高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理.doc

《三角函数恒等变换》知识归纳与整理
一、 基本公式
1、 必须掌握的基本公式
（1） 两角和与差的三角函数
同名乘积的和与差
异名乘积的和与差

（2） 二倍角的三角函数

差点等于1

（3） 半角的三角函数

2、 理解记忆的其他公式
（1） 积化和差
同名相乘用余弦；
异名相乘用正弦。
留首项，用加法；
剩尾项，用减法。

（2） 和差化积
正弦加减得异名；
余弦加减得同名。
加法得2倍首项；
减法得2倍尾项。

（3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式）

（4） 辅助角公式
其中：

常见的几种特殊辅助角公式：

①
②
③
④
⑤
⑥

二、 理解证明
1、 两个基本公式的证明
①的证明方法：
在单位圆内利用两点间的距离公式证明。计算繁杂。在化简中注意使用“”
②的证明方法：
在单位圆内利用向量的数量积证明。计算简便。运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明。

或者：在单位圆内利用三角函数线证明。构图较难。利用三角函数线的加减、平移来代换。

2、 由两角和向差的演变
方法：用代替，代入两角和的公式即可推导出两角的差公式。
3、 由余弦向正弦的演变
方法：用诱导公式把余弦转化为正弦：，展开即可推导出正弦的两角的和公式。
4、 由正弦和余弦推导正切
方法：利用：可以推导出正切的两角和与差有的公式。
5、 由两角和推导二倍角
方法：把换成代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函数公式。
6、 由余弦的二倍角推导半角
方法：由余弦的二倍角公式：，把换成，即换成，通过移项，整理，开方即得正弦、余弦的半角公式。然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。
另外：关于正切的另一个半角公式：
可以通过：来理解。特别体会其演变过程中的转化思想：分子、分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！然后再利用二倍角化简。
7、 由两角的和与差推导积化和差
方法：整体思考法：两角的和与差的和差必然会相互抵清一些项。相加会抵消尾项，相减会抵消首项。
这与完全平方的和与差的加减类似。会抵消中间项，剩下首尾项的2倍；而会抵消首尾项，剩下中间项的2倍。
8、 由两角的和与差推导和差化积
方法：对于两角和差的和与差来说，化成积并不难。利用展开相抵原则即可得到。关键是角度的转换问题。只有一个角无法展开。因此引入了一个合新的角度变换方法：把单角：和转换成两角的和与差：，。于时可以利用和差展开相抵原则得到和差化积的目的。
9、 万能公式的理解
方法：利用二倍角公式转换：，然后把分母“1”巧妙利用。，这种思路在三角函数的转化中应用非常广泛。值得高度关注。，然后上下再同时除以即得。
同样利用二倍角公式转化余弦：=
再巧妙利用“1”的转化：，上下同时除以即得。
对于正切的万能公式，直接利用二倍角公式即得。

10、 辅助角公式的理解
方法：辅助角公式实际上是两角和与差的逆运算。只是通过一些转换化成：的形式而已。对于来说：要通过换元法来转换，这种换元法叫三角换元法（以前的换元法叫代数换元法）。三角换元法是一种非常巧妙的换元方法，利用它能把两个毫不相干的变量联系起来，从而得到简化式子的作用。
分析思考过程如下：若直接换元：令cos，则怎样用三角函数式表示呢？无法完成换元过程，因此：化不成的形式。
若提公因式呢！假如公因式为，
则得：，此时令，也无法用三角函数表示出，因而化不成：的形式。
所以公因式必然与、同时有联系。考虑到三角函数的产生环境，我们不妨将常数、放到直角三角形中来思考：若、分别是直角三角形的两直角边，得斜边为：。这个常数显然与、都有关系。假如公因式是，则化为：

此时令（此时在直角三角形中，为邻边，为斜边）
所以：（此时在直角三角形中，为对边，为斜边）
于是化为：

根据两角和的正弦公式得：
=
在直角三角形中：（对边：邻边）
当然：若令，则
则于是化为：
=
所以：==
此时：（对边：邻边）
在此推导过程中，千万注意：两种演变中的是不同的（实质上这两个角互余）。不然就会产生以下错觉：。
如果注意到两个角互余，那么就会得到：
下面来分析这个结论：
右边＝

