高等数学导数与微分导数的概念.pptx

1第一节第一节 导数的概念导数的概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义与物理意义三、导数的几何意义与物理意义四、函数可导与连续的关系四、函数可导与连续的关系五、小结、五、小结、思考题思考题、作业、作业2一、引例一、引例1.直线运动的速度问题直线运动的速度问题一质点作直线运动一质点作直线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的试确定试确定t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度在每个时刻的速度在每个时刻的速度.解解若运动是若运动是匀速的匀速的,平均速度就等于质点平均速度就等于质点关系关系质点走过的路程质点走过的路程3此式既是它的定义式此式既是它的定义式,又指明了它的计算又指明了它的计算定义为定义为并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率.若运动是若运动是非匀速非匀速的的,平均速度平均速度是这段是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值,因此因此,人们把人们把 t0时的速度时的速度注注注注方法方法,42.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放5如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即6二、导数的定义二、导数的定义1.函数在一点处的导数函数在一点处的导数定义定义7其它形式其它形式即即8处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无无当极限当极限(1)式不存在时式不存在时,就说函数就说函数 f(x)在在x0正正(负负)无穷时无穷时,穷大穷大,但这时但这时导数不存在导数不存在.9关于导数的说明：关于导数的说明：10注意注意:导函数导函数112.求导举例求导举例步骤步骤:例例1 1解解12例例2 2解解13例例3 3解解如：如：14例例4 4解解15例例5 5解解16例例6 6解解172.右导数右导数:1.左导数左导数:3.单侧导数单侧导数19三、导数的几何意义与物理意义三、导数的几何意义与物理意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为20例例7 7解解 由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为21例例8 8解解故所求切线方程为故所求切线方程为故所求切线方程为故所求切线方程为222.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数的导数为物体的线为物体的线(面面,体体)密度密度.23四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证24连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,250再如再如,26又如又如,小结小结:连续必可导，反之未必；连续是可导连续必可导，反之未必；连续是可导 的必要非充分条件的必要非充分条件.27例例9 9解解28练习：练习：29五、经济学中的变化率问题五、经济学中的变化率问题自己看书！自己看书！30六、小结六、小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数;6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.31思考题思考题32思考题解答思考题解答382.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置392.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置402.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置412.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置422.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置432.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置442.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置452.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置462.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置472.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置返回返回48本次课作业：本次课作业：A.作业作业 导数导数B.课后练习：课本习题课后练习：课本习题2-1(P.78-79)2；3；6；7；8；11C.思考题：思考题：4；5；9