三个凸集上交替投影的稳定性分析_冯珏翔.pdf

第 卷第 期学报.年 月 .，：三个凸集上交替投影的稳定性分析冯珏翔，何 坤（西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充）摘 要：二凸集可行性问题是在 空间中的两个闭凸集的非空交上找到一个点，在 的研究中表明交替投影法是解决这类问题最简单的方法。但是在使用交替投影法解决一些问题时会受到数据的不确定性的影响，增加计算难度，而稳定性在一定程度上可以减小甚至消除这部分影响。和 研究了在两个凸集上的交替投影的稳定性，得到了一些结论。文章将稳定性的部分结论从两个凸集推广到三个凸集上，这可以看作对 和 的稳定性研究成果的拓展。关键词：交替投影法；有限集；稳定性；凸可行问题；凸集中图分类号：文献标志码：文章编号：（）收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目“群上的凸分析及其在最优与平衡中的应用”（）作者简介：冯珏翔（），男，四川乐山人，西华师范大学数学与信息学院硕士研究生，研究方向：优化理论及应用；何坤（），男，四川平昌人，西华师范大学数学与信息学院硕士研究生，研究方向：优化理论及应用。引言交替投影法是解决二凸集可行性问题最常用的方法，文献研究了交替投影的性质和部分不收敛情况。，和 在文献中提出了二凸集的稳定性这一概念，并且在文献中利用扰动的交替投影法对稳定性的条件进行刻画。交替投影的定义如下：定义 给定一个初始点，从 开始的交替投影序列和定义为（），（）（）。（）如果和范数收敛到，那么交替投影是收敛的。文章在文献的基础上，将其交替投影建立在了多集合上，文章将从最简单的多集合，即三个集合的情况来分析其稳定性。我们对原本的交替投影算法进行改变，以适应对多集合稳定性的刻画。下面给出在三个凸集的情况下的新的投影方法。定义 给定一个初始点，三个集合的交替投影序列，定义如下：（）（）（）（）（）（）。当 时，则（）退化为（）。在文章后续内容中，用，来表示我们使用的投影序列。我们的目标是得到一些条件，使得对于任意的初始点，投影序列，是范数收敛的。文献和给出了部分不收敛的结果。在此基础之上，我们在第一节中给出部分准备知识后，研究以下这种情况下的多集合交替投影的稳定性：，和 被一个强暴露泛函分离，即存在一个 和一个连续线性泛函 使得（）（）（）（）且（）在 处，强暴露。基本概念和预备知识在本节中，我们介绍相关的概念和引理。令 是实赋范空间，表示其对偶。和 分别表示赋范空间 中的闭单位球和单位球面，对 的一个子集，和一个泛函 在 上有界，令（，）；（）（）。对 和（，），令（，）；（），（，）；（）。显然（，）和（，）是非空闭锥并且（，）是凸的。同时，给出（，）和（，）的另一形式，（）；（，）（）（，），（，）和（）是等价的，其中（）。同样地，有（）；（，）（）（，），（，）和（）是等价的，其中（）。定义 令 是 中的一个非空闭凸子集，且，。如果 是在 处 的支撑函数（即（）（）且有 的序列使得（）（），那么 在 处强暴露。有以上成立，那么 是 的强暴露点。引理 令 是 的非空闭凸子集，且，令 使得（）（）且有 使得（）。考虑：（，），的定义为（）；（，）（，）。当且仅当（）在 处强暴露 时，使得（）是 的高阶无穷小量。引理 如果（，）使得（）是有限的，那么由 函数定义可得，极小值就是最小值。则（，）（）。引理 令，（）是 中的非空闭凸子集，有（）和。假设，（），；（）。那么对任意（，）和，都存在 使得（，）。引理 令，（）是 中的非空闭凸子集，有（）和。假设，（），（，）。那么对任意（，）和，都存在 使得（，）。引理 存在，（，）。令是一个非负的实数序列，满足对任意的 有下列条件成立：若，有；若，有。则。定义 令，和 是 上的非空闭凸子集且 非空。如果对于任意一个初始点，由（）生成的投影序列和范数收敛，那么系统（，）是稳定的。注 由上述定义可得，存在一个 使得，。引理 令，（，）且。如果（）且（），则（，）（）。引理 令 是 中的一个非空闭凸子集，且连续线性泛函 在 处，强暴露。则 在 处，强暴露。证明 令，且，令 则，。因为 在 处，强暴露，由定义可得（）（）和（）（），则（）（）（）（），且（）（）（）（）（）（）（）（），即可得结论。