由诱导公式得：左边
所以结论成立。
三、 实际运用
1、 给角求值：告诉已知角度，求出它的一些倍角、半角等的值。
（1）求、的值
方法1：直接用半角公式可求得：
=
=
=
=
方法2：由两角的差求得：

=
同理可得：
=
方法3：用60°与45°的差角求得

=
同理可得：
=
方法4：利用直角三角形作图计算
15°
D
30°
C
B
A
如图：直角三角形ABC中，∠A=30°，∠C=90°。

延长CA到D，使AD=AB。则易知：∠D=15°设BC=1，则AB=2，AC=；
CD=2+
∴
=
同理可求得cos15°

=
方法5：利用诱导公式和倍角公式求解：
利用诱导公式我们知道：°的值，然后利用倍角公式可求得°的值，再利用诱导公式就可以求出°的值。
∵°=，
∴°==
∴
同理可得：∵°=，
∴°==
∴

（2）求+的值
方法1：分别求出的值： 和 的值：
二者相加得：++=
方法2：直接利用辅助角公式计算：
+
方法3：巧妙利用公式：和倍角公式
+=
=
方法4：运用向量计算：将+写成：+
这样可以看成两个向量的数量积。如图：在单位圆内，设向量，向量。则向量和之间的夹角为45°—15°=30°。由向量数量积公式得：
+
∴+=
A
B
O

（3）求的值
分析：方法1：直接求的值有些困难。（当然用半角可求）；可考虑能否巧妙转化。考虑到常数“1”的转化。∵=1，∴原式可化为：

方法2：代入得：原式==
方法3：直接代入：得：

方法4：代入并化简得：
原式=
（4）求的值
分析：方法1：sin30°是特殊角，关键是求sin15°sin75°的值。若用积化和差来计算，则有些复杂。可考虑把sin75°转化为cos15°，然后利用倍角公式求得：=

方法2：直接用积化和差计算：
原式=
=
（5）求的值
分析：方法1：利用余弦的倍角公式化简：，，则原式=+
再利用知差化积与积化和差的公式得：

方法2：利用规律：来分析。
（6）求的值
分析：方法1：把常数换为特殊的三角函数，则原式
=
2、 给值求值
（1） 在△ABC中，已知，，求的值。
分析：在三角形ABC中，∠C=180°
∴
=
∵

∴=
（2） 已知，求的值
分析：用完全平方公式和平方关系、及倍角公式求值： ∴
即：
由倍角公式得：
（3） 已知，求的值
分析：由倍角公式求值：

==
（4） 已知，，求的值
分析：对于求值的代数式，要利用化弦的思想，把正切化成正弦与余弦的比值，再利用和角公式展开得：
即： ∴
所以
即：
∴
∴
而
∵，∴
=
=
3、 给值求角
（1） 已知△ABC中，，，求角
分析：
∵∠∠ ∴∠∠=
∴∠
4、 证明
（1） 已知、、是三角形ABC的三个内角。
求证：①
②
分析：使用诱导公式证明：
证明：∵ ∴
∴
即：
同理：
即：
（2） 已知，。求证：
分析：先利用二元一次方程的思想分别求出和的式子，再利用倍角公式分析：
证明：，
由倍角公式得：
∴

∴
（∵sin2）
故：
即：
（3） 已知，求证：
分析：同时展开和然后对比思考：
证明：
∴
∴
=
∴
（4） 在直角三角形ABC中，∠C为直角，、、分别是∠A、∠B、∠C的对边。求证：
分析：显然两边要平方，平方后再利用倍角公式转换 2。，而。只需要证明：
cos即可。
证明：在Rt△ABC中，
由倍角公式得：
∴=
即： ∵
∴
（5） 已知∠A、∠B、∠C是非直角三角形的三个内角。
求证：
分析：用化切为弦的思想分析：
证明：
=
而：
∴而：
∴
=
=

