人教版八年级数学上册期末强化综合试题附答案.doc

人教版八年级数学上册期末强化综合试题附答案
一、选择题
1．下列图案中，属于轴对称图形的有（        ）

A．5个 B．3个 C．2个 D．4个
2．人体中成熟红细胞的平均直径为，用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（       ）
A．a2•a2＝2a2 B．a9÷a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a2＋a4＝a6
4．当分式有意义时，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5．下列从左至右的变形，属于因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6．若，则下列分式化简正确的是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，等腰△ABC中，AB=AC，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（       ）

A．AE =AD B．∠AEB=∠ADC
C．BE =CD D．∠EBC=∠DCB
8．若关于x的分式方程的解是非负数，则b的取值范围是（     ）
A． B．
C．且 D．且
9．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（       ）

A．80° B．75° C．60° D．45°
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．若分式的值为0，则______．
12．若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则___________．
13．如图，数轴上有四条线段分别标有①②③④，若x为正整数，则表示的值的点落在线段_________上（填序号）．

14．计算：_____________．
15．如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．

16．如果是完全平方式，则______．
17．正十二边形的内角和是_________________．
18．如图，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿B﹣C运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 _______cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．

三、解答题
19．分解因式：
(1)
(2)；
20．解分式方程：
21．已知：如图，C为线段BE上一点，AB∥DC，AB＝EC，BC＝CD．求证：∠ACD＝∠E．

22．探究与发现：
探究：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢?
问题发现：

(1)已知如图1，∠FBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠FBC+ECB的数量关系；
(2)类比探究： 已知如图2，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，试探究∠P与∠A的数量关系；
(3)拓展延伸：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，直接写出∠P与∠A+∠B的数量关系．
23．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际，用元采购种粽子与元采购种粽子的个数相同．已知种粽子的单价比种粽子单价多元．
(1)求，两种粽子的单价；
(2)商场计划用不超过元的资金采购，两种粽子共个，已知，两种粽子的进价不变．求种粽子最多能采购多少个？
24．先阅读下列材料，然后解答后面的问题：材料：一个三位自然数 （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”
(1)直接写出：最小的“欢喜数”是 ，最大的“欢喜数”是 ；
(2)求证：任意“欢喜数 ”一定能被11整除；
(3)若“欢喜数 ”m为奇数，且十位数字比个位数字大5， 求所有符合条件的“欢喜数 ”m．
25．（1）如图1，已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 证明：DE=BD+CE．（提示：由于DE=AD+AE，证明AD=CE，AE=BD即可）
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明DEF是等边三角形．

