解三角形专题题型归纳.doc

《解三角形》知识点、题型与方法归纳
一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）
1．正弦定理及其变形

变式：

2．正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边；
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.
3．余弦定理及其推论

4．余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.
注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.
5．常用的三角形面积公式
（1）；
（2） （两边夹一角）；
6．三角形中常用结论
（1）
（2）
（3）在中，，所以 ①；②；
③；④⑤
7．实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
如： ①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；
②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）
二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）
考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用
1．在中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝ (　　)
A．4　　 B．2 C． D．
2．在中，，则等于(　 　)
A．60° B．45° C．120° D．150°
考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状
3．设的内角所对的边分别为, 若, 则的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
4．若△ABC的三个内角满足，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5．在中，若＝，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
考点三：利用正余弦定理求三角形的面积
6．在中，,,，则面积为(　　)
A． B． C．或 D．或
7．已知的三边长，则的面积为(　　)
A． B． C． D．
考点四：利用正余弦定理求角
8．在锐角中,角所对的边长分别为.若(　　)
A． B． C． D．
9．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有 (　　)
A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定
10．在,内角所对的边长分别为且,则 (　　)
A． B． C． D．
考点五：正余弦定理实际应用问题
11．如图：A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D点需要多长时间？
三、高考真题赏析
1．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值.

2．（2016年四川）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.

3．（2016年全国I）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（I）求C；
（II）若的面积为，求的周长．

4．(2015高考新课标2)
中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ) 求； (Ⅱ)若，，求和的长．

5．（2015高考四川，理19） 如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：
（2）若求的值.

6．（2013级绵阳一诊，19）已知如图，在中，，，点D、E是斜边AB上两点．
(I)当点是线段靠近的一个三等分点时，求的值；
(II)当点在线段上运动时，且，设，试用表示的面积，并求的取值范围．

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