山东历年高考数列试题.docx

山东历年高考试题 数列
20.(本小题满分12分)2013
设等差数列｛a ｝的前n项和为S ,且S=2S,a =2 a+1.nnn 2 2nn
(I) 求数列｛an｝的通项公式；
a 1
(II) 设数列⑴的前n项和为L'且T ==入(入为常数)冷匕也心，求数
列｛cn｝的前n项和Rn。
2014 年
19,本小题满分12分)
已知等差数列｛a｝的公差为2,前n项和为S，且S , S ,S成等比数列。nn 124
(I) 求数列｛a ｝的通项公式；
n
(II) 令b = ( 1)n 1_J^，求数列｛b ｝的前n项和T。
n a ann
n n 1
2015 年
18. (12分)(2015山东)设数列｛ an｝的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.
(I )求｛an｝的通项公式；
(II )若数列｛bn｝，满足anbn=log3an，求｛bn｝的前n项和Tn.
(2016年山东高考)已知数列a
n
的前n项和Sn=3n2+8n, b是等差数列，且
abb.
n n n 1
(I)求数列b的通项公式;
(II)令c七挡1 .求数列c
n(b2)nn
n
的前n项和Tn.
5(2014课标2理)17.已知数列an满足％=1, a”】(I)证明an §是等比数列，并求an的通项公式;
3a 1.
n
(I)证明:
1 _1+上 3
— .・・ + —.
aa a2
12n
6 (2014四川文)19 .设等差数列｛a｝的公差为d , 点 (a ,b )在函数f (x) 2x的图象上nn n
(nN)。
(I)证明：数列｛b｝为等比数列；
n
(I)若a 1,函数f(x)的图象在点(a,b )处的切线在x轴上的截距为2 入，求数列12 2ln2
｛a b2｝的前n项和S .
n nn
8(2014四川理)19.设等差数列｛a ｝的公差为d,点(a ,b )在函数f(x) 2x的图象上nn n
(n N * ).
(1) 若a 2 ,点(a ,4b )在函数f (x)的图象上，求数列｛a ｝的前n项和S ；
187nn
(2) 若a 1,函数f(x)的图象在点(a ,b )处的切线在x轴上的截距为2 二，求数列
12 2ln2
§｝的前n项和Tn.
n

（2014 •湖南高考理科・T20）本小题满分13分）
已知数列｛a ｝满足a 1, a a | pn,n N *.n1n 1 n
（1）若｛a ｝是递增数列，且a ,2a 3a成等差数列，求p的值；
n12,3
1，，，，
（2）若p 2，且｛ a2n1 ｝是递增数列，｛a2n｝是递减数列，求数列｛an｝的通项公
式.
【解题提示】（1）由｛a ｝是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用a ,2a 3a成等n12,3
差数列，得到关于P的方程即可；
（2） ｛a2n1 ｝是递增数列，｛a2n｝是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式.
【解析】（1）因为｛a「是递增数列，所以an1 an pn，又a 1， a p 1,a p2 p 1
123
因为a ,2a 3a成等差数列，
1 2, 3
解得p 3,p 0,当p 0，
所以4a2
3a ,4 p 4 1 3 p2 3 p
3
{a
｝是递增数列矛盾
3,3 p2
所以
p，
⑵因为｛a2m｝是递增数列
所"
a2n1 a2n
, 1 1
由于L 7—
22n 22n 1
a2n a2n1
所以 ^2n1 a2n
a
2n
2n1②
由①②得a a
2n 2n 1
0,所以 a2n a2n1
1 2n 1
-
2
1 2n
③
22n 1
因为｛a2n｝是递减数列，所以同理可得，
2n
0 ,a
2n 1
a
2n
1 2n
—
2
1 2n 1
k④

由③④得a
n 1
所以3 a
1 2
1 -2T
3
22 一
n1
11 n
3 2n 1
411 n
所以数列巳）的通项公式为气3 3W
答案及分析
2013年20、（I）设等差数列｛a ｝的首项为a ,公差为d。
n1
由S
4S
,a2a
4