26．如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作与点．

(1)如图1，若点是中点，
求证：①；②．
(2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论；
(3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论．
【参考答案】
一、选择题
2．D
解析：D
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义进行判断即可．
【详解】解：根据定义可知，图1，图3，图4，图5都是轴对称图形，图2不是轴对称图形，因此，属于轴对称图形的有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，熟练地掌握其定义是解决问题的关键．
3．B
解析：B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 007 7m=7.7×10-6m，
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．B
解析：B
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A.，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．A
解析：A
【分析】根据分式分母不为0解答即可．
【详解】解：由，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分母不为0是解本题的关键．
6．C
解析：C
【分析】根据因式分解的定义以及因式分解所遵循的原则逐项判断即可．
【详解】A项，右边不是积的形式，故不是因式分解；
B项，等式两边不相等，故不是因式分解；
C项，根据因式分解的定义可知是因式分解；
D项，，故因式分解不彻底；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义以及因式分解遵循的基本原则．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做多项式的因式分解，遵循的原则：多项式是恒等变形；结果必须是积的形式；分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能在分解为止等．
7．D
解析：D
【分析】根据分式的基本性质（分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的数，分式的值不变）求解．
【详解】解：根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的数，分式的值不变，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握性质的本质是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】根据判定三角形全等的条件逐一判断即可．
【详解】解：A．∵AB=AC，，AE =AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，故该选项不符合题意；
B．∵∠AEB=∠ADC，AB=AC，，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，故该选项不符合题意；
C．AB=AC，，BE =CD，不能证明△ABE≌△ACD，符合题意；
D．∵，
∴，
∵∠EBC=∠DCB，
∴，
又∵AB=AC，，
∴，故该选项不符合题意，
故选：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】先解分式方程，用含b的代数式表示出解，令分式方程的解，再根据分母不为零，还可得，联立求解即可．
【详解】解：等号两边同时乘以，可得，
解得，
∵分式方程的解是非负数，
∴且，
解得且，
故选：D．
【点睛】本题考查解分式方程，解含参的分式方程时，一定要注意保证最简公分母不为零．
10．C
解析：C
【分析】由题意易得AD=CD，则有∠A=∠DCA，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴AD=CD，
∴∠A=∠DCA，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握垂直平分线的性质定理、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．
【详解】在BE上截取BG＝DF，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ADF与△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAE＝∠GAE，
在△AEG与△AEF中
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．
故选：B．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题
12．-1
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出x的值．
【详解】解：由题意可知：|x|-1=0且x-1≠0，
解得x=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
13．-1
【分析】根据轴对称的性质，点M和点N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可以求得a、b的值，从而可得a+b的值.
【详解】解：∵点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），
∴b=-3，a=2，
∴a+b=-1，
∴（a+b）2021=（-1）20121=-1．
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了轴对称的性质和有理数乘方的运算，解题的关键是先求得a、b的值.
14．②
【分析】先根据分式的基本性质通分，约分对原分式进行化简，然后分析化简后的结果的范围即可得出答案．
【详解】
∵x为正整数

∴表示的值的点落在线段②上，
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查分式的化简及估算，掌握分式的基本性质是解题的关键．
15．##-1.5
【分析】先根据同底数幂乘法的逆用将改写成，再根据积的乘方的逆用即可得．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键．
16．6
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的
解析：6
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF=AD=6，
即EP+CP的最小值为6，
故答案为6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
17．0或##或0
【分析】根据完全平方公式即可得．
【详解】解：由题意得：，
即，
则，
解得或，
故答案为：0或．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．
解析：0或##或0
【分析】根据完全平方公式即可得．
【详解】解：由题意得：，
即，
则，
解得或，
故答案为：0或．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．
18．1800°##1800度
【分析】n边形的内角和是(n-2)•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】解：十二边形的内角和等于：(12-2)•180°=1800°，
解析：1800°##1800度
【分析】n边形的内角和是(n-2)•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】解：十二边形的内角和等于：(12-2)•180°=1800°，
故答案为：1800°．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和问题，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
19．2或
【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，求出BE=6cm，根据全等三角形的判定得出当BE=CP，BP=CQ或BE
解析：2或
【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，求出BE=6cm，根据全等三角形的判定得出当BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP时，△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可．
【详解】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，
∵E为AB的中点，AB=12cm，
∴BE=AE=6cm，
∵∠B=∠C，
∴要使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP，
当BE=CP，BP=CQ时，6=10-2t，2t=vt，
解得：t=2，v=2，即点Q的运动速度是2cm/s，
当BE=CQ，BP=CP时，6=vt，2t=10-2t，
解得：t=，v=，即点Q的运动速度是cm/s，
故答案为2或
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
三、解答题
20．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
(1)
原式
(2)
原式
【点睛】本题考查
解析：(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
(1)
原式

(2)
原式

【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．
21．分式方程无解
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去分母得：y﹣2=2y﹣6+1
移项合并得：y=3．
经检验：y
解析：分式方程无解
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去分母得：y﹣2=2y﹣6+1
移项合并得：y=3．
经检验：y=3是增根，分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．见解析
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ECD，可得∠A=∠E=∠ACD．
【详解】证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠ECD，∠A＝∠ACD．
在△ABC和△ECD中，
∴△ABC
解析：见解析
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ECD，可得∠A=∠E=∠ACD．
【详解】证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠ECD，∠A＝∠ACD．
在△ABC和△ECD中，

∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴∠A＝∠E．
∴∠ACD＝∠E．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△ECD是本题的关键．
23．(1)∠FBC+∠ECB=180°+∠A
(2)∠P=90°+ ∠A
(3)∠P= (∠A+∠B)．
【分析】(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACB
解析：(1)∠FBC+∠ECB=180°+∠A
(2)∠P=90°+ ∠A
(3)∠P= (∠A+∠B)．
【分析】(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，再根据三角形内角和整理即可得解；
(2)根据角平分线的定义可得∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，然后根据三角形内角和列式整理即可得解；
(3)根据四边形的内角和表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．
(1)
解：∵∠FBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，     
∴∠FBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A．
(2)
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC= ∠ABP= ∠ABC．
同理，∠PCB= ∠ACP=∠ACB．
∴∠P =180°－∠PBC－∠PCB
=180°－(∠ACB+∠ACB)
=180°－ (180°－∠A)
=90°+ ∠A
(3)
解：如图：延长DA、CB交于点O，

由（2）中结论知，∠P=90°+ ∠O，
由(1)中结论知，∠DAB+∠CBA=180°+∠O，
∴∠P=90°+ (∠DAB+∠CBA－180°)= (∠DAB+∠CBA)．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三角形外角的性质，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
24．(1)种粽子单价为元，种粽子单价为元
(2)种粽子最多能购进个
【分析】（1）设种粽子单价为元，则种粽子单价为元，由题意：用元采购种粽子与元采购种粽子的个数相同．列出分式方程，解方程即可；
（
解析：(1)种粽子单价为元，种粽子单价为元
(2)种粽子最多能购进个
【分析】（1）设种粽子单价为元，则种粽子单价为元，由题意：用元采购种粽子与元采购种粽子的个数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设种粽子能采购个，则种粽子能采购个，由题意：商场计划用不超过元的资金采购，两种粽子，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）解：设种粽子单价为元，则种粽子单价为元，根据题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，．答：种粽子单价为元，种粽子单价为元．
（2）解：设种粽子能采购个，则种粽子能采购个，依题意，得：，解得：，答：种粽子最多能购进个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．(1)110；990；
(2)见解析
(3)561和583
【分析】（1）按照题意写出最小的“欢喜数”与最大的“欢喜数”；
（2）可设“欢喜数”为，则有100a+10b+b-a=99a+11
解析：(1)110；990；
(2)见解析
(3)561和583
【分析】（1）按照题意写出最小的“欢喜数”与最大的“欢喜数”；
（2）可设“欢喜数”为，则有100a+10b+b-a=99a+11b=11(9a+b)，再通过计算即可；
（2）“欢喜数 ” 十位数字比个位数字大5， 且m为奇数，可得a=5，求出符合条件的奇数．
(1)
由题意可得：最小的“欢喜数”是110，最大的“欢喜数”是990；
故答案为：110；990；
(2)
由题意，可设“欢喜数”为，则有：
100a+10b+b-a=99a+11b=11(9a+b)
∵a，b是整数，∴9a+b是整数
∴任意“欢喜数 ”一定能被11整除
(3)
“欢喜数 ” 十位数字比个位数字大5， 且m为奇数
即a=5
∴符合条件的奇数为561和583
【点睛】此题考查了利用整式乘法解决数字新定义问题的能力，关键是能结合题意利用整式乘法进行计算求解．
26．（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）见解析
【分析】（1）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；
（2）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；
（3）运用SAS证明△DBF≌△EAF，后运
解析：（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）见解析
【分析】（1）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；
（2）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；
（3）运用SAS证明△DBF≌△EAF，后运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．
【详解】（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）如图2，

∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）如图3，

由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
27．(1)①见解析；②见解析
(2)成立，见解析
(3)成立，见解析
【分析】（1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论；
（2） 仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论
解析：(1)①见解析；②见解析
(2)成立，见解析
(3)成立，见解析
【分析】（1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论；
（2） 仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论；
（3）结论仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论．
(1)
证明：如图

①∵为等边三角形，
∴，
又为中点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴；
②∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴．
(2)
仍然成立，理由如下：
如图，过点D作DM//BC交AC于M
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
而，
∴．

(3)
的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图．
作交的延长线于，

易证为等边三角形，
，，
而，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题．