高等代数在几何中的研究分解.doc

学号 10051107

哈尔滨学院学士学位论文

高等代数在几何中的应用

院（系）名 称：理学院
专 业 名 称：数学与应用数学
学 生 姓 名：范莉娜
指 导 教 师：方晓超

哈尔滨学院
2014年4月12日星期六

目录
摘 要 I
Abstract II
前言 1

1 二阶行列式在解析几何中的应用 1
1.1 行列式的几何意义 1
1.1.1 二阶行列式的几何意义 1
1.1.2 二阶行列式性质的几何意义 3
1.2向量内积的几何解释 1

2三阶行列式在解析几何中的运用 7
2.1三阶行列式的几何意义 7
2.2三阶行列式的应用 7
3线性方程组在解析几何中的应用 7
3.1 平面组 8
3.2 三向量共面问题 9
3.3.空间两直线相关位置关系的判定 9
3.4行列式在直线一般方程与标准化方程互化中的应用 15
3.5用矩阵解决线面位置关系 11
3.6多项式恒等定理和柯西不等式在解析几何中的应用 12

结束语 14
致谢 15
参考文献 16

摘要
随着现代科学技术的迅猛发展，课程改革作为教育改革的核心环节和教育改革深化的标志，在世界范围内得到广泛的关注和前所未有的重视。如何让学生在相同的时间里获得更多的知识，培养成为基础厚、素质高、能力强、富有创造力的综合素质人才，已成为课程改革的一个极其重要的方面。越来越多的与现代数学和计算机科学有关的课程在客观上要求必须重新安排课程以节省时间。高等代数与解析几何作为传统“三基”模式下的二门课程，关系非常密切，几何与代数互为问题、互为方法、互相交融，因而对其进行合理的整合不仅必要而且切实可行。基于上述认识，目前已有越来越多的高等院校数学系将高等代数与解析几何二门课程合成一门新的课程，相关教材也不断出现。伴随着课程和教材的改革，相应的教学方法和手段也应得到不断的认识和改进。本文通过探讨高等代数与解析几何合并教学以后在教学内容的相互协调性、教学手段的合理性，从而说明高等代数与解析几何这么两门学科相互融合已成必然。

1二阶行列式在解析几何中的应用
1.1行列式的几何意义
1.1.1 二阶行列式几何意义
二阶行列式，是平面上以行向量和向量为邻边的平行四边形的有向面积。
1）若这个平行四边形是由向量沿逆时针方向转到向量而得到的，面积取正值；
2）若这个平行四边形是由向量沿顺时针方向转到向量而得到的，面积取负值

如图（2.1）所示，以向量和向量为邻边的平行四边形的面积为：
则：
在这里，
，
为向量，之间的夹角.

由上式整理得到：

又因为

因此得

所以可得出二阶行列式的几何意义
又因为

所以二阶行列式的另一个几何意义，就是两个行向量或列向量的叉积的数值.
1.1.2 二阶行列式性质的几何意义
性质 2.1 ，为实数.
这个性质就是说，一个实数乘以行列式等于一个行向量乘以这个实数的行列式.
几何解释就是：两个行向量，向量所张成的平行四边形的有向面积的倍等于这样两个向量，所张成的平行四边形的有向面积，也就是 .通过图（2.2）可直观的了解几何解释。

从图中可以看出，可以看作以向量为底的平行四边形的面积，是以向量为底的平行四边形的面积，高相同.因此，向量变化了倍，面积也变化了倍.
性质 2.2
对于三个向量，向量和向量张成的平行四边形有向面积与向量和向量张成的有向面积之和等于向量和向量张成的平行四边形有向面积.即有：

如图（2.3）和图（2.4）所示：

性质 2.3
根据二阶行列式的几何意义可知行列式是以行向量和向量为邻边的平行四边形的有向面积.
又因为

所以有，即向量，共线或平行，故.
几何意义 ：把成比例的两个向量的始端都移动到原点，则两向量会在同一直线上，显然所围成的平行四边形面积为零，即，所以行列式为零.如果两个向量相等，行列式的值也为零.
2.2向量内积的几何解释
向量的内积也叫数量积、点积等，内积的结果是个数量而不是向量.内积的定义有两个，我们把他们列举出来的并探讨一下它们的关系.
，其中
，其中
由公式（2.1）可知，两个向量，的内积等于两个向量的模之积再乘以它们之间夹角的余弦即可得出结论。
由公式（2.2）可知，两个向量和向量的内积等于两个向量坐标分量分别对应乘积的和.
我们可以运用公式（2.2)来求向量的模：