即：
∴

（6） 已知∠A、∠B、∠C是三角形的三个内角。
求证：
分析：使用诱导公式、积化和差与和差化积公式证明：
证明：
=
而：
∴
=
而：
∴sin

（7） 已知，求证：
分析：对欲证的式了转化为弦来分析：
再展开得：
证明：

对已知条件作如下变形：
即：

移项得：
即：
两边同时除以：得：
∴
（8） 已知，且，，，求证：
证明：由得：
展开得：
移项得：

即：
∴

5、 化简
（1） 化简：
分析：巧妙利用常数“1”及倍角公式凑成完全平方式来化简：
=
=
=
（2） 化简：
分析：方法1：首先考虑“化弦”：即把正切化成正弦与余弦的比值，再通分，最后利用倍角公式及和差公式化简。
=

=
=
此题解法巧妙：先化切为弦，然后通分。最后向倍角公式靠拢，利用和角公式转化。
方法2：把常数转化为三角函数，观察括号内的形式，利用正切的和角公式化简：
=
=
=
=
（3） 化简：
分析：用正切的两角和公式化简：

（4） 化简：
分析：利用平方关系和倒数关系求解：
tan54°=
∴原式=
（5） 化简：
分析：方法1：将变形为：
代入原式得：，同时约去得：
方法2：同时除以tan()得：=
=
（6） 化简：
分析：利用倍角公式化简得：
=
（7） 化简：
分析：通分后，利用倍角公式化简：
==

6、 证明不等式
（1） 若，求证：
目前还无思路：

7、 推导新公式
（1）请推导出三倍角公式：和
思路：
==
=
=

==
=
=
=

8、 与方程的综合
（1） 设和是方程的两个根。
① 求的值
② 求证：
分析：由韦达定理可得：，
代入正切的两角和公式得：
∵ ∴
即：

9、 与函数的综合
（1） 求函数的值域
分析：利用倍角公式得：
∵的值域为 ∴函数的值域为

（2） 已知函数，。问：
① 函数的最小正周期是什么？
② 函数在什么区间上是增函数？
③ 函数的图象可以由函数，的图象经过怎样的变换得到？

分析：可化为：

=
∴
它的最小正周期：
函数的单调递增区间为：
即：当，函数是增函数；
函数可以看作是函数向左平移个单位，再向上平移2个单位得到的图象。

10、 与几何图形的综合
（1） 如图，三个相同的正方形相接拼成一个长方形。求证：。
A
B
C
D

分析：实质就是求证：tan
证明：观图可得： ∴ tan
又∵ ∴
说明：如果用初中的知识来分析：则可通过相似三角形来证明。
[即△ABD∽△CAD，（三边对应成比例）]

D
B
A
C
（2）如图：在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD：DC：AD=2：3：6。求∠BAC的度数

分析：此题也是利用角度的和来分析，观图可知：

∴tan
又∵∵ ∴
说明：若用初中知识来解答，则过C作CE⊥AB，利用相似列出比例来解答。计算十分繁杂！

（3）如图正方形的边长为1，点P、Q在边BC、CD上。当三角形PQC的周长为2时，求∠PAQ的大小。

A
B
C
D
P
Q

分析：可计算来分析。
设QD=，PB=；则CQ=1—，CP=1—。∵CQ+CP+PQ=2
∴PQ= 由勾股定理得：
整理得：
由图可得：，
∴=
又∵，∴
故∠PAQ=

说明：若用初中几何知识来解答，由旋转△QAD，使AD和AB边重合。证明两个三角形全等。也很简单。

11、 生活中的实际运用
（1） 要将半径为的半圆形木料截成矩形截面的木料，怎样截取才能使矩形截面面积最大。

分析：显然矩形面积=
可化简为：
的最大值为1，当时，矩形面积最大，最大值为。
（2） 如图，一个圆心为的扇形的半径为，在此扇形上截取一个平行四边形PDCE（点P在圆弧上了，点D在线段OB上，点C、E在线段OA上）。若∠POA=，请写出平行四边形PCDE的面积与的函数关系式，并求出当为何值时，有最大值，最大值为多少？

P
D
C
E
O
A
B

N
H

分析：过P点作PH⊥AO，过D作DN⊥AO，显然PH=
OH=，ON=
∴
∴平行四边形的面积
即： (0<<)
再分析：的最大值：

∴
此时当时，有最大值，最大值为：。
第 23 页 共 23 页