解三角形题型分类讲解.doc

(完整word)解三角形题型分类讲解
解三角形知识点总结及题型分类讲解
一、 知识点复习
1、正弦定理及其变形

2、正弦定理适用情况:
（1）已知两角及任一边
（2)已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）
已知a,b和A，求B时的解的情况:
如果，则B有唯一解；如果，则B有两解；
如果,则B有唯一解；如果，则B无解.
3、余弦定理及其推论

4、余弦定理适用情况:
(1)已知两边及夹角；（2）已知三边.
5、常用的三角形面积公式
(1);
(2）(两边夹一角）.
6、三角形中常用结论
（1)；
(2）.
（3）在△ABC中，，所以;；.
(4）.
二、典型例题
题型1、计算问题(边角互换）
例1、在中，若，则角的度数为
答案：
例2、已知ABC中，A,,则=．
答案:2
例3、在锐角△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b,c，且2asinB=b．
求角A的大小;
答案:
题型2、三角形解的个数
例1.在△ABC中，已知b=40，c=20,C=，则此三角形的解的情况是 （ ）
A. 有一解 B. 两解 C。 无解 D.有解但个数不确定

例2。在中，分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ）
A、，，; B、，，;
C、，，； D、，，。
例3。 在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有
A.一解B。两解 C.无解 D。不确定
例4,在中,a=x, b=2, B=,若三角形ABC有两个解，则x的取值范围____________.

例5．在中

题型3、判断三角形形状
例1 在中，已知,判断该三角形的形状。
答案:等腰三角形或直角三角形
例2 △ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为
A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C。等边三角形 D。等腰三角形
例3. △ABC中，a,b,c分别为角A，B,C的对边，若，则△ABC为
A.锐角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D。任意三角形
例4. 在中，已知,角A是锐角,则的形状是_________________.
例5. 在中，若， 则的形状是_________________。
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
题型4、求范围或最值问题
例1、在锐角中,BC=1，B=2A，则的值等于______，AC的取值范围为________。

例2、在中,A，BC=3，则的两边AC+AB的取值范围是____________。

例3、在中,∠B，AC=,，则AB+2BC的最大值-———————.

例4、在中，∠B，AC=，则的周长的最大值为_________________。

例5、△ABC中，a,b,c分别为角A，B,C的对边，且。
（1）。求角A的大小
(2）若a=1，求三角形ABC的周长l的取值范围.

题型5、面积问题
例1、的一个内角为,并且三边构成公差为的等差数列，则的面积为
答案：

例2。设在的内角所对边的长分别是，且b=3，c=1，
△ABC的面积为,求cosA与a的值；

例3:在中，角的对边分别为,.
（Ⅰ）求的值;（Ⅱ)求的面积。

例4：的内角，，所对的边分别为,，．向量与平行．
(I)求;
(II)若，求的面积

例5．在中，角A,B,C所对的边分别为a，b,c且满足
（1)求△ABC的面积；(2）若c＝1，求a的值．

例6。在锐角△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a,b，c，且2asinB=b．
(Ⅰ）求角A的大小;
(Ⅱ)若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

例7：的内角A,B，C的对边分别为a，b,c,已知
(I）求C;
(II）若的面积为，求的周长．

题型六、边化角，角化边
注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分
②怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若sin,cos都存在时首先考虑边化角
例1:在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；

例2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为_____________.
例3 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B。
(1）求B；
(2）若A＝75°，b＝2,求a，c。

例4在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b,c，且。
(I)证明：；
（II)若，求。

例5在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2acosB.
（I）证明:A=2B；
（II）若△ABC的面积，求角A的大小。

例6的内角所对的边分别为。
（I）若成等差数列，证明：；
（II)若成等比数列，求的最小值.

题型七、三角变换与解三角形的综合问题
例1. 在△ABC中，AC=6,
（1） 求AB的长
（2） 求的值

变式练习。 在中，角所对的边分别为.且
（1)，求角C
（2）.若 ，求的值

2。 在中,角所对的边分别为，且
(1）.求角A的大小
（2）若c=3，求b的长。

题型八、解三角形与平面向量结合
例1. 在中，角所对的边分别为，且的面积为S，
。 （1)求的值
（2)若C= 求b 的值

变式练习1.在锐角中，向量
(1)。求A-B的值
（2）.若

2。 在中，角所对的边分别为，且
(1）求B
（2）若，求a.

题型九、以平面图形为背景的解三角形问题
例1.在中，角所对的边分别为，.
（1)。求∠ABC
（2）若∠A=,D为三角形ABC外一点，DB=2， DC=1，求四边形ABCD面积的最大值。

变式练习。如图，在平面四边形ABCD中,DA⊥AB， DE=1， EC=， EA=2，,且∠CBE, ∠BEC，∠BCE成等差数列。
（1）求 (2） 求BE的长

4、如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD==,tan∠ADC=-2，求: （1)CD的长 （2）三角形BCD的面积

课时达标训练
1、在锐角中，角所对的边分别为
（1).设，求证三角形ABC是等腰三角形
（2)。设向量S=的值.

2、在中，角所对的边分别为.已知a>b，a=5，c=6,。
(1)求b和的值 （2）求的值

3、在中，角所对的边分别为.
（1）若m=2，且;
（2）若m=4，求的最大值.
4、如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1,BD==，tan∠ADC=—2,求： （1)CD的长 （2）三角形BCD的面积

5、已知函数f(x)=
（1）求f（x)的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合；
（2）设中，角所对的边分别为,且c=,求a,b的值.

6. 在锐角中，角所对的边分别为，已知2cosB=2c-b。
（1)若cos（A+C）=,求cosC的值;
(2）若b=5,求三角形ABC的面积；
(3）若O是三角形ABC外接圆的圆心，且。

解三角形基础练习
1、满足，，的的个数为，则为 .
2、 已知，，解三角形。

3、在中，已知，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是（ )
A、 B、 C、 D、
4、 在中,若则角 .

5、设是外接圆的半径，且,试求面积的最大值。

6、在中,为边上一点,,，，求。

7、在中，已知分别为角的对边，若，试确定形状。

8、在中，分别为角的对边,已知
（1）求；
(2）若求的面积。

1、在中，若,且,则是
A、等边三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
2、中若面积S=则角
3、清源山是国家级风景名胜区,山顶有一铁塔，在塔顶处测得山下水平面上一点的俯角为，在塔底处测得点的俯角为,若铁塔的高为，则清源山的高度为 .
A、 B、
C、 D、
4、 的三个内角为，求当为何值时,取得最大值，并求出这个最大值.

5、在中，分别为角的对边，且满足
（1）求角的大小
（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小。

正弦定理、余弦定理水平测试题
一、选择题
1．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为
A.B。C。或D.或
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为
A．75° B．60° C．45°D．30°
3．（2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13,则△ABC
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为
A.B.C.D。
5．（2010·湖南高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则（　　)
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b大小不能确定
二、填空题
6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝
7．(2010·山东高考）在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c。若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
8．已知△ABC的三个内角A，B,C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
三、解答题
9．△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2－c2＝2b，且sin B＝4cos Asin C,求b.
10．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab。
（1）求角C的大小；
(2）又若sin Asin B＝，判断△ABC的形状．

11．（2010·浙江高考）在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，
且S＝(a2＋b2－c2)．
（1）求角C的大小；
（2）求sin A＋sin B的最大值．

12。【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）
中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
（Ⅰ) 求;
（Ⅱ）若，，求和的长．