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《解三角形》常见题型总结
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
【典型题剖析】
考察点1：利用正弦定理解三角形
例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.
【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：
【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，c=+，∴由正弦定理得：
∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150°-A）.
∴a+b=2(+)[sinA+sin(150°-A)]= 2(+)·2sin75°·cos(75°-A)=
cos(75°-A)
① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值=8+4；
② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°,
∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，
∴＞ cos75°=×=+.
综合①②可得a+b的取值范围为(+,8+4>
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状
例3在△ABC中，·tanB=·tanA，判断三角形ABC的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。
解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：
,

即，，
.
∴为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。
例4在△ABC中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。
解：.
又∵B为锐角，∴B=45°.
由
由正弦定理，得,
∵代入上式得：

考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式
例5在△ABC中，求证.
【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为.
证明：由正弦定理的变式得：

同理

【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。
例6在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证.
【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.
证明：

【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。

考察点4：求三角形的面积
例7在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若,求△ABC的面积S.
【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。
解：由题意，得
∴B为锐角，
由正弦定理得

【解题策略】在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，

例8已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且, 求△ABC的面积S的最大值。
【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。
解：

【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。
考察点5：与正弦定理有关的综合问题
例9已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内角C
【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。
解法1：（R为△ABC的外接圆半径），

又∵A,B为三角形的内角，

当时，由已知得
综上可知，内角.
解法2：由及正弦定理得，
，
，
从而
即
又∵0＜A+B＜π，

【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。
例10在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,，求a,b及△ABC的内切圆半径。
【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。
解：
变形为
又
∴△ABC是直角三角形。
由解得

【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。
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『易错疑难辨析』
易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解
【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。
例1
（1） 在△ABC中，
（2） 在△ABC中，
【错解】
（1） 由正弦定理得
（2） 由正弦定理得
【点拨】（1）漏解，由（0°＜B＜180°）可得因为b＞a,所以两解都存在。（2）增解。由（0°＜B＜180°）可得，因为b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A,所以不符合条件，应舍去。
【正解】
（1）由正弦定理得
又∵0°＜B＜180°
（经检验都符合题意）
（2）由正弦定理得
又∵0°＜B＜180°
∵b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A，
不符合条件，应舍去，。
易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错
【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。
例2在△ABC中，若求的取值范围。
【错解】
由正弦定理得

【点拨】在上述解题过程中，得到了后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的均为正角这一条件。
【正解】
由正弦定理可知

∴0°＜B＜45°，＜＜1.
∴1＜＜3，故1＜＜3.

『高考真题评析』
例1（2010·广东高考）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若则
【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C的值。
【点拨】在△ABC中，又，故，由正弦定理知又a＜b，因此从而可知，即。故填1.
【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。
例2（2010·北京高考）如图1-9所示，在△ABC中，若
则
【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。
【点拨】由正弦定理得，
∵C为钝角，∴B必为锐角，

故填1
【名师点评】
在范围内，正弦值等于的角有两个，因为角C为钝角，所以角B必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解

A
B
C

1

图1-9
例3（2010·湖北高考）在△ABC中，则等于（ ）

【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B的范围。
【点拨】由正弦定理得∵＞，，∴B为锐角。，故选D
【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围，从而确定角B的余弦值。
例4（2010·天津高考）在△ABC中，
（1）求证 ；
（2）若，求的值。
【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。
证明：（1）在△ABC中，由正弦定理及已知，得。于是即
因为＜B-C＜，从而B-C=0，所以B=C .
解：（2）由和（1）得，故
又0＜2B＜，于是从而，
。所以
【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（2）在（1）的基础上找角A与角B的函数关系，在求2B的正弦值时要先判断2B的取值范围。

1.1.2 余弦定理
『典型题剖析』
考察点1： 利用余弦定理解三角形
例1：已知△ABC中，求A，C和。
【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长的方程，首先求出边长，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角。
解法1：
由正弦定理得，
解得或6.当时，
当时，由正弦定理得
解法2：

由＜，＞，知本题有两解。
由正弦定理得，
或，
当时，，由勾股定理得：

当时，，∴△ABC为等腰三角形，。
【解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。
例2：△ABC中，已知，求A，B，C
【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值。
解法1：
由余弦定理得：

。
因为所以。

因为所以
因为所以
解法2：
由解法1知，
由正弦定理得，
因为＞，所以B＞C，
所以角C应该是锐角，因此。
又因为所以
【解题策略】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止增解或漏解。
考察点2： 利用余弦定理判断三角形的形状
例3：在△ABC中，已知且，试判断△ABC的形状。
【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。
解法1：（角化边）
由正弦定理得，
由，得。
又由余弦定理的推论得。
即。
又
为等边三角形。
解法2：（边化角）

又，

又∵A与B均为的内角，∴A=B.
又由，得，
，即由余弦定理得，
而0°＜C＜180°，
又为等边三角形。
【解题策略】已知三角形关系中的边角关系式判断三角形的形状，有两条思考路线：一是化边为角，求出三个角之间的关系式；二是化角为边，求出三条边之间的关系式，种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
例4：已知钝角三角形ABC的三边求k的取值范围。
【点拨】由题意知△ABC为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合a,b,c的大小关系，故必有C角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k的取值范围。解：＞0，＜，
＜，解得-2＜k＜6.而k+k+2＞k+4，∴k＞2.故2＜k＜6.故k的取值范围是
【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。
考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题
例5在中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，
（1）求证
（2）求证
【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与二倍角公式的综合应用。
证明：（1）左边

