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过关检测(六) 概率与统计
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．如图是根据全国人口普查数据得到的我国人口的年龄频率分布直方图：
据此可知在一个总人口数为350万的城市中，年龄在[40,60)之间的人大约有
( )．
A．35.5万 B．77万 C．105万 D．132万
2．(2012·河南商丘二模)同时随机掷两颗骰子，则至少有一颗骰子向上的点数小于4的概率为
( )．
A. B. C. D.
3．(2012·广东茂名高三二模)在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为
( )．
A．12 B．18 C．24 D．32
4．(2012·浙江杭州二模)用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，现乙还有一次不小于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
( )．
A. B. C. D.
5．(2012·陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则
( )．
A.甲＜乙，m甲＞m乙 B.甲＜乙，m甲＜m乙
C.甲＞乙，m甲＞m乙 D.甲＞乙，m甲＜m乙
6．(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
( )．
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
7．(2011·山东临沂质检)一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数：f1(x)＝x3，f2(x)＝|x|，f3(x)＝sin x，f4(x)＝cos x，现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新的函数，所得函数为奇函数的概率是
( )．
A. B. C. D.
8．右面茎叶图表示的是甲、乙两人
在5次综合 测评中的成绩，其中
一个数字被污损，则甲的平均成
绩超过乙的平均成绩的概率为( )．
A. B. C. D.
9．(2011·山东烟台一模)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为
( )．
A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5
10．(2012·陕西)下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入
( )．
A．P＝ B．P＝
C．P＝ D．P＝
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t，则在第k组中抽取的号码个位数字与t＋k的个位数字相同，若t＝7，则在第8组中抽取的号码应是________．
12．(2012·山师大附中模拟)在区间[0,10]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,10]的概率为________．
13．(2012·河南郑州高三考前检测)已知一组抛物线y＝ax2＋bx＋1，其中a为2,4中任取的一个数，b为1,3,5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是________．
14．连掷骰子两次(骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)得到的点数分别记为a和b，则使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝4相切的概率为________．
三、解答题(本大题共5小题，共54分)
15．(10分)(2012·江西八校联考)某校一课题小组对南昌市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
月收入(单位：百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1
(1)完成下面的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标)及2×2列联表；
月收入不低于55百元人数
月收入低于55百元人数
合计
赞成
a＝
c＝
不赞成
b＝
d＝
合计
(2)若从收入(单位：百元)在[15,25)的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率．
16．(10分)(2011·安徽“江南十校”联考)一个均匀的正四面体面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.
(1)记z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；
(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根a∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．
17．(10分)(2011·山东济南一模)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
18．(12分)(2012·河南商丘二模)为征求个人所得税法修改建议，某机构对当地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000，1 500))．
(1)求居民月收入在[3 000,4 000)的频率；
(2)根据频率分布直方图估算样本数据的中位数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,
3 000)的这段应抽多少人？
19．(12分)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
[－3，－2)
0.10
[－2，－1)
8
(1,2]
0.50
(2,3]
10
(3,4]
合计
50
1.00
(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置；
(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；
(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．
参考答案
1．B [由频率分布直方图知年龄在[40,60)之间的频率为0.011×20＝0.22，所以年龄在[40,60)之间的人大约有350×0.22＝77(万)．]
2．D [共有36种情况，其中至少有一颗骰子向上的点数小于4有27种情况，所以所求概率为＝.]
3．B [设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以＝，得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人，故选B.]
4．C [由题意，得基本事件总数为10，满足要求的有8个，所以所求概率为＝，故选C.]
5．B [由茎叶图可知甲数据集中在10至20之间，乙数据集中在20至40之间，明显甲＜乙，甲的中位数为20，乙的中位数为29，即m甲＜m乙，所以选B.]
6．B [样本中心点是(3.5,42)，则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.]
7．C [f1(x)与f3(x)是奇函数，f2(x)与f4(x)是偶函数，奇函数与偶函数相乘是奇函数，故所得函数为奇函数的概率是P＝＝.]
8．C [记其中被污损的数字为x，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是
(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是
(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝(442＋x)．令90＞(442＋x)，由此解得x＜8，即x的可能取值是0,1,2,3,4,5,6,7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＝.]
9．A [样本中心点是(，)，即，因为回归直线过该点，所以＝0.7×4.5＋0.35，解得t＝3.]
10．D [利用几何概型，构造一个边长为1的正方形及其内一个半径为1、圆心角为90°的扇形，易知扇形的面积S≈，又由面积公式得S＝
π×12≈，解得π≈，所以选D.]
11．解析 t＋k＝7＋8＝15，第8组中的个位数字与t＋k的个位数字相同，∴填75.
答案 75
12．解析 所求概率为P＝＝.
答案
13．解析 抛物线共有6条，任取两条共15种情况，在x＝1处的切线相互平行的有2种情况，所以所求概率为.
答案
14．解析 根据条件得该试验中基本事件的个数，由直线与圆相切的条件得直线与圆相切的基本事件的个数，代入古典概型的概率公式计算即可．连掷骰子两次的基本事件有6×6＝36个，而直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝4相切时，有＝2，当a＝2，b＝4或a＝6，b＝2时满足，即直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝4相切的基本事件有2个，故所求概率为＝.
答案
15．解 (1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01.
故频率分布直方图如图所示．
月收入不低于55百元人数
月收入低于55百元人数
合计
赞成
a＝3
c＝29
32
不赞成
b＝7
d＝11
18
合计
10
40
50
(2)设收入(单位：百元)在[15,25)的被调查者中赞成的分别是A1，A2，A3，A4，不赞成的是B，从中选出两人的所有结果有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B)，(A3，A4)，(A3，B)，(A4，B)．
其中选中B的有：(A1，B)，(A2，B)，(A3，B)，(A4，B)．
所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率P＝＝.
16．解 (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)共有16个，
当z＝4时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，
所以P(z＝4)＝＝.
(2)①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．
②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以
③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以
④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以
综合①②③④知，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为P＝.
17．解 (1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.基本事件有：(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12个基本事件；
其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．
故P(A)＝＝.
(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y.
Ω＝，
B＝作出可行域，
可得P(B)＝＝＝.
18．解 (1)居民月收入在[3 000,4 000)的频率为(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2.
(2)第一组和第二组的频率之和为(0.000 2＋0.000 4)×500＝0.3，
第三组的频率为0.000 5×500＝0.25，
因此，可以估算样本数据的中位数为
2 000＋×500＝2 400(元)．
(3)第四组的人数为0.000 5×500×10 000＝2 500，
因此月收入在[2 500,3 000)的这段应抽2 500×＝25(人)．
19．解 (1)如下表所示．
频率分布表
分 组
频 数
频 率
[－3，－2)
5
0.10
[－2，－1)
8
0.16
(1,2]
25
0.50
(2,3]
10
0.20
(3,4]
2
0.04
合 计
50
1.00
(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.
(3)设这批产品中的合格品数为x件，依题意有＝，解得x＝－20＝1 980.
所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．
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