人教版八年级数学上册期末综合试题带答案.doc

人教版八年级数学上册期末综合试题带答案
一、选择题
1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2．已知一粒米的质量是0.0000021千克，这个数字用科学记数法表示为（       ）
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
3．下列运算正确的是（       ）
A．a2•a2＝2a2 B．a9÷a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a2＋a4＝a6
4．若分式的值为0，则x的值是（       ）
A． B． C．3 D．2
5．下列因式分解正确的是（       ）
A． B．
C． D．
6．下列各式从左到右的变形一定正确的是（            ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，已知AB＝AE，∠B＝∠E，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△AEF的是（　　）

A．∠EAB＝∠FAC B．AC＝AF C．BC＝EF D．∠ACB＝∠AFE
8．关于x的方程有增根，则m的值是（       ）
A．0 B．2或3 C．2 D．3
9．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为6，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积为（       ）

A．14 B．12 C．24 D．22
10．如图，已知直线AB：y=x+分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE，当BD＋BE的值最小时，则H点的坐标为（   ）

A．（0，4） B．（0，5） C．（0，） D．（0，）
二、填空题
11．分式的值为，则 ______ ．
12．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的值是_______．
13．已知x为整数，且为正整数，则整数________．
14．计算______．
15．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为_________．

16．9x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=_________或_________．
17．若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形是__________．（填形状）
18．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为______．

三、解答题
19．分解因式：
(1)；
(2)
20．解方程：
(1)；
(2)．
21．如图所示，，，，求证：．

22．解答
(1)问题发现．
如图1，，，则______．
由此发现：∠1与∠C、∠A的数量关系是______，用语言叙述为：三角形一个外角等于______．
(2)结论运用
如图2，中，，沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若，求∠BDC的度数．

24．超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表．

甲
乙
进价（元/袋）
m
m－2
售价（元/袋）
20
13
已知用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋，且总利润不少于4800元，则该超市至少购进甲种绿色袋装食品多少袋？
24．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片边长为的正方形，中纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：____________________；方法2：________________________；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系．
_______________________________________________________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求的值；
②已知，则的值是____．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b)，且a，b满足．
（1）直接写出______，______；
（2）连接AB，P为内一点，．
①如图1，过点作，且，连接并延长，交于．求证：；
②如图2，在的延长线上取点，连接．若，点P(2n，−n)，试求点的坐标．

26．△ABC、△DPC都是等边三角形．

(1)如图1，求证：AP＝BD；
(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
【参考答案】
一、选择题
2．A
解析：A
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，进而判断得出答案．
【详解】解：B、C、D都是轴对称图形，A不是轴对称图形，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000021千克用科学计数法表示为千克，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．B
解析：B
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A.，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．C
解析：C
【分析】根据分式有意义的条件及值为0的条件，即可求得
【详解】解：分式的值为0，

解得
故x的值是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件及值为0的条件，熟练掌握和运用分式有意义的条件及值为0的条件是解决本题的关键．
6．D
解析：D
【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可．
【详解】解：A、不是因式分解，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了因式分解，关键是掌握因式分解的定义和方法．
7．D
解析：D
【分析】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，且扩大（缩小）的倍数不能为0，分值不变，即可得出答案．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．注意，①无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0；②同时在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变．
8．B
解析：B
【分析】根据全等三角形的判定进行逐项分析即可．
【详解】A.∵∠EAB＝∠FAC，∴∠CAB＝∠FAE，两角及夹边对应相等能判断两三角形全等，故该选项不符合题意；       
B. AC＝AF，两边及一边对角对应相等不能判断两三角形全等，故该选项符合题意；       
C. BC＝EF，两边及夹角对应相等能判断两三角形全等，故该选项不符合题意；       
D. ∠ACB＝∠AFE，两角及其中一角的对边对应相等能判断两三角形全等，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的方法SSS，SAS，ASA，AAS是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x－2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：，
∴，
∵关于x的方程有增根，
∴x－2=0，
解得：x＝2
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据分式方程根的情况求参数的值．根据分式方程有增根求出x的值，并代入去分母后转化的整式方程中求m的值是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】由图1可知，阴影部分面积a2-b2=2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2-a2-b2=6，进而得到ab=3，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2-3a2-2b2=a2-b2+4ab，即可得出答案．
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图1可知，阴影部分面积a2-b2=2，
图2可知，阴影部分面积（a+b）2-a2-b2=6，
所以ab=3，
由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2-3a2-2b2=a2-b2+4ab=2+12=14．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景以及整式的加减，利用公式是解决问题的关键．
11．A
解析：A
【分析】作EF⊥BC于F，设AD=EC=x．利用勾股定理可得BD+BE=+=+，要求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到G（，3），K（，）的距离之和最小．
【详解】解：由题意A（0，），B（－3，0），C（3，0），
∴AB=AC=8，
作EF⊥BC于F，设AD=EC=x．