右边，故原式成立。
（2）左边

右边，故原式成立。
【解题策略】（1）小题利用余弦定理将角化为边。（2）小题先降幂，然后利用余弦定理将角化为边。
例6在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。
（1）求证
（2）求证
【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用
证明：（1）由得；。
又∵
∴

故原式成立。
（2）左边
右边。
故原式成立。
考察点4：正余弦定理的综合应用
例7：在中，已知
【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。
解：

∵a＞0,c＞0,

由正弦定理得

或.
由知a＞b,
若则与已知矛盾。

【解题策略】本题边未知，已知一角，所以考虑使用余弦定理得a，c的关系，再结合正弦定理求注意特殊角的三角函数值，如：
例8：设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求A的大小；
（2）求的值。
【点拨】本题考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的综合应用。
解：（1）由余弦定理得
所以
（2）

。
例9：设得到内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求边长a；
（2）若的面积S=10，求的周长。
【点拨】本题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同脚三角函数关系式的综合应用。
解：（1）已知
将两式相除，有
又由知＞0，
则，则
（2）由得
由得。
故。
【解题策略】把已知两个关系式相除是本题的难点，也是解决此题的关键，相除之后出现，使用正弦定理使问题得到顺利解决。
『易错疑难解析』
易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况
【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。
例1：在中，已知试判断的形状。
【错解】由余弦定理得：

故为直角三角形。
【点拨】利用余弦定理把已知等式中角的形式转化为边的形式，其思路是正确的，但是在等式变形中约去了可能为零的因式，产生了漏解的情况，导致结论错误。
【正解】
由余弦定理得：

或。
∴为等腰三角形或直角三角形。
易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误
【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全面、细致地分析问题，如下列题中的b＞a就是一个重要条件。
例2：在中，已知求。
【错解】由余弦定理，得

由正弦定理，得又0°＜A＜180°，或.
【点拨】注意到已知条件中＞这一隐含条件，则＞，显然是不可能的。
【正解】由余弦定理，得
又由正弦定理，得∵b＞a，∴B＞A.又0°＜A＜180°，
『高考真题评析』
例1：（2011.山东模拟）在中，D为BC边上一点，若则
【命题立意】本题主要考察余弦定理与方程组的应用。
【点拨】如图1-13所示，设则再设则在中，由余弦定理得①。在中，由余弦定理得②。由①②得解得（负值舍去），故填。
【名师点评】根据题意画出示意图由CD=2BD,AC=AB,设出未知量，在两个三角形中分别利用余弦定理，然后联立方程组求解。

图1-13
例2：（2010.天津高考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若则A等于（ ）
A．30° B.60° C.120° D.150°
【命题立意】本题考察正、余弦定理的综合应用，考察分析问题、解决问题的能力。
【点拨】由根据正弦定理得代入得即，由余弦定理得
又0°＜A＜180°，故选A
【名师点评】应用正弦定理把已知条件中转化成边b，c的关系，再代入已知得a，b的关系，利用余弦定理变形形式求角的余弦值。
例3：（2010.北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图1-14所示），它由腰长为1，顶角为a的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【命题立意】本题考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面积公式和图形的分割求和等知识。
【点拨】三角形的底边长为

故选A。
【名师点评】此题难度较低，该八边形由4个等腰三角形和一个正方形组合而成，应用余弦定理求正方形的边长是关键。
例4：（2010.安徽高考）设是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，且
。
（1）求角A的值；
（2）若，求b，c（其中b＜c）
【命题立意】本题考察两角和的正弦公式，同脚三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，余弦定理，向量的数量积等知识。
解：（1）因为

所以。又A为锐角，所以
（2）由得①由（1）知所以cb=24.②
由余弦定理知将及①代入，得，③
③+②×2，得，所以。
因此 c，b是一元二次方程的两个根，解此方程并由b＜c知c=6，b=4.
【名师点评】（1）题三角形的六个元素均未知，只能从已知条件出发，把方程右边关系式进行化简整理，得（2）题考察了构造方程求跟的能力。
例5（陕西高考）如图1-15所示，在中，已知B=45°，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长。
【命题立意】本题主要考察利用正弦定理和余弦定理解三角形，同时考察运算求解能力。
解：在中，AD=10，AC=14，DC=6，
由余弦定理得
在中，
由正弦定理得

图1-15

【名师点评】已知的三边，则由余弦定理先求的余弦值，再求角，即可求的补角，在中，已知两角一边用正弦定理求解即可。
例6：（2010.江苏高考）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
求的值。
【命题立意】本题考察三角函数的化简及正、余弦定理的综合应用。
解：由得
化简整理得将切化弦，得

根据正、余弦定理得
所以
【名师点评】整理通式的常用方法是通分，出现，这样的形式时应考虑向余弦定理靠拢。