22nn
4a
6d
8a 4d,
1

1
a
(2n
1)d 2a
1

1
解得
a
1
1 , d 2.
因此
a
2n 1,n N

1•得
n
2(n
*
1)d 1.
(II
）由题意知：T
2n 1
所以
所以
b
n
2n 2
22n 1
04)。
4
(n
n
12n
1) L)n 1
4
(b
4
!r 0
4 n
1 4）24
两式相减得
3R
4
整理得R
2014年19题
(4)3
(4)2
(n 2)
n 1
12n 2
（4）n 1
(n
n 2
2n 1
(!)3
4
1)
(b(
4
1
1 -
4
1 3n
(4)3
(|)
(n
1)(1)n
4
(n
1)
G)n
4
3(4)n
(4 二
4n 1
所以数列｛c ｝的前n项和R
nn
9(4 3n
b
4n 1

解：(1) 2,S a ,S 2a d,S 4a 6d,
112141
S ,S ,S成等比 S2 S S12421 4
解得 a〔 1, a” 2n 1
4n11、
(I) b ( 1)n 1 ( 1)n 1 ()
na a2n 1 2n 1
)(上 ^―)
2n 3 2n 1 2n 1 2n 1
(二二)(二二)
2n 3 2n 1 2n 1 2n 1
当n为偶数时，T1 i)(i i)(!i)
n 33 557
,「1 2n
T 1
n2n 1 2n 1
当n为奇数时，T1 !)(! 1)(1!)
n 33 557
1 2n 2
2n 1 2n 1
吕,n为偶数
2n 1
2n 2,.
-——,n为奇数
2n 1
2015年 18题
考数列的求和.
查
等差数列与等比数列.
分析：(I )利用 2Sn=3n+3，可求得 a1=3;当>1 时，2Sn 1=3n 1+3，两式相减 2an=2Sn
2Sn ］，可求得an=3n】,从而可得｛an｝的通项公式；
(II)依题意，anbn=log3an，可得加=1,当 n>1 时，bn=31 n log33n 1= (n 1)x3】n，于
3
是可求得 T1=b1=* 当 n>1 时，Tn=b1+b2…bn专(1x3 1+2x3 2+.・+(n 1)x31 n)，
利用错位相减法可求得｛bn｝的前n项和Tn.
解答：解：(I)因为 2Sn=3n+3,所以 2a1=31+3=6
当 n>1 时，2Sn 1=3n 1+3,
此时，2an=2Sn 2Sn 1=3n 3n
「3, n=l
3”一七 n>l..
所以an=
1=2 x3n
1，
故 a1=3，
即 an=3n 1，

(II)因为 anbn=log3an，所以、1=4,
当 n>1 时，bn=31 n lo&3n 1=(n 1 ) X31n，
所以L=b蓦;
当 n> 1 时，Tn=b1+b2+..：t-bn^+ ( 1 >3 1+2 沔2+..+ (n 1) '31 n),所以 3Tn=1+ ( 1 >30+2 >3 1+3 >3 2+..+ (n 1) >32n),
oo 1- 3I-n
两式相减得：2!>4+(3。+3 1+3 2+..T2 n (n 1)冷1 n )=乌 (n
33 1—广
睥n）芸提，
所以T =— 洲％，经检验，n=1时也适合,12 4X 3n
综上可得Tn专岩
点评：本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题.
2016年19题试题分析：（I）根据及等差数列的通顼公式求解』（II）根据（I ）知数列｛胡的通项公式,再用错位相减法求其前丑项和.
【解析】（I）因为数列an的前n项和Sn 3n2 8n
所以气11 ,当n 2时，
a S S 3n2 8n 3（n 1）2 8（n 1） 6n 5，
又a。 6n 5对n 1也成立，所以劣。6n 5.
又因为b是等差数列，设公差为d,则a b b 2b dnn nn 1n
当 n 1 时，2b11 d；当 n 2 时，2b?17d,
a d
解得d 3,所以数列bn的通项公式为q -n— 3n 1.
(II)由 c
n
(a 1)n 1
—n :—
b 2)n
n
(6n 6)n 1
(3n 3)n
(3n 3) 2n 1
于是T
6 22 9
23 12 24
(3n 3) 2n 1，