∵EF∥AO，
∴，
∴EF=，CF=，
∵OH∥EF，
∴，
∴OH=，
∴BD+BE=+
=+，
要求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到K（，3），G（，）的距离之和最小．

设G关于x轴的对称点G′（，），直线G′K的解析式为y=kx+b，
则有，
解得k=，b=，
∴直线G′K的解析式为y=x，
当y=0时，x=，
∴当x=时，MG+MK的值最小，
此时OH===4，
∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故选A．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称最短问题、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
12．
【分析】分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】解：根据题意得：且
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．
13．3
【分析】掌握关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】由题意可得：，
解得：，因此a+b＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征，准确找出横纵坐标的关系是本题的关键．
14．4或5##5或4
【分析】根据异分母分式加减法计算得，利用x为整数，且为正整数，得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值．
【详解】解：
=
=
=       
=
∵x为整数，且为正整数，
∴x-3=1或x-3=2，
∴x=4或5，
故答案为4或5．
【点睛】此题考查了异分母分式的加减法，正确掌握异分母分式加减法计算法则并结合题意得到x-3=1或x-3=2是解题的关键．
15．125##18
【分析】先把原式变为，再根据积的乘方的逆运算求解即可．
【详解】解：

，
故答案为：0.125．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟知积的乘方的逆运算是解题的关键．
16．10
【分析】首先连接PB，由中垂线的性质可得PB=PC，由于△APC的周长为AC+PA+PC，AC长度固定，则只要PA+PB最小即可，此时可推出P、A、B三点共线，即PA+PB=AB，由此计算即
解析：10
【分析】首先连接PB，由中垂线的性质可得PB=PC，由于△APC的周长为AC+PA+PC，AC长度固定，则只要PA+PB最小即可，此时可推出P、A、B三点共线，即PA+PB=AB，由此计算即可．
【详解】解：如图，连接PB，则由中垂线的性质可得PB=PC，
∵△APC的周长=AC+PA+PC，
∴△APC的周长=AC+PA+PB，
∵AC=4，
∴要使得△APC的周长最小，使得PA+PB最小即可，
根据两点之间线段最短，可知当P、A、B三点共线时，PA+PB最小，
此时，P点在AB边上，PA+PB=AB=6，
∴PA+PB的最小值为6，
∴△APC的周长最小为：6+4=10，
故答案为：10．