在这里假设我们选定一个坐标系，轴沿着向量的方向，那么就有,则由公式(2.2)可以得到：

就是向量的模乘以向量在向量方向上的分量，这个分量我们叫做向量在向量上的投影，因此公式(2.1)得证.（如图2.6）

因此，向量的内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积.
由此我们可以推断出两向量方向相同时内积最大;两向量垂直时内积为零;两向量方向相反时内积最小，其数值为最大内积的相反数.
2三阶行列式在解析几何中的应用
2.1三阶行列式的定义
三阶行列式的几何意义是可以表示以它的第1,2,3列为坐标的三个向量根本张成的平行六面体的有向体积.三阶行列式的几何意义是由二阶行列式推导而来.如图（2.5）

由两个向量和向量张成的平行四边形为，面积为构成的行列式.那么沿着第三个方向生成无数个平行于四边形的新的平行四边形，一直到的末端.可以把所有的平行四边形组成的图形看成一个以向量为棱的平行六面体，所有平行四边形的面积叠加起来就是平行六面体的体积.
可以引用混合积这个概念来表示.向量的混合积

2.1.1 用行列式解决三角形面积问题
定理3.1 已知的个顶点分别为，，，则的面积为：的绝对值
证明 在的平面内，已知点，构成一个三角形（见图3.1），即，求的面积.
过各作轴的垂线(见图3.1)，由图可知：

最后一个表达式刚好是一个三阶行列式的展开式，即
的绝对值
上式就是以行列式表示的三角形面积.
2.1.2 三点共线条件
定理 3.2 平面上个点分别为，，，则三点共线的充要条件为：

此定理由定理3.1可证明，如果三点共线则三点组成的三角形面积就为0.
推论3.1 过平面上两点，的直线方程为
证明 已知两点，要求过这两个点的方程，只须在此直线上设一动点，因为在一条直线上，所以根据定理3.2可得
2.1.3 用行列式表示直线方程
直线方程通过两点和的直线的方程为
. （4）
证明 由两点式, 我们可以得到直线的方程为

将上式展开并化简, 求得

此式可进一步变形为

此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式即可得证.
2.1.4应用举例
例 若直线过平面上两个不同的已知点求直线方程.
解 设直线的方程为, 不全为0, 因为点在直线上, 则必须满足上述方程, 从而有

这是一个以为未知量的齐次线性方程组, 且不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式的结果等于0, 即
.
则所求直线的方程为
.
同理, 若空间上有三个不同的已知点, 平面过则平面的方程为
.
同理, 若平面有三个不同的已知点, 圆过, 则圆的方程为
.
2.1.5 三线共点
平面内三条互不平行的直线

相交于一点的充要条件是.
2.1.6三点共线
平面内三点在一直线的充要条件是.
3.2.3 应用举例
例 平面上给出三条不重合的直线:
, 若, 则这三条直线不能组成三角形.
证明 设与的交点为, 因为
,
将第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得：
.
因为在与上, 所以, 且

若与平行, 若也在上交于一点,无论何种情形, 都有不组成三角形.
这说明由, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.

3线性方程组在解析几何中的应用
3.1.1 平面组
设由个平面方程构成的方程组为
（5）
若方程组(5)中的各代以, 并用乘以(5)式两端: 得
（6）
叫做点的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵
及

的秩及有关系. 现在分别叙述如下：
(Ⅰ)当, 则方程组中各系数全是0.
(Ⅱ)当 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解.当,将趋近于无穷大（假设趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这个平面在无穷远重合.
(Ⅲ)当, 则在矩阵及中所有二阶行列式全是0. 所以我们有

以上等式表示个平面相合成一个平面.
(Ⅳ)当 方程的系数中至少有两组数如及满足以下关系式

上式表示平面

平行但不相合. 也就是平面组中个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合.
(Ⅴ) 则矩阵及中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设
.
我们必可求得适合下式：

式中, 否则行列式
将等于0. 故可求得

假设点及的连线为

把的等值代入上式, 易验证点在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因可以是所以个点全在一直线上.
（Ⅳ）当, 并假定

中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得适合下式：

式中不等于0, 否则行列式

从以上方程组求得：

3
设点及所确定的平面是

把的等值代入上式, 甚易验明点在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为可以是, 所以个点共在一个平面上.
（Ⅴ）当, 中至少有一个四阶行列式如
.
是中任一个数. 以上不等式表示点不在前三个点所确定的平面上, 因为假设点在平面

上, 则以下关系成立.