两边同乘以2,得
2T 6 23 9 24(3n) 2n 1(3n 3) 2n 2,
n
两式相减，得
T 6 223 233 243 2n 1(3n 3) 2n 2
n
3 22 1 2n)
T~2
(3n 3) 2n 2

12 3 22 1 2n)
(3n 3) 2n 2 3n 2n 2
考点：数列前n项和与第n项的关系;等差数列定义与通项公式;错位相减法
5(2014课标2理)17。已知数列an满足%=1, a”〔
3a 1。
n
(I)证明an *是等比数列，并求an的通项公式;
(II)证明：
【点拨】
1 1 +X 3
— …+ —
aa a2
12 n
(I )在a 3a 1中两边加牛:
n 1 n 2
a 1 3(a i),可见数列a 1是以3为公比，以电
n 2 n 1 2 n 2 1
3为首项的等比数列。故
3 1 3n 1
a 方 3n 1 万 ~5~ -
n 2 2 2
(II)法1(放缩法)
_1
a
n
3n 1
1 -1
a a
2 23
1
a
33 1
2
3n 1
1
31 1 32 1
31 1 1 32 1 1 33 1 1
3(1 1)言本题用•的是"加点糖定理")
2 33 2
法2(数学归纳法)先证一个条件更
2- - -1
3n 1 1
事实上J% 1时,:土 2 2^
的结论：1 -1
aa
1 2
,等号成立。当n
1 1 3 1
a a 2 2 3n1
3 n
2时，1 + 543若,新命
a a 4 3 2 2 31
1 2
题成立。
。假定对于n新命题成立，即
1
a
1
_1
a
13
1
a
i
1
a
3-2 3-2
2
2
a
1
_1
a
2
1 -
a
1
a
-n
…2
2 3n 1 3n 1 1
1 ... 2 1
3 ^4 ，那么对于n
2 2 3n 1
_x
a
n 1
1的情形，我们有:
3n 1
3n 1
2 3n

grp；1111313
所以a a aa 2厂厂2
a a aa 22 3n 1 2
1111
7(2014四川文)19 .设等差数列｛a｝的公差为d ,点(a，b )在函数f(x) 2x的图象上
nn n
(n N )。
(I) 证明：数列｛b｝为等比数列；
n
(II) 若a 1,函数f(x)的图象在点(a,b )处的切线在x轴上的截距为2 孔，求数列
12 2ln2
{a b2}的前n项和S .
n nn
【点拨】(I)b^头2d…
一，'n n
(II) f (x) 2xln2 , k 2a2ln2。切线方程
切 2
y 2a2 2a2ln2(x %),依题设有 a2 I2 2 I2
a 2 , b 4 .从而 a b 2 n 4n22n n
(等比差数列，乘公比、错位相减)得
Q (如1)414n 9
8(2014四川理)19.设等差数列｛a ｝的公差为d,点(a ,b )在函数f(x) 2x的图象上nn n
(n N * ).
(1) 若a 2 ,点(a ,4b )在函数f (x)的图象上，求数列｛a ｝的前n项和S ；
187nn
(2) 若a 1,函数f(x)的图象在点(a ,b )处的切线在x轴上的截距为2 孔，求数列
12 2ln2
｛.｝的前n项和Tn.
n
【点拨】(1) 4b7奴 2a8 2 b72
d 2。 S n2 3n ；n
(2) f (x) 2xln2 , k 2a2l应.切线方程・切
y 2a22a2ln2(x a2)，依题设有 a2 £2 2 £2
a2 2, b2 4.从而｝ fn
(等比差数列，乘公比、错位相减)得T 2 ^-2n2n
能力提升：
研究下列条数列的通项公式特点，
确定前 n项和的求法

1、a
n
2、a
n
3、a
n
4、a
n
(1 ) n 3 2 n
(2 n+1)3 n
_ 2 n

(2 n 11 )(2 n 1 )
1)n -__(2 n
4 n
1 ) (2 n
1)