本文只考虑在实的 空间上的情况。令，有（，），其中，表示 和 的内积。令 是 的非空闭凸子集，表示到 上的投影，即从 中一点到 上最近的点的映射。用 空间中的凸集的最佳逼近原则刻画：是 的非空闭凸子集，当且仅当 （）时，。（）容易得知，当 时，和下列情况是等价的：（，）。（）主要结果在本节中，我们考虑集合，是 的非空闭凸子集，。尝试证明投影序列，范数收敛到，得到系统（，）的稳定性。定理 令 是一个 空间，是 的非空闭凸子集，假设 且存在一个线性连续泛函 使得（）（）（）（）和（）在 处，强暴露，则系统（，）是稳定的。在开始证明这个定理之前，还需要一些准备工作。如下：（）（）（）（）。假设 使得（），可用 表示为（），。证明 首先取一个（，），当 时，此时只需证明到投影序列，包含在一个单位闭球 中即可。令，。且：（，），的定义如下：（）；（，）（，）。由引理 可知，当 时，（）等价于（）。有以下等式成立（）（），当；（）（），当。因此，当，有（）；（）|（）（）|；（）（）|；（）|（）（）|。取（，），使得当：（）和 ：（）时，那么 以及有下列结论：（）；（）（）；（）（）（）；（）（）（）（）。由引理，可得（，）（），再结合引理 可得（，）（）（）。因为；（），由引理 可得（）。因为；（），同理可得（）。因为，所以一定存在（），（）和（）。接下来考虑，与 的关系：当，时，显然有，且，结合凸集上投影的非扩张性可得。（）而当，时，就需要借助下列事实来完成定理 的证明，（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（）。首先对（）证明，有（），于是有（）（），因为（，），利用三角不等式，可得（）（）（）（）（）（）。因为，再结合（），可得（）（）（）（）。由此可得（）（），即（）。接下来证明（），首先有（），则（）（）。因为（），利用三角不等式，则（）（）（）（）（）（）。最后的不等式由（）和三角不等式得到。（）（）同理可得。因为 和，再结合（）可得（，）。（）观察（）和（）并结合引理，可以得到，如果，则（）成立。因为，再利用三角不等式，则（）（）（）（）（）（）|（）。（）同理，因为 和，可得（，）。同样地，由（），（）和引理 可得，如果，则（）成立。同样地，因为，则（）（）（）（）（）（）|（）。（）因为，结合凸集上投影的非扩张性，由（）可得。由（）和上式可得（）（）。（）于是，有以下情况成立：令序列为，取（），存在 使得当 时，有下列结论成立：当，时，则；当，时，则。当 时，则；当时，则。上述结论分别由（），（）和可得。再结合引理，得到，即，。因为，由（）结合凸集上投影的非扩张性，所以有，由（）得（），结合上式得到（）（），（）同样地，令序列为，取（），存在 使得当 时，有下列结论成立：当，时，则；当，时，则。当 时，则；当 时，则。上述结论分别由（），（）和（）可得。再结合引理，得到，即，。由上述两个结论可得，即，。推论 令 是一个 空间，是 的非空闭凸子集，假设存在一个 和一个线性连续泛函 使得（）（）（）（）和（）在 处，强暴露，则系统（，）是稳定的。证明：由，得（）（）（）。由（）（）（）（），可得（）（）（）（）（）（）（）（）。因为 是线性连续泛函，则（）（）（）（）。结合引理，再应用定理 可得（，）是稳定的，就有，收敛到，所以，收敛到。因此（，）是稳定的。注 在本文中使用的是交替投影而非扰动的交替投影，由于引理 和 的存在，相似地，扰动交替投影同样地能保证稳定性的成立。而当集合，满足 时，投影序列，可退化到文献 节中交替投影的形式。注 基于三个集合的情况，相似地，利用线性连续泛函，将一个 集合分布在其上方，其余集合，分布在其下方，初始点 从 投影到 投影回，再投影到，以此类推，可以推广到有限个集合，证明方法与定理 相同。但是随着线性连续泛函 下方的集合数量增多，一次循环的投影次数增加，当有 个集合的情况下，需要 次投影才能完成一次迭代过程，这个过程过于繁琐复杂。因此我们未来将尝试改变其集合的条件和投影方式以简化其迭代过程，保持稳定性的成立。参考文献：，：，（）：，：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（，）：，：；【责任编辑：王兴全】