【点睛】本题考查最短路径问题，以及中垂线的性质，理解并掌握中垂线的性质，以及最短路径问题的基本处理方式是解题关键．
17．24    
【分析】由两数的平方和加上或减去两数积的2倍，等于两数和或差的平方，即可得到m的值．
【详解】∵是一个完全平方式，且
∴m=±24．
故答案为：24，
【点睛】此
解析：     24    
【分析】由两数的平方和加上或减去两数积的2倍，等于两数和或差的平方，即可得到m的值．
【详解】∵是一个完全平方式，且
∴m=±24．
故答案为：24，
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．十二边形
【分析】由n边形的内角和可以表示成（n2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】解：这个正多边形的边数是n，
则（n2）•180°=1800°，
解析：十二边形
【分析】由n边形的内角和可以表示成（n2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】解：这个正多边形的边数是n，
则（n2）•180°=1800°，
解得：n=12，
则这个正多边形是12．
故答案为：十二边形．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n2）×180°．
19．或##或
【分析】分两种情形：①当≌时，可得：；②当≌时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可．
【详解】解：①当≌时，可得：，
运动时间相同，
，的运动速度也相同，
；
②当≌时，
解析：或##或
【分析】分两种情形：①当≌时，可得：；②当≌时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可．
【详解】解：①当≌时，可得：，
运动时间相同，
，的运动速度也相同，
；
②当≌时，
，，
，
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．
三、解答题
20．(1)
(2)
【分析】(1)利用提取公因式法，即可分解因式；
(2)首先进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式，即可分解因式．
(1)
解：
(2)
解：
【点睛
解析：(1)
(2)
【分析】(1)利用提取公因式法，即可分解因式；
(2)首先进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式，即可分解因式．
(1)
解：
(2)
解：

【点睛】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差和完全平方公式是解题关键．
21．(1)
(2)无解
【分析】（1）方程的两边同时乘以公分母，化为整式方程，进而解方程求解即可；
（2）方程的两边同时乘以公分母，化为整式方程，进而解方程求解即可；
(1)
，
方程的两边
解析：(1)
(2)无解
【分析】（1）方程的两边同时乘以公分母，化为整式方程，进而解方程求解即可；
（2）方程的两边同时乘以公分母，化为整式方程，进而解方程求解即可；
(1)
，
方程的两边同时乘以公分母，得：
，
，
解得，
经检验，是原方程的解．
(2)
，
方程的两边同时乘以公分母，得，
，
，
解得，
经检验，是原方程增解．
【点睛】本题考查了解分式方程，找到公分母是解题的关键，注意检验．
22．见解析
【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．
【详解】证明：∵，
∴．
∴，
在与中
，
∴ (SAS)．
【点睛】本题考
解析：见解析
【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．
【详解】证明：∵，
∴．
∴，
在与中
，
∴ (SAS)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
23．(1)30°；；和它不相邻的两个内角的和；
(2)．
【分析】（1）先求出∠ABC=80°，再根据三角形内角和定理即可求出，进而可以得到，用语言叙述为：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
解析：(1)30°；；和它不相邻的两个内角的和；
(2)．
【分析】（1）先求出∠ABC=80°，再根据三角形内角和定理即可求出，进而可以得到，用语言叙述为：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）根据折叠性质得到，再根据（1）结论即可求解．
（1）解：∵，∴∠ABC=180°-∠1=80°，∵∠C=70°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=30°，由此发现：∠1与∠C、∠A的数量关系是，用语言叙述为：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．故答案为：30°，，和它不相邻的两个内角的和；
（2）解：由折叠得到，∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，理解题意，准确掌握两个定理是解题关键．
24．(1)m的值为10
(2)至少购进甲种绿色贷装食品160袋
【分析】（1） 利用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同列分式方程，再解分式方程即可；
（2）设
解析：(1)m的值为10
(2)至少购进甲种绿色贷装食品160袋
【分析】（1） 利用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同列分式方程，再解分式方程即可；
（2）设购进甲种绿色贷装食品x袋，由两种绿色袋装食品的利润之和不少于4800元，列不等式，再解不等式即可．
（1）解：由题意得：解得：m＝10， 经检验，m＝10为原方程的解， 所以m的值为10
（2）设购进甲种绿色贷装食品x袋，由题意得：（20－10）x＋（13－8）（800－x）≥4800， 解得x≥160， 答：至少购进甲种绿色贷装食品160袋．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系列方程或不等式是解本题的关键．
25．（1），；（2）；（3）①，②
【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）①依据a+b=5
解析：（1），；（2）；（3）①，②
【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）①依据a+b=5，可得（a+b）2=25，进而得出a2+b2+2ab=25，再根据a2+b2=17，即可得到ab=4；②设2020-a=x，a-2019=y，即可得到x+y=1，x2+y2=5，依据（x+y）2=x2+2xy+y2，即可得出xy==，进而得到=．
【详解】解：（1）图2大正方形的面积=，图2大正方形的面积=
故答案为：，；
（2）由题可得，，之间的等量关系为：故答案为：；
（3）①

