变量 y是 x的函数。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.5本例中，函数改变量 y具有一个重要特征，就是：函数改变量 y可以分解为两部分，一部分是4x,4x是x的线性函数,称为函数改变量的线性部分。即(x)2是比|x|高阶的无穷小量，这一部分可记为o(|x|)，即 一部分是(x)2，由于 “函数改变量 y可以分解为两部分，一部分是关于x线性函数，一部分是比|x|高阶的无穷小量”。这是函数的一个重要性质，但并不是所有的函数都具有这一性质。因此，我们把具有这一性质的函数，称为可微函数；把函数改变量分解式中的线性函数部分，称为函数的微分。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.54.5.2 4.5.2 微分的定义微分的定义微分的定义微分的定义 定义定义定义定义 4.5.14.5.1：若存在线性函数 Ax，使得函数改变量 y=f(x0+x)-f(x0)能够表示为 即函数改变量能够表示成线性函数与一个关于|x|的高阶无穷小量之和，称f(x)在x0处可微，并称线性部分Ax为f(x)的微分，记为dy，即 dy=Ax 这个定义说，微分是函数改变量中的线性函数部分，这个线性部分与函数改变量只差一个关于|x|的高阶无穷小量。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.5 因此，微分是函数改变量的线性近似，微分的基本思想，就是把非线性函数y，用线性函数dy来近似。知道了微分是什么，接下来的问题就是怎样求微分。在下面的叙述中，我们将把x0换成x，也就是说，我们将讨论函数在任意点x处的可微性。求微分与求导数，有密切的联系。我们先来讨论这一联系。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.54.5.2 4.5.2 可微与可导的关系，微分的计算可微与可导的关系，微分的计算可微与可导的关系，微分的计算可微与可导的关系，微分的计算 定理定理定理定理 4.5.14.5.1：可微必可导，可导必可微，且 dy=f(x)x 证：证：证：证：(1).设y=f(x)在x处可微，下面证明f(x)在x处可导。由可微定义，有 y=Ax+o(x)两边同除以x，令x0，即见 即,f 在x处可导(导数定义),且导数就是系数A,即 dy=f(x)x 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.5(2).设f在x处可导，下面证明f(x)在x处可微。由可导定义 由极限与无穷小量的关系：其中，为无穷小量，于是，有 y=f(x)x+x 由于，所以 y=f(x)x+o(x)即见f在x处可微，且线性部分就是微分f(x)x，即 dy=f(x)x 证毕 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.5这一定理指出：微分就是导数与x的乘积 这样，会求导就会求微分。特别，考虑y=x的微分 于是，在微分式中的自变量的改变量x，可以写成d x，于是函数的微分就可写成 dy=f(x)dx 例如：由 有 dx2=2x x 由 有 d sinx=cosx x 由(x)=1，有 d x=1 x 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.5 注意，注意，我们今后写微分就写f(x)dx这个形式，而不再写f(x)x这种形式。由dy=f(x)dx，有 即见，导数可以看作函数微分与自变量微分的商，偶尔，人们也说导数是“微商”。解：解：解：解：(sinx+x2)=cosx+2x 例例4.5.2f(x)=sinx+x2，求d f(x)。d(sinx+x2)=(cosx+2x)dx 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.5解：解：解：解：例例4.5.3这个式子是常用到的，今后当你见到 时，应该立刻想到，这是 。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.54.5.3 4.5.3 微分法则微分法则微分法则微分法则 利用导数与微分的关系，立刻由求导法则得到微分法则：例如由 两边同乘以dx 即 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.54.5.4 4.5.4 复合函数微分法复合函数微分法复合函数微分法复合函数微分法 对于复合函数 设，u=(x)，则 即，对于复合函数，你完全可以把内层函数(x)看作一个变量，而由此写出微分式。例如 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.54.5 当然，这种“把内层函数看作一个变量，而写出微分式”的方法，并没有带来多少方便，还不如直接写 但在理论上，这种“把内层函数看作一个变量，而写出微分式”的方法确有方便之处。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.64.64.6 4.6 泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式 多项式是一个很棒的函数，要是我们所面对的函数都是多项式，我们的日子就好过了。虽然我们面对的函数并不都是多项式，但泰勒公式告诉我们，一个复杂的函数，可用一个多项式来近似。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.64.64.6.1 4.6.1 泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式 若f 在x0 的某邻域内n阶可导，则在x0附近，函数f 可表示为一个关于(x-x0)的n次多项式 与一个余项 之和的形式，即 这个公式就是著名的“泰勒公式”。余项还有其它的表示形式，我们使用的这种形式的余项，叫“皮亚诺余项”。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.64.6 若函数在x0附近具有n阶导数，则函数在x0附近，可用n次多项式近似。特别，若函数在x0附近具有一阶导数，则函数在x0附近可用一次多项式近似。这也就是微分的意义。多项式 叫n次泰勒多项式，它与f(x)在x0处有相同的0阶，1阶，n 阶导数。泰勒公式所表达的是：第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.64.64.6.2 4.6.2 泰勒公式的直观推导泰勒公式的直观推导泰勒公式的直观推导泰勒公式的直观推导 若函数具有一阶导数，则函数可微，且 y=f(x0)x+o|x|即 f(x)-f(x0)=f(x0)(x-x0)+o(|x-x0|)改写为 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+o(|x-x0|)(1)即，若函数具有一阶导数，则在x0附近，函数f可表示为，一个关于(x-x0)的一次多项式 f(x0)+f(x0)(x-x0)与一个无穷小量 o(|x-x0|)第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.64.6之和的形式。这个无穷小量，通常称为余项。为便于归纳，将这个多项式写为 (请你核实一下,这就是(1)式,多出来的(x-x0)0,0!,1!,都是1)这个多项式与f(x)在x0处有相同的0阶和一阶导数值。(0阶导数是指函数本身，也就是没“导”)当f(x)具有二阶导数，我们来找一个二次多项式P2(x)，使得 P2(x)与f(x)在x0处有相同的0阶、1阶、二阶导数。设 P2(x)=A0(x-x0)0+A1(x-x0)1+A2(x-x0)2(x-x0)0也就是1。我们来看，要想 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.64.6P2(x0)=f(x0)(P2(x)与f(x)有相同的0阶导数)P2(x0)=f(x0)(P2(x)与f(x)有相同的一阶导数)P2”(x0)=f”(x0)(P2(x)与f(x)有相同的二阶导数)A0，A1，A2 应该是什么？由 P2(x)=1 A1+2 A2(x-x0)P2”(x)=2 1 A2 有 P2(x0)=A0 P2(x0)=1！A1 (把1写成1！)P2”(x0)=2！A2 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.64.6按照我们的设想，有 所以有 这样，这个二次多项式应该是 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.64.6 我想，你应该已经看出规律来了，那么，下面的话就让我们一起来说：与一个余项 之和的形式，即 若 f 在x0的某邻域内n阶可导，则在x0附近，函数 f 可表示为一个关于(x-x0)的n次多项式 这就是泰勒公式。第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.4例例4.6.1.求sinx在x=0处的三阶泰勒公式。解：解：解：解：计算直到3阶的导数：f(x)=sinx f(x)=cosx f”(x)=-sinx 计算各阶导数在x=0处的值：f(0)=0 f(0)=1 f”(0)=0 第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.4代入泰勒公式：第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.4例例4.6.2.计算ln(1+x)在x=0处的三阶泰勒公式。解：解：解：解：计算直到3阶的导数：第四章第四章第四章第四章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 4.44.4计算各阶导数在x=0处的值：f(0)=0 f(0)=1 f”(0)=-1 代入泰勒公式：