也就是行列式

这与假设矛盾.
3.1.2 三向量共面问题

定理3.5 三向量共面的充要条件是.
证明 我们来探讨一下三向量的混合积表示方法
由于

根据数量积的坐标表示法，得

通过混合积我们知道三向量的混合积最终可以表示成一个行列式，如果要说明三向量共面，那么我们只需要证明它们坐标构成的行列式的值为零即可.
由于三向量共面的充要条件是存在不全为零的数使得

可得

整理得

由此可得

因为不全为零，视如关于的三元一次方程组有解其系数行列式

即：三向量共面的充要条件是

3.2空间两直线相关位置关系的判定

空间两直线的位置关系有异面与共面，而在共面中又有相交、平行、重合三种情况.
设两直线

这里的直线是由点与向量决定的，是由点与向量决定的.
空间两直线的相关位置有以下几种情况：
（1） 异面

（2） 共面
相交
平行
重合

3.3 行列式在直线一般方程与标准方程互化中的应用

设两个平面的交线的方程为
且，即方程组得系数行列式不全为零，我们令为直线上一点，则就是直线的一个方向向量，于是得直线的标准方程为
.
例3.5 化直线的一般方程为标准方程.
解 因为直线的方向向量为

设，解得，那么为直线上一点，所以直线的标准方程为

3.4用矩阵解决线面位置关系

直线和平面有三种位置关系：相交、平行、直线在平面上.利用代数方法来刻画这三种位置关系同样可以使解析几何的有关问题大大的简化.
定理3.6 直线 其中,与平面的位置关系：
(1) 相交
(2) 平行
(3) 直线在平面上.
这里 ，.
证明 直线与平面的位置关系取决于线性方程组

的解的情况.记这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为与，则
，.
(1) 当时，只有一种情况.此时线性方程组有唯一解.这表明直线与平面相交.
(2) 当时，有两种情况：
情况 ，此时线性方程组无解，即直线与平面无交点，这表明直线与平面平行.
情况‚ ，此时线性方程组有无数多个解，即直线与平面有无穷多个交点.这表明直线在平面上.

例3.6 判别直线与平面的相关位置.
解
所以，根据定理3.6可知直线在平面上
例3.7 求过点而与直线和平行的平面方程.
解 因为所求平面过点，设所求平面的法向量则根据平面的直线方程得

即
.
因为平面与直线平行，我们根据定理3.6可知线性方程组

无解.即，
又因为

由，，得
，. 
又因为平面与直线平行，根据定理2.3可知线性方程组

无解.即，.得
，. ‚
与‚联立得，解方程组得：
.
故所求平面方程为.
4.1 多项式恒等定理在解析几何中的应用
设有关于的多项式

对所有恒成立的充要条件是

特别地，的充要条件是所有的
这就是多项式恒等定理。灵活地运用这个定理，可以解决解析几何中的一些曲线过定点的问题，求公切线方程等问题。
例1、证明直线必过定点.
将方程构成关于的恒等式形式

则其成立的充要条件是
得定点，即为所求.
例2、设为非零实数，证明曲线恒过梁定点并求出定点坐标.
证明：将方程构成关于的恒等式

对于非零实数恒成立的充要条件是
解得
即所给抛物线恒过定点

4.3 柯西不等式在解析几何中的应用
柯西不等式：设
则，
当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立。
柯西不等式具有对称和谐的结构特征，应用关键在于构造两组，进行合理的变形，找准解决问题的方向，柯西不等式不仅形式优美，而且应用非常广泛，不但可以解决代数中重要不等式问题，而且还能解决几何中有关问题.下面有例子来体现.
例5、已知点和直线，则点到直线.
证明: 设是上任意一点，则，显然，的最小值是点到直线的距离，有柯西不等式，得

即
故点到直线的距离是.

例6、实数满足方程，则的最大值与最小值的和等于多少？
解：设
，由柯西不等式得
，
，即的最大值与最小值分别为，的最大值与最小值的和等于24.

例7、若实数适合方程，那么代数式的取值范围是多少？
解： 设，则，因为满足，
所以由柯西不等式，得
，
即，解得，即代数式的取值范围是.
例8、由向曲线作切线，切线方程为？
解： 设切线方程为，
曲线方程.可化为：
由柯西不等式，得

即,等号成立当且仅当.
故切线方程为.

参 考 文 献
[1]     王仁发 .高等代数与解析几何[M] . 北京 :高等教育出版社.
[2]     陈志杰. 高等代数与解析几何[M] . 北京: 高等教育出版社.
[3]张  敏 .《高等代数》与《解析几何》合并设课的教学改革 [J]. 吉林师范大学学报, 2003年04期.
[4]郭  钧 .高等代数与解析几何合并授课的可行性分析 [J] . 曲靖师范学院学报 ,2003年06期.
[5]郁金祥，刘锦萍. 高等代数与解析几何的教学实践与认识 [J] .高等理科教育, 2006年01期.
[6]王元金，陈萍清. 关于高等代数与解析几何分与合的几个问题 [J].  辽宁师范大学学报, 2001年01期.
[7]李  超. 高等代数课程教学中应该注意的几个问题 [J] .数学理论与应用, 2002（4）：67-71.