中考数学总复习(北师大版)基础讲练-第26讲图形的平移和旋转.doc

第26讲　图形的平移和旋转

考纲要求
备考指津
1.了解平移的概念，掌握平移的性质．
2.了解图形旋转的概念，掌握旋转的性质．
3.了解图形变换的特征，按要求作出简单图形.
　　平移与旋转在中考中主要是综合其他知识来考查，常通过作图或坐标系中的点、线及图形的平移和旋转考查，题型多以选择题、填空题或在网格中作图的形式为主．

考点一　图形的平移
1．定义：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种变换，叫做平移变换，简称平移．确定一个平移变换的条件是平移的方向和距离．
2．性质：
(1)平移不改变图形的形状与大小，即平移前后的两个图形是全等图形；
(2)连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等；
(3)对应线段平行(或共线)且相等；
(4)对应角相等．
考点二　图形的旋转
1．定义：
在平面内，把一个平面图形绕着一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，图形的这种变换，叫做旋转变换．这个定点叫做旋转中心，这个角度叫旋转角．图形的旋转由旋转方向和旋转角所决定．
2．性质：
(1)图形上的每一点都绕着旋转中心沿着相同的方向旋转了同样大小的角度；
(2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是全等的；[来源:]
(3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；
(4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角．
考点三　简单的平移作图与旋转作图
1．平移作图的步骤：
(1)首先找出原图形中的关键点，如多边形的顶点，圆的圆心；
(2)根据平移的距离与方向，画出特殊点的对应点；
(3)顺次连接各对应点，就得到原图形平移后的图形．
2．旋转作图的步骤：
(1)找出旋转中心与旋转角；
(2)找出构成图形的关键点；
(3)作出这些关键点旋转后的对应点；
(4)顺次连接各对应点．

1．如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF(　　)．

A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
2．如图△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD等于(　　)．[来源:]

A．55° 　B．45° 　C．40° 　D．35°3.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′.

一、平移
【例1】 如图，把图①中的⊙A经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图②中的对应点P′的坐标为(　　)．

A．(m＋2，n＋1) B．(m－2，n－1) C．(m－2，n＋1) D．(m＋2，n－1)
解析：平移时图形上每个点平移的方向和距离都相同，⊙A经过平移到⊙O，点A的横坐标增加2个单位，纵坐标减小1个单位．则点P移到P′，移动的距离与点A相同．所以点P′的横坐标为m＋2，纵坐标为n－1.
答案：D

在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为(x+a，y)〔或(x-a，y)〕；将点P(x，y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y+b)〔或(x，y-b)〕．
如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A半径为2，⊙B半径为1，需要⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示的位置向左平移__________个单位长．

二、旋转
【例2】 如图，三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6.三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为__________．

解析：点B转过的路径长为的长．在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴∠A＝60°.又AC＝A′C，
∴△ACA′为正三角形．∴∠ACA′＝60°，即旋转角为60°，
∴∠BCB′＝60°.
∴＝＝2π.
答案：2π

图形在旋转过程中，图中的每一个点与旋转中心的连线都绕着旋转中心转动了相同的角度，对应线段相等，对应角相等．
三、平移、旋转作图
【例3】 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(－1,1)，C(－1,3)．

(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)将△A2B2C2平移得到△A3B3C3，使A2的对应点是A3，点B2的对应点是B3，点C2的对应点是C3(4，－1)，在坐标系中画出△A3B3C3，并写出点A3、B3的坐标．
解：(1)如图，C1(－1，－3)．
(2)如图，C2(3,1)．
(3)如图，A3(2，－2)，B3(2，－1)．

要画出一个图形的平移、旋转后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、旋转作图中最常用的方法．[来源:]

1．(2012山东聊城)如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是(　　)．

A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
2．(2011山东日照)以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B，D点的坐标分别为(1,3)，(4,0)，把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是(　　)．
A．(3,3) B．(5,3) C．(3,5) D．(5,5)[来源:]
3．(2011江西)如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________．

4．(2011江苏南京)如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AE，BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α(0°＜α＜180°)，则∠α＝__________°.

5．(2011广东湛江)如图，点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(3,0)，(3，－2)，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△OA′B′.
(1)画出旋转后的△OA′B′，并求点B′的坐标；
(2)求在旋转过程中，点A所经过的路径的长度．(结果保留π)．

1．将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是(　　)．

2．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4,6)，B(5,2)，C(2,1)，如果将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A的对应点A′的坐标是(　　)．

A．(－3,3) B．(3，－3) C．(－2,4) D．(1,4)
3．如图，A，B的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移至A1B1，则a＋b的值为(　　)．

A．2 B．3 C．4 D．5[来源:]
4．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°.在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝__________.

A．30° B．35° C．40° D．50°
5．点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到点P′(－1,3)，则点P的坐标是__________．
6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2 cm，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A′B′C的位置，且A、C、B′三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是__________ cm.(保留π)

7．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连结EE′，则EE′的长等于__________．

8．如图是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果AB＝8 cm，BE＝4 cm，DH＝3 cm，则图中阴影部分的面积为__________ cm2.

9．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.

(1)线段OA1的长是______，∠AOB1的度数是______．
(2)连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；
(3)求四边形OAA1B1的面积．
参考答案
基础自主导学
自主测试
1．C　2.D
3．解：如图所示：

规律方法探究
变式训练　2或4
知能优化训练
中考回顾
1．B　2.D　3.(0,1)　4.90
5．解：(1)△OA′B′如图所示，点B′的坐标为(2,3)；
(2)△OAB绕点O逆时针旋转90°后得△OA′B′，点A所经过的路径的圆心角为90°，半径为3的扇形OAA′的弧长，所以l＝×(2π×3)＝π.即点A所经过的路径的长度为π.

模拟预测
1．A　2.A　3.A　4.C
5．(1,2)　6.π　7.2
8．26
9．解：(1)6　135°
(2)证明：∵∠AOA1＝∠B1A1O＝90°，∴B1A1∥OA.
∵OA＝B1A1，∴四边形OAA1B1是平行四边形．
(3)S四边形OAA1B1＝OA·OA1＝OA2＝36.