②设2020-a=x，a-2019=y，则x+y=1，
∵，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴xy==-2，
即．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
26．（1）3，；（2）①见解析；②的坐标为(，)
【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方化简，再利用单项式的性质求解即可；
（2）①连接AC，过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N，利用SAS证明
解析：（1）3，；（2）①见解析；②的坐标为(，)
【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方化简，再利用单项式的性质求解即可；
（2）①连接AC，过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N，利用SAS证明△OPB≌△OCA，再证明△BNP为等腰直角三角形，利用AAS证明△ACD≌△BND，即可证明AD=DB；
②作出如图所示的辅助线，证明△BMP为等腰直角三角形，利用AAS证明△PBF≌△MPE，求得E(2n，n) ，M(3n−3，n)，证明点M，E关于y轴对称，得到3n−3+2n=0，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，，
解得：，，
故答案为：3，；
（2）①连接AC，

∵∠COP=∠AOB=90°，
∴∠COP-∠AOP =∠AOB-∠AOP，
∴，
在△OPB和△OCA中，
，
∴△OPB≌△OCA(SAS)，
∴AC=BP，∠OCA=∠OPB=90°，
过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N，
∵∠COP=90°，OP=OC，
∴∠OCP=∠OPC=∠ACP=45°，
∵∠OPB=90°，
∴∠BPN=45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，
∴∠BPN=∠N=45°，
∴BN=BP=AC，
在△ACD和△BND中，
，
∴△ACD≌△BND(AAS)，
∴AD=DB；
②∵∠AOB=90°，AO=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵∠MBO=∠ABP，
∴∠MBO+∠OBP=∠ABP+∠OBP=∠OBA=45°，
∴∠MBP=45°，
∵OP⊥BP，
∴△BMP为等腰直角三角形，
∴MP=BP，
过点P作y轴的平行线EF，分别过M，B作ME⊥EF于E，BF⊥EF于F，EF交x轴于G，ME交y轴于H，连接OE，

∴∠MPE+∠EMP=∠MPE +∠FPB=90°，
∴∠EMP=∠FPB，
在△PBF和△MPE中，
，
∴△PBF≌△MPE(AAS)，
∴BF=EP，PF=ME，
∵P(2n，−n)，
∴BF=EP=EH=2n，PG=EG=n，PF=ME=3−n，
∴MH=ME-EH=3−n−2n=3−3n，
∴E(2n，n) ，M(3n−3，n)，
∴点P，E关于x轴对称，
∴OE=OP，∠OEP=∠OPE，
同理OM=OE，点M，E关于y轴对称，
∴3n−3+2n=0，
解得，即点M的坐标为(，)．
【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用全等三角形的性质解决问题．
27．(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接C
解析：(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK（SSS），可得结论；
②结论：PC=2PA．想办法证明∠DPB=30°，可得结论．
（1）证明：如图1中，∵△ABC，△CDP都是等边三角形，∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，∴∠BCD=∠ACP，在△BCD和△ACP中，，∴△BCD≌△ACP（SAS），∴BD=AP；
（2）证明：如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，在△AMP和△CMK中，，∴△AMP≌△CMK（SAS），∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，同法可证△BCD≌△ACP，∴BD=PA=CK，∵PB=2PM，∴PB=PK，∵PD=PC，∴△PDB≌△PCK（SSS），∴∠PBD=∠K=90°，∴PB⊥BD．②解：结论：PC=2PA．∵△PDB≌△PCK，∴∠DPB=∠CPK，设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x，∵∠APC=∠CDB，∴90°+x=60°+90°-x，∴x=30°，∴∠DPB=30°，∵∠PBD=90°，∴PD=2BD，∵PC=PD，BD=PA，∴PC=2PA．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题．